Bài 18. Tam giác đều — Hình vuông — Lục giác đều

Chào mừng các em bước sang Chương IV: Một số hình phẳng trong thực tiễn! Sau khi đã làm chủ các con số và phép tính số học ở ba chương đầu, chúng ta sẽ bước vào thế giới hình học trực quan sống động quanh mình.

Từ những viên gạch lát nền nhà hình vuông, biển báo giao thông hình tam giác, cho đến cấu trúc tổ ong kỳ diệu của loài ong hay những tinh thể tuyết mùa đông — tất cả đều mang hình bóng của ba hình phẳng cân đối và hoàn mỹ nhất: Tam giác đều, Hình vuông và Lục giác đều. Bài học hôm nay sẽ giúp các em khám phá cặn kẽ các đặc điểm về cạnh, góc, đường chéo, kỹ năng vẽ hình chuẩn xác bằng thước và compa, cùng các bài toán đếm hình, ghép hình độc bản cực kỳ thú vị!

Khởi động — Nhận diện hình học trực quan (5–7 phút)

Hãy thử tài quan sát và tư duy không gian qua 3 câu hỏi trắc nghiệm tương tác sau:

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Tam giác đều

Ghi nhớ

Định nghĩa tam giác đều: Tam giác đều là tam giác có:

• Ba cạnh bằng nhau: $AB = BC = CA.$
• Ba góc bằng nhau: Mỗi góc bằng $60^\circ$ ($\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ$).

Các bước vẽ tam giác đều cạnh $a$ bằng thước kẻ và compa:

1. Bước 1: Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng $AB = a$.
2. Bước 2: Mở compa có khẩu độ đúng bằng $a$. Lấy $A$ làm tâm, vẽ một phần đường tròn bán kính $a$. Tiếp tục lấy $B$ làm tâm, vẽ một phần đường tròn bán kính $a$.
3. Bước 3: Hai cung tròn cắt nhau tại điểm $C$. Nối $C$ với $A$ và $C$ với $B$, ta được tam giác đều $ABC$ cần vẽ.

2. Hình vuông

Ghi nhớ

Định nghĩa và tính chất của hình vuông: Hình vuông $ABCD$ là tứ giác có:

• Bốn cạnh bằng nhau: $AB = BC = CD = DA.$
• Bốn góc bằng nhau và bằng $90^\circ$ (bốn góc vuông): $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ.$
• Hai đường chéo bằng nhau: $AC = BD.$
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau tại điểm $O$:$$OA = OB = OC = OD = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{BD}{2};\quad AC \perp BD.$$

Các bước vẽ hình vuông cạnh $a$ bằng thước và êke:

1. Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB = a$.
2. Bước 2: Đặt góc vuông của êke tại $A$ và tại $B$ về cùng một phía để dựng hai đoạn thẳng $AD \perp AB$ và $BC \perp AB$ sao cho $AD = BC = a$.
3. Bước 3: Nối $D$ với $C$, ta được hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$.

3. Hình lục giác đều

Ghi nhớ

Định nghĩa và tính chất lục giác đều: Lục giác đều $ABCDEF$ là hình có:

• Sáu cạnh bằng nhau: $AB = BC = CD = DE = EF = FA.$
• Sáu góc bằng nhau và bằng $120^\circ$: $$\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = \widehat{E} = \widehat{F} = 120^\circ.$$
• Ba đường chéo chính bằng nhau: $AD = BE = CF.$
• Ba đường chéo chính cùng đi qua điểm $O$ gọi là tâm của lục giác đều.
• Điểm $O$ là trung điểm của mỗi đường chéo chính: $OA = OD = OB = OE = OC = OF.$
• Ba đường chéo chính chia lục giác đều thành $6$ tam giác đều bằng nhau: $\Delta OAB, \Delta OBC, \Delta OCD, \Delta ODE, \Delta OEF, \Delta OFA.$
• Độ dài đường chéo chính gấp đôi độ dài cạnh của lục giác:$$AD = 2 \cdot AB.$$

