Ôn tập Chương 5: Tính đối xứng của hình phẳng trong tự nhiên

Chương V dẫn dắt các em khám phá một trong những quy luật thẩm mỹ kỳ diệu nhất của thế giới tự nhiên và toán học: Tính đối xứng. Nếu như ở Chương IV chúng ta học cách đo đạc định lượng (chu vi, diện tích), thì Chương V nâng tầm tư duy hình học trực quan qua hai phép biến hình cơ bản:

• Gấp đôi theo đường thẳng $\to$ Trục đối xứng (Bài 21).
• Quay nửa vòng $180^\circ$ quanh một điểm $\to$ Tâm đối xứng (Bài 22).

Sự kết hợp giữa hai khái niệm này tạo nên một hệ thống phân loại hình phẳng chặt chẽ và sâu sắc. Bài viết này hệ thống hóa toàn bộ kiến thức trọng tâm của Chương V, phân tích các cạm bẫy nhận diện, tổng hợp 3 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi và 3 đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận có trắc nghiệm tương tác kèm lời giải chi tiết.

Phần I. Hệ thống kiến thức cốt lõi Chương V

1. Sơ đồ mạch kiến thức Chương V

2. Bảng đối chiếu toàn diện: Trục đối xứng ↔ Tâm đối xứng

3. Bảng phân loại 4 nhóm hình phẳng và chữ cái in hoa

4. Năm cạm bẫy kinh điển cần tuyệt đối tránh

Lưu ý / Cảnh báo

Hãy khắc cốt ghi tâm 5 lỗi sai thường gặp nhất trong các kỳ thi:

1. "Hình có trục đối xứng thì chắc chắn có tâm đối xứng": Đây là khẳng định HOÀN TOÀN SAI. Ví dụ: Tam giác đều có tới $3$ trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng; Hình thang cân có $1$ trục nhưng không có tâm đối xứng.
2. "Hình có tâm đối xứng thì chắc chắn có trục đối xứng": Cũng là khẳng định HOÀN TOÀN SAI. Ví dụ: Hình bình hành thông thường có tâm đối xứng (giao hai đường chéo) nhưng không có bất kỳ trục đối xứng nào; các chữ cái N, S, Z có tâm nhưng không có trục.
3. Nhầm đường chéo hình chữ nhật là trục đối xứng: Đường chéo hình chữ nhật chia nó thành hai tam giác vuông bằng nhau, nhưng khi gấp giấy theo đường chéo thì hai phần bị lệch chéo nhau, không trùng khít. Đường chéo hình chữ nhật không phải là trục đối xứng (nó chỉ đi qua tâm đối xứng).
4. Nhầm lẫn số lượng tâm đối xứng: Một hình có thể có nhiều trục đối xứng (ví dụ lục giác đều có 6 trục, hình tròn có vô số trục), nhưng mỗi hình chỉ có DUY NHẤT MỘT TÂM ĐỐI XỨNG mà thôi!
5. Nhầm động tác trục và tâm: Nhớ rõ câu khẩu quyết: "Trục là GẤP — Tâm là QUAY".

Phần II. Bài toán tổng hợp (Liên kết cả hai dạng đối xứng)

Ví dụ 1 (Phân loại hình phẳng theo trục và tâm)

Cho các hình: Tam giác đều, Hình bình hành (nghiêng), Hình chữ nhật, Hình thang cân, Hình tròn.

1. Hình nào chỉ có trục đối xứng mà không có tâm đối xứng?
2. Hình nào chỉ có tâm đối xứng mà không có trục đối xứng?
3. Hình nào vừa có trục đối xứng vừa có tâm đối xứng?

Lời giải:

1. Các hình chỉ có trục đối xứng mà không có tâm đối xứng:
   • Tam giác đều (có $3$ trục đối xứng, không có tâm);
   • Hình thang cân (có $1$ trục đối xứng, không có tâm).
2. Hình chỉ có tâm đối xứng mà không có trục đối xứng:
   • Hình bình hành nghiêng (có $1$ tâm đối xứng là giao hai đường chéo, không có trục đối xứng).
3. Các hình vừa có trục đối xứng vừa có tâm đối xứng:
   • Hình chữ nhật (có $2$ trục đối xứng và $1$ tâm đối xứng);
   • Hình tròn (có vô số trục đối xứng và $1$ tâm đối xứng).

