a) Dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (Bài 5):

b) Áp dụng phương pháp ghép cặp Gauss tính tổng dãy số cách đều (Bài 4): Dãy có $60$ số hạng. Ghép cặp đầu và cuối: $(1 + 60) = 61,\; (2 + 59) = 61,\; \dots$ Số cặp ghép được là: $60 : 2 = 30$ cặp. Tổng cần tìm là:

(Công thức nhanh: $S = (1 + 60) \cdot 60 : 2 = 1830$).

a) Luỹ thừa trước, sau đó nhân chia, cuối cùng cộng (Bài 6, Bài 7):

b) Mở ngoặc tròn trước, tính luỹ thừa, rồi ngoặc vuông (Bài 7):

a) Tính các luỹ thừa: $2^3 = 8;\; 6^2 = 36.$

b) Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:

Phân tích theo các hàng (Bài 2, Bài 6):

• Chữ số $3$ ở hàng nghìn có giá trị là: $3 \cdot 10^3 = 3000.$
• Chữ số $4$ ở hàng chục có giá trị là: $4 \cdot 10^1 = 40.$ Cùng nằm trong một số nhưng giá trị biểu diễn của mỗi chữ số tùy thuộc vào vị trí hàng mà nó đứng.

Thực hiện phép chia có dư (Bài 5):

Nếu xếp vào $32$ xe thì mới chở được $42 \cdot 32 = 1344$ học sinh, còn dư $6$ học sinh chưa có chỗ. Do đó nhà trường cần thuê thêm $1$ xe nữa để chở nốt các em này. Số xe ít nhất cần dùng là:

Đáp số: $33$ xe.

Sau mỗi giờ số vi khuẩn gấp đôi, nên sau $7$ giờ số lượng vi khuẩn là:

Ta có $2^7 = 128.$ Số lượng vi khuẩn sau $7$ giờ là:

Đáp số: $384$ con vi khuẩn.

a)

b) Tổng dãy cách đều gồm $70$ số hạng:

a)

b)

a)

b)

Vì $81 = 3^4$ nên $3^x = 3^4 \implies x = 4.$

Chữ số $7$ đứng ở hàng trăm nên có giá trị là:

Thực hiện phép chia:

Cần $41$ hộp đựng đầy bánh và thêm $1$ hộp nữa đựng $2$ chiếc bánh còn dư. Vậy cần ít nhất $41 + 1 = 42$ hộp; hộp cuối cùng chứa đúng $2$ chiếc bánh.

Đổi $2\text{ giờ} = 120\text{ phút}.$ Số lần phân đôi trong $2$ giờ là:

Số cá thể tạo thành sau $8$ lần phân đôi là:

Đáp số: $256$ cá thể.

Dãy số cách đều có khoảng cách $d = 7$ và số hạng đầu $a_1 = 4.$ a)

• Số hạng thứ $12$: $a_{12} = 4 + (12 - 1) \cdot 7 = 4 + 77 = 81.$
• Số hạng thứ $n$: $a_n = 4 + (n - 1) \cdot 7 = 7n - 3.$

b)

• Số hạng thứ $50$ là: $a_{50} = 7 \cdot 50 - 3 = 347.$
• Tổng $50$ số hạng đầu tiên:$$S = \dfrac{(4 + 347) \cdot 50}{2} = 351 \cdot 25 = 8775.$$

a) Dãy số cách đều có khoảng cách $d = 4.$ Số số hạng là:

Tổng $S$ là:

b) Cộng thêm $1 + 2 + 3 = 6$ vào cả hai vế của đẳng thức:

Nhận thấy $1640 = 40 \cdot 41,$ mà $n$ và $n + 1$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên suy ra $n = 40.$

Tách riêng các số hạng chứa $x$ và các số hạng tự do:

• Dãy hệ số của $x$ là $2; 5; 8; \dots; 29$ có khoảng cách $3$: Số số hạng là: $(29 - 2) : 3 + 1 = 10$ số hạng. Tổng hệ số của $x$ là: $(2 + 29) \cdot 10 : 2 = 155.$
• Dãy phần tự do là $1; 3; 5; \dots; 19$ gồm $10$ số lẻ liên tiếp: Tổng phần tự do là: $(1 + 19) \cdot 10 : 2 = 100.$