4. Bảng tổng hợp so sánh đặc điểm 3 hình

Lưu ý / Cảnh báo

3 Cạm bẫy nhận dạng học sinh rất hay mắc sai lầm:

1. "Bốn cạnh bằng nhau thì là hình vuông": Đây là khẳng định sai! Một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau mới chỉ là hình thoi. Để là hình vuông, nó cần thêm điều kiện bốn góc phải vuông.
2. "Lục giác đều có sáu góc vuông": Hoàn toàn sai! Các góc của lục giác đều có số đo bằng $120^\circ$ (góc tù), không phải $90^\circ$.
3. Nhầm lẫn số lượng đường chéo của lục giác đều: Lục giác đều có tất cả $9$ đường chéo (trong đó có $3$ đường chéo chính đi qua tâm và $6$ đường chéo phụ ngắn hơn không đi qua tâm).

B. Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải chi tiết

Dạng 1. Nhận biết và chỉ ra các yếu tố của hình

Phương pháp giải:

• Dựa vào định nghĩa: Kiểm tra số cạnh, sự bằng nhau của các cạnh, số đo các góc và tính chất của các đường chéo.
• Kể tên các đỉnh, các cạnh và đường chéo theo thứ tự vòng tròn (theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ) để tránh bỏ sót hoặc trùng lặp.

Bài toán 1.1

Cho lục giác đều $MNPQRS$ có tâm là điểm $O$.

1. Kể tên các cạnh và các góc của lục giác đều.
2. Kể tên ba đường chéo chính và cho biết tâm $O$ có tính chất gì đối với các đường chéo này.
3. Kể tên $6$ tam giác đều được tạo thành từ tâm $O$ và các cạnh của lục giác.

Lời giải: 1.

• Sáu cạnh của lục giác đều là: $MN, NP, PQ, QR, RS, SM.$
• Sáu góc bằng nhau (mỗi góc bằng $120^\circ$) là: $\widehat{SMN}, \widehat{MNP}, \widehat{NPQ}, \widehat{PQR}, \widehat{QRS}, \widehat{RSM}.$

2. Ba đường chéo chính là: $MP, NQ, PR$ — Nối các cặp đỉnh đối diện nhau qua tâm:

   • Đoạn $MQ$ nối đỉnh $M$ và đỉnh $Q$;
   • Đoạn $NR$ nối đỉnh $N$ và đỉnh $R$;
   • Đoạn $PS$ nối đỉnh $P$ và đỉnh $S$.

   Tâm $O$ là giao điểm của cả ba đường chéo chính và là trung điểm của mỗi đường:

   $$OM = OQ = ON = OR = OP = OS.$$

3. Ba đường chéo chính chia lục giác thành $6$ tam giác đều bằng nhau gồm:

   $$\Delta OMN, \Delta ONP, \Delta OPQ, \Delta OQR, \Delta ORS, \Delta OSM.$$

Dạng 2. Tính toán độ dài cạnh, đường chéo và chu vi

Phương pháp giải:

• Chu vi tam giác đều cạnh $a$: $C = 3a \implies a = C : 3.$
• Chu vi hình vuông cạnh $a$: $C = 4a \implies a = C : 4.$ Đường chéo cắt nhau tại trung điểm nên $OA = \dfrac{1}{2}AC.$
• Chu vi lục giác đều cạnh $a$: $C = 6a \implies a = C : 6.$ Độ dài đường chéo chính: $d = 2a.$

Bài toán 2.1

1. Một tam giác đều có chu vi là $27\text{ cm}$. Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
2. Hình vuông $MNPQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại điểm $I$. Biết đường chéo $MP = 16\text{ cm}$. Tính độ dài $NQ$, đoạn thẳng $IM$ và cho biết số đo góc $\widehat{MIN}$.
3. Một lục giác đều có chu vi bằng $36\text{ cm}$. Hãy tính độ dài mỗi cạnh và độ dài mỗi đường chéo chính của nó.

