Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Bài 6: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên - Lý thuyết, dạng toán và bài tập chi tiết

Toàn bộ lý thuyết Toán 6 Bài 6 Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: định nghĩa, cơ số, số mũ, số chính phương, nhân chia cùng cơ số, kèm câu hỏi trắc nghiệm tương tác và lời giải chi tiết.

#Toán học#Toán 6#Số tự nhiên#Luỹ thừa với số mũ tự nhiên#Số chính phương#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết30 mục

Bài 6. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Ở Bài 5, chúng ta đã biết phép nhân là cách viết gọn của phép cộng nhiều số hạng bằng nhau. Khi cần nhân nhiều thừa số bằng nhau (chẳng hạn 2⋅2⋅2⋅2⋅22 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2), toán học sử dụng phép nâng lên luỹ thừa để biểu diễn ngắn gọn, súc tích và dễ tính toán hơn.

Khởi động — Ôn tập kiến thức cũ

Hãy thực hiện nhanh các câu hỏi khởi động sau để làm quen với phép nhân nhiều thừa số bằng nhau.

Giá trị của tích 5⋅5⋅55 \cdot 5 \cdot 5 bằng bao nhiêu?

Giá trị của tích 3⋅3⋅3⋅33 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 (4 thừa số 3) bằng bao nhiêu?

Tính nhanh tích 8⋅29⋅1258 \cdot 29 \cdot 125 ta được kết quả là:

Tích 10⋅10⋅10⋅10⋅1010 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 gồm 5 thừa số 10 có giá trị là:

Xem lời giải các câu tự luận khởi động (Câu 4, Câu 5)

Câu 4. Viết số 46354635 thành tổng giá trị các chữ số theo từng hàng (nghìn, trăm, chục, đơn vị):

4635=4⋅1000+6⋅100+3⋅10+5.4635 = 4 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5.

Câu 5. Một tích gồm các thừa số đều bằng 88 và có tất cả 66 thừa số:

8⋅8⋅8⋅8⋅8⋅8.8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8.

Đây chính là hình ảnh trực quan dẫn tới khái niệm luỹ thừa 868^6 mà chúng ta sẽ tìm hiểu ngay dưới đây.

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Định nghĩa: Luỹ thừa bậc nn của aa là tích của nn thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng aa:

an=a⋅a⋅a⋯a⏟n thừa soˆˊ(n∈N∗).a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ thừa số}} \quad (n \in \mathbb{N}^*).

Trong đó:

  • aa được gọi là cơ số.
  • nn được gọi là số mũ.
  • ana^n đọc là "a mũ n" (hoặc "a luỹ thừa n", "luỹ thừa bậc n của a").

Quy ước và tên gọi đặc biệt:

  • a1=a.a^1 = a.
  • a2a^2 đọc là "aa mũ hai" hoặc "aa bình phương". Các số là bình phương của một số tự nhiên như 0;1;4;9;16;25;36;…0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; \dots được gọi là các số chính phương.
  • a3a^3 đọc là "aa mũ ba" hoặc "aa lập phương".
  • Luỹ thừa của 1010: 10n=100…0⏟n chữ soˆˊ 0.10^n = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ chữ số } 0}.

Ví dụ 1:

  • Viết các tích sau thành luỹ thừa:
    • 4⋅4⋅4⋅4⋅4=454 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 (có 55 thừa số 44).
    • 7⋅7⋅7=737 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3 (có 33 thừa số 77).
  • Tính giá trị:
    • 34=3⋅3⋅3⋅3=81.3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81.
    • 25=2⋅2⋅2⋅2⋅2=32.2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32.
    • 103=10⋅10⋅10=1000.10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000.

2. Nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Quy tắc nhân hai luỹ thừa cùng cơ số: Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

am⋅an=am+n.a^m \cdot a^n = a^{m+n}.

Quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số: Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số (khác 00), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

am:an=am−n(a≠0;  m⩾n).a^m : a^n = a^{m-n} \quad (a \neq 0;\; m \ge n).

Quy ước:

a0=1(a≠0).a^0 = 1 \quad (a \neq 0).

Ví dụ 2:

  1. 34⋅35=34+5=39.3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9.
  2. 58:55=58−5=53.5^8 : 5^5 = 5^{8-5} = 5^3.
  3. Viết 8⋅328 \cdot 32 dưới dạng một luỹ thừa: Đưa về cùng cơ số 22 ta có 8=238 = 2^3 và 32=2532 = 2^5, do đó:8⋅32=23⋅25=23+5=28.8 \cdot 32 = 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8.