Ví dụ 2 (Đoạn thẳng và các yếu tố đối xứng)

Cho đoạn thẳng $MN = 12\text{ cm}$.

1. Hãy cho biết đoạn thẳng $MN$ có bao nhiêu trục đối xứng và đó là đường thẳng nào?
2. Đoạn thẳng $MN$ có tâm đối xứng không? Tâm đó nằm ở đâu và cách mỗi đầu mút bao nhiêu xentimét?

Lời giải:

1. Đoạn thẳng $MN$ có đúng $1$ trục đối xứng, đó là đường trung trực của đoạn thẳng $MN$ (đường thẳng đi qua trung điểm của $MN$ và vuông góc với $MN$).
2. Đoạn thẳng $MN$ có tâm đối xứng, tâm đối xứng chính là trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến mỗi đầu mút là:$$IM = IN = \dfrac{MN}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\text{ (cm)}.$$

Ví dụ 3 (Hình thoi và tính chất đối xứng)

Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 10\text{ cm}$ và $BD = 8\text{ cm}$ cắt nhau tại $O$.

1. Chỉ ra các trục đối xứng và tâm đối xứng của hình thoi $ABCD$.
2. Tính khoảng cách từ tâm đối xứng $O$ đến các đỉnh $A$ và $B$.

Lời giải: 1.

• Hình thoi $ABCD$ có $2$ trục đối xứng, chính là hai đường thẳng chứa hai đường chéo $AC$ và $BD$.
• Hình thoi $ABCD$ có $1$ tâm đối xứng, chính là giao điểm $O$ của hai đường chéo.

2. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên:
   • Khoảng cách từ $O$ đến đỉnh $A$: $OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\text{ (cm)}.$
   • Khoảng cách từ $O$ đến đỉnh $B$: $OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\text{ (cm)}.$

Ví dụ 4 (Hoàn thiện hình trên lưới ô vuông)

Trên lưới ô vuông, cho điểm $O$ và một hình chữ L gồm $3$ ô vuông đơn vị.

1. Hãy vẽ thêm các ô vuông để được hình nhận đường thẳng $d$ làm trục đối xứng.
2. Hãy vẽ thêm các ô vuông để được hình nhận điểm $O$ làm tâm đối xứng.

Lời giải:

1. Lấy đối xứng qua trục $d$: Với mỗi ô vuông ở bên trái trục $d$, ta xác định khoảng cách từ ô đó đến trục $d$, sau đó lấy sang bên phải trục $d$ một ô vuông đối xứng trên cùng hàng ngang. Số ô vuông vẽ thêm bằng đúng số ô vuông ban đầu ($3$ ô vuông), tạo thành hình có $6$ ô vuông đối xứng trục hoàn chỉnh.
2. Lấy đối xứng qua tâm $O$: Với mỗi ô vuông, ta kẻ đoạn thẳng nối tâm ô vuông với điểm $O$, kéo dài tia đối diện lấy điểm đối xứng cách $O$ một khoảng bằng khoảng cách ban đầu. Số ô vuông vẽ thêm cũng là $3$ ô, tạo thành hình gồm $6$ ô đối xứng tâm.

Phần III. Ba chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi & Nâng cao

Chuyên đề 1: Đếm số trục đối xứng và tâm đối xứng của hoa văn phức hợp

Bài toán 1.1

Hãy xác định số trục đối xứng và cho biết hình có tâm đối xứng không đối với:

1. Hình chữ thập đỏ đều;
2. Bông hoa 6 cánh đều;
3. Bông hoa 5 cánh đều;
4. Chong chóng 4 cánh cong cùng chiều quay.

Lời giải:

1. Hình chữ thập đỏ đều:
   • Có $4$ trục đối xứng (hai trục dọc/ngang và hai trục chéo).
   • Có $1$ tâm đối xứng (tâm giao điểm của hai thanh chữ thập).
2. Bông hoa 6 cánh đều:
   • Có $6$ trục đối xứng.
   • Có $1$ tâm đối xứng (tâm nhụy hoa).
3. Bông hoa 5 cánh đều:
   • Có $5$ trục đối xứng (mỗi trục nối từ đỉnh một cánh qua khe giữa hai cánh đối diện).
   • Không có tâm đối xứng (vì số cánh là số lẻ).
4. Chong chóng 4 cánh cong cùng chiều:
   • Không có trục đối xứng nào (vì các cánh bị cong lệch một chiều đón gió, khi gấp đôi sẽ bị ngược chiều cong).
   • Có $1$ tâm đối xứng tại trục quay (vì khi quay $180^\circ$, các cánh cong đổi chỗ cho nhau khít hoàn hảo).