Lời giải:

1. Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau nên độ dài mỗi cạnh là:

   $$27 : 3 = 9\text{ (cm)}.$$

2. Trong hình vuông $MNPQ$:

   • Hai đường chéo bằng nhau nên: $NQ = MP = 16\text{ cm}.$
   • Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm $I$ nên:$$IM = \dfrac{MP}{2} = \dfrac{16}{2} = 8\text{ (cm)}.$$
   • Hai đường chéo vuông góc với nhau tại $I$ nên số đo góc $\widehat{MIN} = 90^\circ.$

3. Lục giác đều có sáu cạnh bằng nhau nên độ dài mỗi cạnh là:

   $$a = 36 : 6 = 6\text{ (cm)}.$$

   Độ dài mỗi đường chéo chính gấp hai lần độ dài cạnh:

   $$d = 2 \cdot 6 = 12\text{ (cm)}.$$

Dạng 3. Bài toán ghép hình và cắt hình

Phương pháp giải:

• Ghép lục giác đều: $6$ tam giác đều bằng nhau cạnh $a$ có thể ghép lại chung một đỉnh để tạo thành một lục giác đều cạnh $a$.
• Ghép tam giác đều lớn: $4$ tam giác đều bằng nhau cạnh $a$ có thể ghép lại thành một tam giác đều lớn có cạnh bằng $2a$ (gồm $3$ tam giác hướng lên và $1$ tam giác hướng xuống ở giữa).
• Cắt lục giác đều dọc theo $3$ đường chéo chính cho đúng $6$ tam giác đều bằng nhau.

Bài toán 3.1

1. Bạn Lan có $6$ miếng bìa hình tam giác đều bằng nhau, mỗi miếng có cạnh $5\text{ cm}$. Lan ghép $6$ miếng bìa đó lại sao cho chung một đỉnh thì thu được hình gì? Tính chu vi của hình vừa ghép được.
2. Bác An có một viên gạch hoa hình lục giác đều cạnh $20\text{ cm}$. Bác muốn cắt viên gạch này theo ba đường chéo chính để lát vào các góc tường.
   • Bác sẽ cắt được bao nhiêu mảnh gạch?
   • Mỗi mảnh gạch có hình dạng gì và chu vi của mỗi mảnh bằng bao nhiêu?

Lời giải:

1. Khi ghép $6$ tam giác đều bằng nhau cạnh $5\text{ cm}$ chung một đỉnh, các góc $60^\circ$ ghép quanh đỉnh tạo thành góc $6 \cdot 60^\circ = 360^\circ$ khép kín. Ta thu được một hình lục giác đều có cạnh đúng bằng cạnh của tam giác đều ban đầu, tức là $a = 5\text{ cm}$. Chu vi của hình lục giác đều ghép được là:

   $$C = 6 \cdot 5 = 30\text{ (cm)}.$$

• Ba đường chéo chính của lục giác đều cắt nhau tại tâm và chia lục giác thành $6$ mảnh gạch.
• Mỗi mảnh gạch là một tam giác đều có cạnh bằng cạnh của lục giác đều, tức là cạnh $20\text{ cm}$.
• Chu vi của mỗi mảnh gạch tam giác đều là:$$C = 3 \cdot 20 = 60\text{ (cm)}.$$

Dạng 4. Đếm số hình (Tam giác đều, Hình vuông)

Phương pháp giải:

• Phân loại hình theo kích thước: Đếm từ kích thước nhỏ nhất (cạnh $1$) $\to$ kích thước trung bình (cạnh $2$) $\to \dots \to$ kích thước lớn nhất (cạnh $n$).
• Chú ý hướng của hình: Đối với tam giác đều, cần đếm cả tam giác quay lên $(\Delta)$ và tam giác quay xuống $(\nabla)$.
• Tránh đếm sót hoặc đếm trùng lặp.