Phương trình trở thành:

Vì $7^4 = 2401$ có chữ số tận cùng là $1$, ta phân tích số mũ $2023$ theo bội của $4$:

Khi đó:

Vậy chữ số tận cùng của $7^{2023}$ là $3.$

a)

• Ta có $8^4 = 4096$ tận cùng là $6.$ Vì $41 = 4 \cdot 10 + 1$ nên:$$8^{41} = (8^4)^{10} \cdot 8 = (\dots 6)^{10} \cdot 8 = (\dots 6) \cdot 8 = \dots 8.$$
• Ta có $3^4 = 81$ tận cùng là $1.$ Vì $37 = 4 \cdot 9 + 1$ nên:$$3^{37} = (3^4)^9 \cdot 3 = (\dots 1)^9 \cdot 3 = \dots 3.$$Hiệu có chữ số tận cùng là: $8 - 3 = 5.$ Vậy $8^{41} - 3^{37}$ có chữ số tận cùng là $5.$

b)

• Vì $1980$ chia hết cho $4$ ($1980 = 4 \cdot 495$) nên:$$3^{1980} = (3^4)^{495} = (\dots 1)^{495} = \dots 1.$$
• Luỹ thừa của $4$ với số mũ lẻ luôn có tận cùng là $4$ ($1995$ lẻ):$$4^{1995} = (4^2)^{997} \cdot 4 = (\dots 6)^{997} \cdot 4 = \dots 4.$$Tích hai số có tận cùng bằng chữ số tận cùng của $1 \cdot 4 = 4.$ Vậy $3^{1980} \cdot 4^{1995}$ có chữ số tận cùng là $4.$

Ta nhận thấy $7^4 = 2401$ có hai chữ số tận cùng là $01.$ Một số có hai chữ số tận cùng là $01$ khi nâng lên bất kì luỹ thừa tự nhiên nào đều giữ nguyên hai chữ số tận cùng là $01.$ Ta viết:

Vậy hai chữ số tận cùng của $7^{2024}$ là $01.$

Tổng $S$ gồm các số lẻ liên tiếp kể từ $1.$ Số số hạng của dãy là: $(119 - 1) : 2 + 1 = 60$ (số hạng). Theo quy tắc tổng $n$ số lẻ liên tiếp kể từ $1$:

Vì $3600 = 60^2$ nên $S$ là một số chính phương.

Chữ số tận cùng của các luỹ thừa của $3$ lặp lại theo chu kì $4$ số: $(3; 9; 7; 1).$ Tổng của $4$ chữ số này trong một chu kì là:

Dãy $M$ có $21$ số hạng, chia thành $5$ nhóm đầy đủ (mỗi nhóm $4$ số hạng) và dư $1$ số hạng cuối cùng là $3^{21}$:

• Tổng của $5$ nhóm đầu có tận cùng là $0.$
• Số hạng $3^{21} = (3^4)^5 \cdot 3 = (\dots 1) \cdot 3 = \dots 3.$ Do đó $M$ có chữ số tận cùng là $0 + 3 = 3.$

Mặt khác, một số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng một trong các chữ số $0; 1; 4; 5; 6; 9$ (không bao giờ tận cùng bằng $3$). Vì $M$ tận cùng bằng $3$ nên $M$ không phải là số chính phương.

Đặt $a = \underbrace{11\dots1}_{n \text{ chữ số } 1}.$ Khi đó:

Do đó:

Nhận thấy $10^n - 1 = \underbrace{99\dots9}_{n \text{ chữ số } 9} = 9a.$ Thay vào biểu thức $A$:

Vì $a = \underbrace{11\dots1}_{n \text{ chữ số } 1} \implies 3a = \underbrace{33\dots3}_{n \text{ chữ số } 3}.$ Vậy $A = (\underbrace{33\dots3}_{n \text{ chữ số } 3})^2$ là một số chính phương.