Chuyên đề 2: Chữ và số đối xứng trong hệ thập phân

Bài toán 2.1 (Tìm số có tâm đối xứng)

Trong hệ thập phân, khi quay một chữ số một góc $180^\circ$:

• Số $0 \to 0$; Số $1 \to 1$; Số $8 \to 8$;
• Số $6 \to 9$; Số $9 \to 6$;
• Các chữ số $2, 3, 4, 5, 7$ khi quay $180^\circ$ không còn là chữ số có nghĩa.

1. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số có tâm đối xứng (nghĩa là khi quay $180^\circ$ vẫn giữ nguyên giá trị số ban đầu).
2. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số có tâm đối xứng.

Lời giải:

1. Số có hai chữ số $\overline{ab}$ ($a \neq 0$): Khi quay $180^\circ$, chữ số hàng đơn vị $b$ quay ngược và đứng ở hàng chục, chữ số hàng chục $a$ quay ngược và đứng ở hàng đơn vị. Để số quay ra bằng chính nó:

   • Nếu $a = 1 \implies b = 1 \to$ Số $11$.
   • Nếu $a = 8 \implies b = 8 \to$ Số $88$.
   • Nếu $a = 6 \implies b = 9 \to$ Số $69$ (khi quay $180^\circ$, $9 \to 6$ ở hàng chục, $6 \to 9$ ở hàng đơn vị, thu được đúng $69$).
   • Nếu $a = 9 \implies b = 6 \to$ Số $96$ (quay $180^\circ$ vẫn được $96$).
   • (Lưu ý: $a$ không thể bằng $0$ vì là số có 2 chữ số).

   Vậy có tất cả $4$ số có hai chữ số thỏa mãn:

   $$\{11; 69; 88; 96\}.$$

2. Số có ba chữ số $\overline{aba}$ ($a \neq 0$): Chữ số chính giữa $b$ phải tự biến thành chính nó khi quay $180^\circ \implies b \in \{0; 1; 8\}$. Cặp chữ số đầu - cuối $(a; c)$ phải quay thành nhau:

   • Trường hợp $a = c$: thì $a \in \{1; 8\}$. Với mỗi $a$, có $3$ cách chọn $b$:
     • $a = 1 \implies 101, 111, 181$.
     • $a = 8 \implies 808, 818, 888$.
   • Trường hợp $a \neq c$: thì $(a; c) \in \{(6; 9); (9; 6)\}$.
     • $a = 6, c = 9 \implies 609, 619, 689$.
     • $a = 9, c = 6 \implies 906, 916, 986$.

   Vậy có tất cả $2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 12$ số có ba chữ số có tâm đối xứng.

Chuyên đề 3: Bài toán tối ưu lưới ô vuông và bổ sung phần tử đối xứng

Bài toán 3.1

Cho hình chữ "L" gồm $3$ ô vuông đơn vị xếp trên mặt phẳng.

1. Hỏi cần ghép thêm ít nhất bao nhiêu ô vuông đơn vị nữa để được một hình có tâm đối xứng?
2. Hỏi cần ghép thêm ít nhất bao nhiêu ô vuông đơn vị nữa để được một hình có trục đối xứng?

Lời giải:

1. Để có tâm đối xứng: Hình chữ L ban đầu gồm $3$ ô. Vì một hình đối xứng tâm không chứa tâm trên ô lẻ phải có tổng số ô là số chẵn.
   • Thêm $1$ ô vuông vào góc khuyết: Ta thu được một hình vuông $2 \times 2$ gồm $4$ ô vuông. Hình vuông $2 \times 2$ này có tâm đối xứng tại giao điểm của các đường phân chia.
   • Vậy cần thêm ít nhất $1$ ô vuông đơn vị.
2. Để có trục đối xứng:
   • Bản thân hình chữ L gồm $3$ ô vuông kề góc đã có sẵn $1$ trục đối xứng (đường chéo đi qua ô góc vuông chia đôi hai nhánh chữ L).
   • Do đó, số ô vuông cần ghép thêm ít nhất là $0$ ô vuông!