Bài toán 4.1

1. Đếm tất cả các hình vuông có trong lưới ô vuông kích thước $3 \times 3$ (mỗi ô vuông nhỏ có cạnh $1\text{ cm}$).
2. Cho một tam giác đều lớn được ghép bởi $4$ tam giác đều nhỏ cạnh $1\text{ cm}$. Hãy đếm tất cả các tam giác đều có trong hình vẽ.

Lời giải:

1. Trong lưới ô vuông kích thước $3 \times 3$:

   • Hình vuông cạnh $1\text{ cm}$: Có $3 \times 3 = 9$ hình.
   • Hình vuông cạnh $2\text{ cm}$: Có $2 \times 2 = 4$ hình.
   • Hình vuông cạnh $3\text{ cm}$: Có $1 \times 1 = 1$ hình lớn bao quanh.

   Tổng số hình vuông trong lưới là:

   $$9 + 4 + 1 = 14\text{ (hình vuông)}.$$

2. Trong hình tam giác đều ghép từ $4$ tam giác nhỏ:

   • Tam giác đều cạnh $1\text{ cm}$: Có $3$ hình quay lên và $1$ hình quay xuống ở giữa, tổng cộng là $4$ hình.
   • Tam giác đều cạnh $2\text{ cm}$: Có đúng $1$ hình lớn bên ngoài.

   Tổng số tam giác đều có trong hình là:

   $$4 + 1 = 5\text{ (tam giác đều)}.$$

Dạng 5. Bài toán thực tế ứng dụng tính chất hình học

Bài toán 5.1 (Thiết kế luống hoa công viên)

Ban quản lý công viên thành phố muốn xây dựng một luống hoa có dạng hình lục giác đều với cạnh dài $4\text{ m}$.

1. Người ta muốn rào xung quanh luống hoa bằng hàng rào gỗ. Tính chiều dài hàng rào cần làm.
2. Từ tâm của luống hoa, người ta làm $3$ lối đi thẳng bằng gạch nối đến các đỉnh đối diện nhau qua tâm để tiện chăm sóc hoa. Biết các lối đi này chạy theo ba đường chéo chính của lục giác. Tính tổng chiều dài của cả ba lối đi đó.

Lời giải:

1. Chu vi của luống hoa hình lục giác đều là:

   $$C = 6 \cdot 4 = 24\text{ (m)}.$$

   Vậy chiều dài hàng rào gỗ cần làm là $24\text{ m}$.

2. Mỗi lối đi tương ứng với một đường chéo chính của lục giác đều. Độ dài một đường chéo chính gấp đôi độ dài cạnh của lục giác:

   $$d = 2 \cdot 4 = 8\text{ (m)}.$$

   Tổng chiều dài của cả ba lối đi là:

   $$3 \cdot 8 = 24\text{ (m)}.$$

C. Phiếu bài tập tự luyện (10 bài độc bản kèm lời giải)

Đề bài phiếu tự luyện

Bài 1. Điền từ hoặc số thích hợp vào chỗ trống để được khẳng định đúng:

1. Tam giác đều có $\dots$ cạnh bằng nhau và mỗi góc bằng $\dots^\circ$.
2. Hình vuông có bốn cạnh $\dots$ và hai đường chéo $\dots$ với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Lục giác đều có sáu góc bằng nhau, mỗi góc bằng $\dots^\circ$.

Bài 2. Cho tam giác đều $DEF$ có cạnh $DF = 8\text{ cm}$. Hãy cho biết độ dài hai cạnh $DE, EF$ và số đo các góc của tam giác đó.

Bài 3. Hình vuông $ABCD$ có chu vi bằng $32\text{ cm}$.

1. Tính độ dài cạnh của hình vuông.
2. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Biết $AC = 11.3\text{ cm}$, tính độ dài đoạn thẳng $OB$.