(Ví dụ thử lại: $11 - 2 = 9 = 3^2;\; 1111 - 22 = 1089 = 33^2$).

a) Phân chia các trang theo số lượng chữ số:

• Từ trang $1$ đến trang $9$: có $9$ trang có $1$ chữ số $\implies 9 \cdot 1 = 9$ chữ số.
• Từ trang $10$ đến trang $99$: có $90$ trang có $2$ chữ số $\implies 90 \cdot 2 = 180$ chữ số.
• Từ trang $100$ đến trang $215$: có $215 - 100 + 1 = 116$ trang có $3$ chữ số $\implies 116 \cdot 3 = 348$ chữ số. Tổng số chữ số cần dùng là:$$9 + 180 + 348 = 537\text{ (chữ số)}.$$

b)

• Số chữ số dùng để đánh từ trang $1$ đến trang $99$ là: $9 + 180 = 189$ chữ số.
• Số chữ số còn lại dành cho các trang có $3$ chữ số:$$492 - 189 = 303\text{ (chữ số)}.$$
• Số trang có $3$ chữ số là:$$303 : 3 = 101\text{ (trang)}.$$Tổng số trang của cuốn sách là:$$99 + 101 = 200\text{ (trang)}.$$Đáp số: $200$ trang.

Xét số $\overline{ab}$ với $1 \le b < a \le 9$ (hoặc $b = 0$):

• Nếu $a = 1$, thì $b \in \{0\} \implies 1$ số.
• Nếu $a = 2$, thì $b \in \{0; 1\} \implies 2$ số.
• Nếu $a = 3$, thì $b \in \{0; 1; 2\} \implies 3$ số.
• ...
• Nếu $a = 9$, thì $b \in \{0; 1; 2; \dots; 8\} \implies 9$ số. Tổng số lượng các số thỏa mãn là:$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\text{ (số)}.$$

• Tổng số các số tự nhiên có ba chữ số là:$$999 - 100 + 1 = 900\text{ (số)}.$$
• Đếm số các số có ba chữ số mà không có chữ số $0$ nào: Mỗi số có dạng $\overline{abc}$ với $a, b, c \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$:
  • $a$ có $9$ cách chọn.
  • $b$ có $9$ cách chọn.
  • $c$ có $9$ cách chọn. Số các số không chứa chữ số $0$ là:$$9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\text{ (số)}.$$
• Số các số có ít nhất một chữ số $0$ là:$$900 - 729 = 171\text{ (số)}.$$

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là $x$ ($10 \le x \le 99$).

• Khi viết thêm chữ số $1$ vào trước: $A = \overline{1x} = 100 + x.$
• Khi viết thêm chữ số $6$ vào sau: $B = \overline{x6} = 10x + 6.$ Theo đề bài $B = 3A$, ta có:$$10x + 6 = 3 \cdot (100 + x)$$$$10x + 6 = 300 + 3x$$$$7x = 294 \implies x = 42.$$Thử lại: $A = 142,\; B = 426 = 3 \cdot 142$ (chính xác). Vậy số tự nhiên cần tìm là $42.$

Phân tích cấu tạo số:

Vì $\overline{ac}$ là số có hai chữ số nên $89b < 100 \implies b = 1.$ Khi $b = 1$, ta có $\overline{ac} = 89 \implies a = 8$ và $c = 9.$ Thử lại: $88 + 11 + 99 = 198 = \overline{bca}$ (chính xác). Vậy $a = 8;\; b = 1;\; c = 9.$

Trong hệ cơ số $k$, kí hiệu $\overline{ab}_{(k)}$ biểu thị giá trị $a \cdot k + b.$ a) Ta có $4 + 5 = 9.$ Do $4 + 5 = 11_{(k)} \implies 1 \cdot k + 1 = 9 \implies k = 8$ (hệ bát phân cơ số $8$). b) Ta có $3 \cdot 4 = 12.$ Do $3 \cdot 4 = 14_{(k)} \implies 1 \cdot k + 4 = 12 \implies k = 8$ (hệ bát phân cơ số $8$).

Gọi hiệu của hai số là $h$ ($h > 0$). Theo bài ra:

• Tổng của hai số là: $3h.$
• Tích của hai số là: $8h.$ Số lớn là: $(3h + h) : 2 = 2h.$ Số bé là: $(3h - h) : 2 = h.$ Tích của hai số là: $2h \cdot h = 2h^2.$ Theo đề bài, tích bằng $8h$, nên:$$2h^2 = 8h \implies 2h = 8 \implies h = 4.$$Vậy:
• Số bé là: $h = 4.$
• Số lớn là: $2 \cdot 4 = 8.$ Thử lại: Tổng $8 + 4 = 12 = 3 \cdot 4$ (gấp 3 lần hiệu); Tích $8 \cdot 4 = 32 = 8 \cdot 4$ (gấp 8 lần hiệu).