Phần IV. Tuyển tập câu hỏi thi khảo sát chất lượng & HSG

Bài 1. Trong các hình sau đây, hình nào có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng? A. Hình chữ nhật B. Tam giác đều C. Hình bình hành D. Hình tròn

Bài 2. Một biển báo giao thông hình tròn màu xanh, bên trong có hình vẽ một người đi bộ màu trắng đang bước sang phải. Hỏi biển báo đó có tính chất đối xứng nào? A. Vừa có trục, vừa có tâm B. Chỉ có trục đối xứng C. Chỉ có tâm đối xứng D. Không có trục đối xứng và không có tâm đối xứng

Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$.

1. Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?
2. Tứ giác $MNPQ$ có bao nhiêu trục đối xứng và có tâm đối xứng không?

Bài 4. Viết từ "TOÁN HỌC" bằng chữ in hoa không dấu: T, O, A, N, H, O, C. Hãy liệt kê:

1. Các chữ cái có tâm đối xứng;
2. Các chữ cái có đúng một trục đối xứng;
3. Các chữ cái vừa có trục đối xứng vừa có tâm đối xứng.

Bài 5. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $20\text{ m}$ và chiều rộng $12\text{ m}$. Người ta muốn trồng một cây cổ thụ ở vị trí sao cho cây này cách đều cả bốn góc của mảnh đất. Hỏi vị trí trồng cây nằm ở đâu và vị trí đó có ý nghĩa hình học gì đối với mảnh đất?

Hướng dẫn giải tuyển tập bài thi

Bài 1. Chọn B. Tam giác đều (có 3 trục đối xứng, không có tâm đối xứng).

Bài 2. Chọn D. Không có trục đối xứng và không có tâm đối xứng (vì hình người đi bộ bước sang phải làm mất đi toàn bộ tính đối xứng của hình tròn).

Bài 3.

1. Tứ giác $MNPQ$ nối các trung điểm của hình vuông là một Hình vuông.
2. Hình vuông $MNPQ$ có $4$ trục đối xứng và có $1$ tâm đối xứng (chính là điểm $O$).

Bài 4.

1. Các chữ cái có tâm đối xứng: O, N, H.
2. Các chữ cái có đúng một trục đối xứng: T (trục dọc), A (trục dọc), C (trục ngang).
3. Các chữ cái vừa có trục đối xứng vừa có tâm đối xứng: O, H.

Bài 5.

• Điểm cách đều cả bốn góc của hình chữ nhật chính là giao điểm của hai đường chéo.
• Ý nghĩa hình học: Vị trí trồng cây chính là tâm đối xứng của mảnh đất hình chữ nhật.

Phần V. Hệ thống 3 Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 (Đề chuẩn ma trận nhận biết - thông hiểu)

Thời gian làm bài: 45 phút — Thang điểm: 10 điểm

Phần I. Trắc nghiệm tương tác (3.0 điểm — 12 câu)

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm). Cho các hình sau: Tam giác đều, Hình chữ nhật, Hình bình hành (nghiêng), Hình vuông. Hãy xếp mỗi hình vào bảng thích hợp:

1. Hình chỉ có trục đối xứng;
2. Hình chỉ có tâm đối xứng;
3. Hình vừa có trục đối xứng vừa có tâm đối xứng.

Bài 2 (1.5 điểm). Cho đoạn thẳng $AB = 8\text{ cm}$.

1. Nêu vị trí của tâm đối xứng $O$ của đoạn thẳng $AB$.
2. Tính khoảng cách từ tâm đối xứng $O$ đến điểm $A$ và điểm $B$.

Bài 3 (2.0 điểm). Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 12\text{ cm}$ và $BD = 16\text{ cm}$ cắt nhau tại $I$.

1. Chỉ ra tâm đối xứng của hình thoi và tính độ dài các đoạn thẳng $IA, IB$.
2. Hình thoi có mấy trục đối xứng? Đó là những đường thẳng nào?

Bài 4 (1.5 điểm). Bạn Nam khẳng định: "Mọi hình có $4$ trục đối xứng thì chắc chắn có tâm đối xứng." Khẳng định của bạn Nam đúng hay sai? Lấy ví dụ minh họa.

Hướng dẫn chấm và đáp án Đề số 1

Bài 1 (2.0 điểm):

1. Chỉ có trục đối xứng: Tam giác đều (0.75 điểm).
2. Chỉ có tâm đối xứng: Hình bình hành nghiêng (0.75 điểm).
3. Vừa có trục vừa có tâm: Hình chữ nhật, Hình vuông (0.5 điểm).