Bài 4. Một lục giác đều có độ dài đường chéo chính bằng $16\text{ cm}$.

1. Tính độ dài mỗi cạnh của lục giác đều đó.
2. Tính chu vi của lục giác đều.

Bài 5. Bạn Khang nói: "Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên hình thoi chắc chắn là hình vuông." Em hãy cho biết bạn Khang nói đúng hay sai và giải thích lý do.

Bài 6. Nêu các bước vẽ tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $5\text{ cm}$ bằng thước thẳng và compa.

Bài 7. Người ta dùng $6$ que tính dài bằng nhau ghép lại thành một hình lục giác đều trên mặt bàn. Hỏi nếu nối tâm của lục giác với các đỉnh, người ta cần thêm bao nhiêu que tính cùng loại nữa?

Bài 8. Trong một giải cờ vua, bàn cờ có dạng hình vuông lưới $8 \times 8$ ô vuông nhỏ. Em hãy cho biết bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông cạnh $1 \times 1$?

Bài 9. Cắt một hình lục giác đều bằng giấy theo ba đường chéo chính. Hỏi ta thu được bao nhiêu hình mới, các hình đó có đặc điểm gì?

Bài 10. Bạn Minh có $8$ tam giác đều bằng nhau cạnh $3\text{ cm}$. Bạn Minh có thể dùng hết $8$ tam giác này để ghép thành một tam giác đều lớn hơn được không? Vì sao?

Lời giải chi tiết phiếu tự luyện

Bài 1.

1. Tam giác đều có $3$ cạnh bằng nhau và mỗi góc bằng $60^\circ$.
2. Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Lục giác đều có sáu góc bằng nhau, mỗi góc bằng $120^\circ$.

Bài 2. Vì $DEF$ là tam giác đều nên ba cạnh bằng nhau:

Ba góc của tam giác đều bằng nhau và mỗi góc bằng $60^\circ$:

Bài 3.

1. Độ dài một cạnh của hình vuông là:$$a = 32 : 4 = 8\text{ (cm)}.$$
2. Trong hình vuông $ABCD$, hai đường chéo bằng nhau nên $BD = AC = 11.3\text{ cm}$. Giao điểm $O$ là trung điểm của $BD$ nên:$$OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{11.3}{2} = 5.65\text{ (cm)}.$$

Bài 4.

1. Độ dài đường chéo chính của lục giác đều gấp đôi độ dài cạnh. Do đó độ dài mỗi cạnh là:$$a = 16 : 2 = 8\text{ (cm)}.$$
2. Chu vi của lục giác đều là:$$C = 6 \cdot 8 = 48\text{ (cm)}.$$

Bài 5. Bạn Khang nói sai. Giải thích: Hình vuông đòi hỏi hai điều kiện: bốn cạnh bằng nhau VÀ bốn góc phải là góc vuông. Hình thoi tuy có bốn cạnh bằng nhau nhưng các góc của nó có thể là góc nhọn hoặc góc tù (không vuông). Do đó hình thoi chưa chắc đã là hình vuông.

Bài 6. Các bước vẽ:

• Bước 1: Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng $AB = 5\text{ cm}$.
• Bước 2: Mở compa khẩu độ $5\text{ cm}$. Vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $5\text{ cm}$. Giữ nguyên khẩu độ compa, vẽ cung tròn tâm $B$ bán kính $5\text{ cm}$.
• Bước 3: Hai cung tròn cắt nhau tại $C$. Dùng thước nối $C$ với $A$ và $C$ với $B$, ta được tam giác đều $ABC$ cạnh $5\text{ cm}$.

Bài 7. Từ tâm lục giác đều nối đến $6$ đỉnh tạo thành $6$ đoạn thẳng nối từ tâm đến đỉnh. Mỗi đoạn này có độ dài đúng bằng cạnh của lục giác đều. Do đó, người ta cần thêm đúng $6$ que tính cùng loại nữa.