Gọi số cần tìm là $A$ ($A \le 999$). Khi chia $A$ cho $75$ được thương $q$ và số dư $q$, với điều kiện $q < 75.$ Ta có:

Vì $A \le 999$ nên $76q \le 999 \implies q \le 13.$ Để $A$ đạt giá trị lớn nhất, ta chọn thương $q$ lớn nhất có thể, tức là $q = 13.$ Khi đó:

Thử lại: $988 = 75 \cdot 13 + 13$ (thương 13, dư 13). Vậy số lớn nhất cần tìm là $988.$

Nếu xếp $28$ học sinh một phòng mà thừa $1$ phòng nghĩa là thiếu $28$ học sinh mới ngồi đủ số phòng ban đầu. Số học sinh chênh lệch giữa cách xếp thứ hai và cách xếp thứ nhất là:

Mỗi phòng ở cách thứ hai nhiều hơn cách thứ nhất số học sinh là:

Số phòng thi ban đầu là:

Số học sinh dự thi là:

(Thử lại: $28 \cdot (9 - 1) = 28 \cdot 8 = 224$ học sinh). Đáp số: $224$ học sinh.

Số trận đấu diễn ra trong giải là:

• Trong mỗi trận có phân thắng – thua, tổng số điểm hai đội nhận được là: $3 + 0 = 3$ điểm.
• Trong mỗi trận hoà, tổng số điểm hai đội nhận được là: $1 + 1 = 2$ điểm. Giả sử cả $10$ trận đều phân định thắng – thua, thì tổng điểm toàn giải là:$$10 \cdot 3 = 30\text{ (điểm)}.$$Số điểm bị giảm đi so với giả thiết là:$$30 - 26 = 4\text{ (điểm)}.$$Cứ mỗi trận hoà thì tổng điểm giảm đi $3 - 2 = 1$ điểm. Vậy số trận hoà trong giải là:$$4 : 1 = 4\text{ (trận)}.$$Đáp số: $4$ trận hoà.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là $\overline{ab}$ với $a \in \{1; 2; \dots; 9\}$ và $b \in \{0; 1; \dots; 9\}.$ Theo đề bài: $a + b = 8 \implies b = 8 - a.$ Vì $a \ge 1$ và $b \ge 0 \implies 1 \le a \le 8.$ Do đó $a$ nhận các giá trị từ $1$ đến $8$:

• $a = 1 \implies b = 7 \implies 17$
• $a = 2 \implies b = 6 \implies 26$
• $a = 3 \implies b = 5 \implies 35$
• $a = 4 \implies b = 4 \implies 44$
• $a = 5 \implies b = 3 \implies 53$
• $a = 6 \implies b = 2 \implies 62$
• $a = 7 \implies b = 1 \implies 71$
• $a = 8 \implies b = 0 \implies 80$ Vậy có tất cả $8$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

a) Gọi số ở ô chính giữa của khung $3 \times 3$ là $x.$ Trên tờ lịch, mỗi ngày ở hàng dưới cách ngày cùng thứ ở hàng trên đúng $7$ ngày. Do đó $9$ ô số trong khung có thể biểu diễn qua ô chính giữa $x$ như sau:

• Hàng 1: $(x - 8),\; (x - 7),\; (x - 6)$
• Hàng 2: $(x - 1),\; x,\; (x + 1)$
• Hàng 3: $(x + 6),\; (x + 7),\; (x + 8)$

Cộng tổng cả $9$ số lại, các số đối xứng đều triệt tiêu:

Theo đề bài, tổng bằng $135$, nên:

Vậy số nằm ở chính giữa khung là $15.$

b) Chín số trong khung tương ứng là:

• Hàng trên: $7; 8; 9$
• Hàng giữa: $14; 15; 16$
• Hàng dưới: $21; 22; 23$