Bài 2 (1.5 điểm):

1. Tâm đối xứng $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ (0.75 điểm).
2. $OA = OB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\text{ cm}$ (0.75 điểm).

Bài 3 (2.0 điểm):

1. Tâm đối xứng là giao điểm $I$ của hai đường chéo (0.5 điểm).$$IA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm};\quad IB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{16}{2} = 8\text{ cm}\text{ (0.5 điểm)}.$$
2. Hình thoi có $2$ trục đối xứng (0.5 điểm). Đó là hai đường thẳng chứa hai đường chéo $AC$ và $BD$ (0.5 điểm).

Bài 4 (1.5 điểm):

• Khẳng định của Nam là ĐÚNG (0.75 điểm).
• Ví dụ: Hình vuông có $4$ trục đối xứng và có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo (0.75 điểm).

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2 (Đề rèn luyện tương đương)

Thời gian làm bài: 45 phút — Thang điểm: 10 điểm

Phần I. Trắc nghiệm tương tác (3.0 điểm — 12 câu)

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm). Trong các chữ cái in hoa của từ "HẢI PHÒNG" (H, A, I, P, H, O, N, G), hãy chỉ ra:

1. Những chữ cái có tâm đối xứng;
2. Những chữ cái chỉ có trục đối xứng;
3. Những chữ cái không có cả trục và tâm đối xứng.

Bài 2 (1.5 điểm). Cho hình chữ nhật $MNPQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Biết $MP = 14\text{ cm}$.

1. Chỉ ra tâm đối xứng của hình chữ nhật.
2. Tính độ dài đoạn thẳng $OM$.

Bài 3 (2.0 điểm). Cho hình lục giác đều $ABCDEF$ có tâm là $O$.

1. Điểm $O$ có phải là tâm đối xứng của lục giác đều không? Vì sao?
2. Kể tên ba đường chéo chính đi qua tâm $O$ và cho biết ba đường chéo đó có phải là trục đối xứng không.

Bài 4 (1.5 điểm). Cho tam giác $ABC$. Nêu các bước dựng điểm $D$ sao cho tứ giác $ABDC$ là một hình có tâm đối xứng.

Hướng dẫn chấm và đáp án Đề số 2

Bài 1 (2.0 điểm):

1. Có tâm đối xứng: H, I, O, N (0.75 điểm).
2. Chỉ có trục đối xứng: A (0.5 điểm).
3. Không có trục và tâm: P, G (0.75 điểm).

Bài 2 (1.5 điểm):

1. Tâm đối xứng là giao điểm $O$ của hai đường chéo (0.75 điểm).
2. $OM = \dfrac{MP}{2} = \dfrac{14}{2} = 7\text{ cm}$ (0.75 điểm).

Bài 3 (2.0 điểm):

1. Điểm $O$ là tâm đối xứng vì khi quay lục giác đều $180^\circ$ quanh $O$, các đỉnh đối diện đổi chỗ cho nhau và hình trùng khít vị trí cũ (1.0 điểm).
2. Ba đường chéo chính là: $AD, BE, CF$ (0.5 điểm). Ba đường chéo chính này đều là trục đối xứng của lục giác đều (0.5 điểm).

Bài 4 (1.5 điểm):

• Lấy $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ (0.5 điểm).
• Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$ (0.5 điểm).
• Khi đó $M$ là trung điểm của cả $BC$ và $AD$, tứ giác $ABDC$ là hình bình hành và nhận $M$ làm tâm đối xứng (0.5 điểm).

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 3 (Đề nâng cao — Phân hóa học sinh giỏi)

Thời gian làm bài: 45 phút — Thang điểm: 10 điểm

Phần I. Trắc nghiệm tương tác (3.0 điểm — 12 câu)

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số $\overline{aba}$ ($a \neq 0$) sao cho khi quay số đó một góc $180^\circ$ ta vẫn thu được chính số đó.

Bài 2 (1.5 điểm). Một biển báo hình tròn có nền màu xanh, trên đó vẽ một hình chữ nhật màu trắng.

1. Biển báo đó có bao nhiêu trục đối xứng?
2. Biển báo đó có tâm đối xứng không? Tâm nằm ở đâu?

Bài 3 (2.0 điểm). Trên lưới ô vuông kích thước $4 \times 4$ gồm $16$ ô vuông nhỏ:

1. Người ta đã tô màu $2$ ô vuông ở góc trên bên trái và góc dưới bên phải. Hỏi hình hiện tại có tâm đối xứng không? Có trục đối xứng không?
2. Cần tô thêm ít nhất bao nhiêu ô vuông nữa để hình có cả trục đối xứng thẳng đứng và trục đối xứng nằm ngang?