Bài 8. Bàn cờ vua có kích thước $8 \times 8$ nên số ô vuông đơn vị cạnh $1 \times 1$ là:

Bài 9. Ba đường chéo chính của lục giác đều cùng đi qua tâm $O$ và chia lục giác thành $6$ mảnh giấy. Mỗi mảnh giấy thu được là một tam giác đều bằng nhau, có cạnh đúng bằng cạnh của lục giác đều ban đầu.

Bài 10. Bạn Minh không thể ghép được. Giải thích: Để ghép các tam giác đều nhỏ cạnh $a$ thành một tam giác đều lớn hơn cạnh $ka$ ($k \in \mathbb{N}, k \ge 2$), số lượng tam giác đều nhỏ cần dùng phải là một số chính phương $k^2$:

• Với $k = 2$: cần $2^2 = 4$ tam giác;
• Với $k = 3$: cần $3^2 = 9$ tam giác;
• Với $k = 4$: cần $4^2 = 16$ tam giác.

Vì $8$ không phải là số chính phương ($4 < 8 < 9$) nên không thể dùng hết $8$ tam giác đều để ghép thành một tam giác đều lớn.

D. Đề kiểm tra 15 phút — Đánh giá năng lực chuẩn

Đề bài

Phần I. Trắc nghiệm (4 câu — 4 điểm)

Phần II. Tự luận (3 câu — 6 điểm)

Câu 1 (2.0 điểm). Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Biết $OA = 6\text{ cm}$. Tính độ dài đường chéo $BD$ và cho biết số đo góc $\widehat{AOD}$.

Câu 2 (2.0 điểm). Một công ty môi trường thiết kế nắp cống thoát nước có dạng hình lục giác đều với chu vi $42\text{ dm}$. Tính độ dài mỗi cạnh và độ dài đường chéo chính của nắp cống đó.

Câu 3 (2.0 điểm). Đếm số hình vuông có trong lưới ô vuông kích thước $2 \times 2$.

Đáp án và thang điểm phần tự luận

Câu 1 (2.0 điểm):

• Điểm $O$ là trung điểm của đường chéo $AC$ nên $AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}$ (0.75 điểm).
• Hai đường chéo của hình vuông bằng nhau nên $BD = AC = 12\text{ cm}$ (0.75 điểm).
• Hai đường chéo vuông góc với nhau nên $\widehat{AOD} = 90^\circ$ (0.5 điểm).

Câu 2 (2.0 điểm):

• Độ dài một cạnh của nắp cống hình lục giác đều là:$$a = 42 : 6 = 7\text{ (dm)}\text{ (1.0 điểm)}.$$
• Độ dài đường chéo chính của nắp cống là:$$d = 2 \cdot 7 = 14\text{ (dm)}\text{ (1.0 điểm)}.$$

Câu 3 (2.0 điểm):

• Hình vuông kích thước $1 \times 1$: Có $2 \times 2 = 4$ hình (1.0 điểm).
• Hình vuông kích thước $2 \times 2$: Có đúng $1$ hình bao quanh bên ngoài (0.5 điểm).
• Tổng số hình vuông là $4 + 1 = 5$ hình (0.5 điểm).

E. Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi & Nâng cao

Bài toán nâng cao 1 (Công thức tổng quát đếm hình vuông trong lưới $n \times n$)

Cho một lưới ô vuông kích thước $4 \times 4$ gồm $16$ ô vuông nhỏ cạnh $1\text{ cm}$.

1. Đếm tổng số hình vuông (đủ mọi kích cỡ) có trong lưới.
2. Từ đó rút ra công thức tổng quát tính số hình vuông trong lưới $n \times n$.

Lời giải:

1. Phân loại theo kích thước cạnh hình vuông trong lưới $4 \times 4$:

   • Hình vuông cạnh $1$: Có $4 \times 4 = 16 = 4^2$ hình.
   • Hình vuông cạnh $2$: Có $3 \times 3 = 9 = 3^2$ hình.
   • Hình vuông cạnh $3$: Có $2 \times 2 = 4 = 2^2$ hình.
   • Hình vuông cạnh $4$: Có $1 \times 1 = 1 = 1^2$ hình.

   Tổng số hình vuông là:

   $$S = 16 + 9 + 4 + 1 = 30\text{ (hình vuông)}.$$

2. Công thức tổng quát: Trong lưới ô vuông kích thước $n \times n$, số hình vuông có cạnh $k$ ($1 \le k \le n$) là $(n - k + 1)^2$. Do đó tổng số hình vuông là:

   $$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.$$

Bài toán nâng cao 2 (Tính số đường chéo của đa giác đều)

Một lục giác đều có $6$ đỉnh.

1. Hãy chứng minh lục giác đều có tất cả $9$ đường chéo.
2. Rút ra công thức tính số đường chéo của một đa giác $n$ đỉnh.

Lời giải:

1. Từ mỗi đỉnh của lục giác, ta có thể nối đến $(6 - 1) = 5$ đỉnh còn lại để tạo thành các đoạn thẳng.

   • Trong đó có $2$ đỉnh kề cạnh tạo thành $2$ cạnh của lục giác.
   • Còn lại $6 - 3 = 3$ đỉnh không kề nhau, tạo thành $3$ đường chéo xuất phát từ đỉnh đó.

   Với $6$ đỉnh, số đoạn nối là $6 \times 3 = 18$. Tuy nhiên mỗi đường chéo nối hai đỉnh nên đã bị đếm hai lần (ví dụ $AC$ và $CA$). Vậy số đường chéo thực tế của lục giác đều là:

   $$18 : 2 = 9\text{ (đường chéo)}.$$

   Trong $9$ đường chéo này: có $3$ đường chéo chính đi qua tâm và $6$ đường chéo phụ không đi qua tâm.

2. Công thức tổng quát cho đa giác $n$ đỉnh ($n \ge 3$): Mỗi đỉnh nối với $(n - 3)$ đỉnh không kề để tạo thành đường chéo. Có $n$ đỉnh, mỗi đường tính hai lần nên:

   $$\text{Số đường chéo} = \dfrac{n(n - 3)}{2}.$$

   (Kiểm tra: với lục giác $n = 6 \implies \dfrac{6(6 - 3)}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$ đường chéo; với hình vuông $n = 4 \implies \dfrac{4(4 - 3)}{2} = 2$ đường chéo).

Bài toán nâng cao 3 (Đếm tam giác đều trong lưới tam giác cạnh 3)

Cho một tam giác đều lớn cạnh $3\text{ cm}$ được chia thành các tam giác đều nhỏ cạnh $1\text{ cm}$. Hỏi có tất cả bao nhiêu tam giác đều (đủ mọi kích thước) trong hình?

Lời giải: Chia thành hai loại theo chiều hướng của tam giác:

1. Các tam giác hướng lên $(\Delta)$:

   • Cạnh $1\text{ cm}$: Tầng 1 (trên cùng) có $1$; Tầng 2 có $2$; Tầng 3 có $3$. Tổng cộng: $1 + 2 + 3 = 6$ hình.
   • Cạnh $2\text{ cm}$: Có $1 + 2 = 3$ hình.
   • Cạnh $3\text{ cm}$: Có đúng $1$ hình lớn bao ngoài. Tổng số tam giác hướng lên là: $6 + 3 + 1 = 10$ hình.

2. Các tam giác hướng xuống $(\nabla)$:

   • Cạnh $1\text{ cm}$: Có $1$ ở giữa tầng 2 và $2$ ở giữa tầng 3. Tổng cộng có $1 + 2 = 3$ hình.
   • Cạnh $2\text{ cm}$: Không có tam giác nào hướng xuống (vì đáy không đủ rộng). Tổng số tam giác hướng xuống là $3$ hình.