Bài 4 (1.5 điểm). Chứng minh rằng: Nếu một hình phẳng có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì giao điểm của hai trục đối xứng đó chính là tâm đối xứng của hình.

Hướng dẫn chấm và đáp án Đề số 3

Bài 1 (2.0 điểm):

• Để số có 3 chữ số $\overline{aba}$ quay $180^\circ$ vẫn là chính nó:
  • Chữ số giữa $b$ phải quay thành chính nó $\implies b \in \{0; 1; 8\}$ (0.5 điểm).
  • Chữ số đầu và cuối $a$ phải quay thành nhau:
    • Nếu $a = 1 \implies$ Các số: $101, 111, 181$ (0.5 điểm).
    • Nếu $a = 8 \implies$ Các số: $808, 818, 888$ (0.5 điểm).
  • Kết luận: Có $6$ số thỏa mãn: $\{101; 111; 181; 808; 818; 888\}$ (0.5 điểm).

Bài 2 (1.5 điểm):

1. Hình tròn có tâm trùng với tâm hình chữ nhật bên trong.
   • Trục đối xứng của cả biển báo phải là trục đối xứng chung của cả hai hình.
   • Hình chữ nhật có $2$ trục đối xứng (hai đường qua trung điểm cạnh đối).
   • Hai đường này cũng là đường kính của hình tròn. Vậy biển báo có $2$ trục đối xứng (0.75 điểm).
2. Biển báo có $1$ tâm đối xứng, chính là tâm chung của hình tròn và hình chữ nhật (0.75 điểm).

Bài 3 (2.0 điểm):

1. Hai ô đối xứng nhau qua tâm của lưới $4 \times 4$:
   • Hình hiện tại CÓ tâm đối xứng (0.5 điểm).
   • Hình hiện tại KHÔNG CÓ trục đối xứng (hai ô nằm chéo nhau, gấp dọc hay ngang đều không trùng) (0.5 điểm).
2. Để có trục đối xứng dọc và ngang:
   • Ô ở góc $(1; 1)$ cần ô đối xứng qua trục dọc là $(1; 4)$ và qua trục ngang là $(4; 1)$.
   • Ô $(4; 4)$ đối xứng với $(4; 1)$ qua trục dọc và $(1; 4)$ qua trục ngang.
   • Vậy cần tô thêm đúng $2$ ô ở hai góc còn lại: góc trên bên phải và góc dưới bên trái (1.0 điểm).

Bài 4 (1.5 điểm):

• Giả sử hình $(H)$ có hai trục đối xứng vuông góc $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $O$ (0.25 điểm).
• Lấy hệ trục tọa độ nhận $O$ làm gốc, trục hoành là $d_1$, trục tung là $d_2$.
• Với mỗi điểm $M(x; y) \in (H)$:
  • Do $d_1$ là trục đối xứng nên điểm $M_1(x; -y) \in (H)$ (0.25 điểm).
  • Do $d_2$ là trục đối xứng nên điểm đối xứng của $M_1$ qua $d_2$ là $M'(-x; -y) \in (H)$ (0.5 điểm).
• Điểm $M'(-x; -y)$ chính là điểm đối xứng của $M(x; y)$ qua gốc tọa độ $O$ (vì $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM'$) (0.25 điểm).
• Vì với mọi $M \in (H)$ thì $M' \in (H)$ nên điểm $O$ chính là tâm đối xứng của hình $(H)$. $\blacksquare$ (0.25 điểm).

Phần VI. Lời kết và chuyển giao kiến thức

Chúc mừng các em đã hoàn thành xuất sắc Chương V — Tính đối xứng của hình phẳng trong tự nhiên! Tính đối xứng không chỉ là một công cụ toán học giải quyết các bài toán hình học và đại số, mà còn là chiếc cầu nối tuyệt đẹp giữa toán học và nghệ thuật, kiến trúc, sinh học và thế giới vi mô.

Ở học kỳ tiếp theo — Chương VI: Phân số, chúng ta sẽ quay trở lại với số học để khám phá một tập hợp số rộng lớn và linh hoạt hơn nữa: Tập hợp các phân số và số hữu tỉ!