Vậy tổng số tam giác đều có trong hình là:

Bài toán nâng cao 4 (Ghép hình bảo toàn diện tích và chu vi)

Cho $6$ tam giác đều bằng nhau có cạnh $a = 6\text{ cm}$.

1. Ghép $6$ tam giác này thành một hình lục giác đều. Tính chu vi của lục giác đều thu được.
2. Bạn Nam lấy thêm $3$ tam giác đều cùng loại nữa để ghép thành một tam giác đều lớn (gồm $9$ tam giác nhỏ). Tính chu vi của tam giác đều lớn đó.

Lời giải:

1. Khi ghép $6$ tam giác đều cạnh $6\text{ cm}$ quanh một điểm chung, ta được hình lục giác đều có cạnh bằng $a = 6\text{ cm}$. Chu vi của lục giác đều là:

   $$C_1 = 6 \cdot 6 = 36\text{ (cm)}.$$

2. Khi ghép $9$ tam giác đều nhỏ cạnh $6\text{ cm}$ thành một tam giác đều lớn: Vì $9 = 3^2$, nên mỗi cạnh của tam giác đều lớn sẽ gồm $3$ cạnh của tam giác đều nhỏ:

   $$A = 3 \cdot 6 = 18\text{ (cm)}.$$

   Chu vi của tam giác đều lớn là:

   $$C_2 = 3 \cdot A = 3 \cdot 18 = 54\text{ (cm)}.$$

Bài toán nâng cao 5 (Tính đối xứng và lát gạch mặt phẳng)

Vì sao trong thực tế, người ta thường dùng gạch hình tam giác đều, hình vuông hoặc lục giác đều để lát sàn nhà mà không dùng hình ngũ giác đều (5 cạnh)?

Lời giải: Để lát kín mặt phẳng mà các viên gạch không bị chồng lên nhau và không để lại khe hở: Tổng các góc tại mỗi điểm tiếp xúc (đỉnh chung) của các viên gạch phải đúng bằng $360^\circ$.

• Với tam giác đều: Mỗi góc bằng $60^\circ$. Vì $360^\circ : 60^\circ = 6$ nên ghép đúng $6$ tam giác đều quanh một đỉnh là khít hoàn toàn.
• Với hình vuông: Mỗi góc bằng $90^\circ$. Vì $360^\circ : 90^\circ = 4$ nên ghép đúng $4$ hình vuông quanh một đỉnh là khít hoàn toàn.
• Với lục giác đều: Mỗi góc bằng $120^\circ$. Vì $360^\circ : 120^\circ = 3$ nên ghép đúng $3$ lục giác đều quanh một đỉnh là khít hoàn toàn (đây chính là lý do tổ ong luôn có cấu trúc lục giác đều để tiết kiệm sáp ong nhất mà vẫn chứa được nhiều mật nhất).
• Với ngũ giác đều: Mỗi góc bằng $108^\circ$. Vì $360^\circ : 108^\circ = 3.333\dots$ không phải số nguyên, nên không thể ghép các ngũ giác đều khít mặt phẳng mà không chừa lại khoảng trống!

F. Lời kết và tóm tắt bài học

Bài 18 đã mở ra cánh cửa đầu tiên của hình học trực quan lớp 6. Hãy ghi nhớ các đặc điểm cốt lõi:

1. Tam giác đều: $3$ cạnh bằng nhau, $3$ góc $60^\circ$.
2. Hình vuông: $4$ cạnh bằng nhau, $4$ góc vuông $90^\circ$, $2$ đường chéo bằng nhau và vuông góc tại trung điểm.
3. Lục giác đều: $6$ cạnh bằng nhau, $6$ góc $120^\circ$, $3$ đường chéo chính bằng nhau đi qua tâm và dài gấp đôi cạnh.
4. Ở bài học tiếp theo — Bài 19, chúng ta sẽ tiếp tục khám phá bốn tứ giác quen thuộc khác: Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình bình hành và Hình thang cân!