3. Những sai lầm học sinh rất dễ mắc phải

Sai lầm phổ biến Sửa lại cho đúng Giải thích
Nhầm luỹ thừa với phép nhân: 32=63^2 = 6 32=3⋅3=93^2 = 3 \cdot 3 = 9 Luỹ thừa là tích các thừa số giống nhau, không phải lấy cơ số nhân số mũ.
Nhân cả cơ số lẫn số mũ: 32⋅33=953^2 \cdot 3^3 = 9^5 hoặc 363^6 32⋅33=32+3=353^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 Giữ nguyên cơ số, chỉ cộng số mũ.
Tự ý cộng số mũ khi gặp phép cộng: 23+22=252^3 + 2^2 = 2^5 23+22=8+4=122^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 Chỉ phép nhân/chia mới gộp số mũ, phép cộng phải tính giá trị từng luỹ thừa.
Quên quy ước luỹ thừa mũ 00: 70=07^0 = 0 70=17^0 = 1 Mọi số khác 00 nâng lên luỹ thừa 00 đều bằng 1.1.

B. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1. Viết kết quả dưới dạng một luỹ thừa

Phương pháp giải:

  • Áp dụng định nghĩa luỹ thừa: an=a⋅a⋯a⏟n thừa soˆˊ.a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ thừa số}}.
  • Sử dụng công thức nhân, chia: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} và am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n} (a≠0,m⩾na \neq 0, m \ge n).
  • Nếu các thừa số khác cơ số, hãy tìm cách phân tích đưa về cùng cơ số (ví dụ 4=22,8=23,9=32,27=334 = 2^2, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 27 = 3^3).

Luyện tập 1.1

Hoàn thành các ô còn thiếu trong bảng sau:

Luỹ thừa Cơ số Số mũ Giá trị của luỹ thừa
626^2 ?? ?? ??
?? 44 33 ??
3?3^? 33 ?? 8181
a0a^0 (a∈N∗a \in \mathbb{N}^*) aa 00 ??
Xem lời giải Luyện tập 1.1
  • Hàng 1: Luỹ thừa 626^2 có cơ số là 66, số mũ là 22, giá trị là 62=36.6^2 = 36.
  • Hàng 2: Cơ số 44, số mũ 3⇒3 \Rightarrow Luỹ thừa 434^3, giá trị là 43=4⋅4⋅4=64.4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64.
  • Hàng 3: Vì 81=3481 = 3^4 nên luỹ thừa là 343^4, số mũ là 4.4.
  • Hàng 4: Luỹ thừa a0a^0 với a≠0a \neq 0 có giá trị bằng 1.1.

Bảng hoàn chỉnh:

Luỹ thừa Cơ số Số mũ Giá trị
626^2 66 22 3636
434^3 44 33 6464
343^4 33 44 8181
a0a^0 aa 00 11

Luyện tập 1.2

Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một luỹ thừa: a) 76⋅74;7^6 \cdot 7^4; b) 3⋅34⋅3⋅315;3 \cdot 3^4 \cdot 3 \cdot 3^{15}; c) 1718:1712;17^{18} : 17^{12}; d) c15:c8:c7c^{15} : c^8 : c^7 (c≠0c \neq 0).

Xem lời giải Luyện tập 1.2

a) 76⋅74=76+4=710.7^6 \cdot 7^4 = 7^{6+4} = 7^{10}. b) 3⋅34⋅3⋅315=31⋅34⋅31⋅315=31+4+1+15=321.3 \cdot 3^4 \cdot 3 \cdot 3^{15} = 3^1 \cdot 3^4 \cdot 3^1 \cdot 3^{15} = 3^{1+4+1+15} = 3^{21}. c) 1718:1712=1718−12=176.17^{18} : 17^{12} = 17^{18-12} = 17^6. d) c15:c8:c7=c15−8−7=c0=1.c^{15} : c^8 : c^7 = c^{15-8-7} = c^0 = 1.

Luyện tập 1.3

Viết thành một luỹ thừa bằng cách đưa về cùng cơ số: a) 8⋅8⋅8⋅2⋅2;8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 2; b) 34⋅92⋅272.3^4 \cdot 9^2 \cdot 27^2.

Xem lời giải Luyện tập 1.3

a) Ta có 8=238 = 2^3 nên 8⋅8⋅8=23⋅23⋅23=29.8 \cdot 8 \cdot 8 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^9. Do đó:

8⋅8⋅8⋅2⋅2=29⋅21⋅21=29+1+1=211.8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 2 = 2^9 \cdot 2^1 \cdot 2^1 = 2^{9+1+1} = 2^{11}.

b) Đưa về cơ số 33:

  • 9=32⇒92=32⋅32=34.9 = 3^2 \Rightarrow 9^2 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4.
  • 27=33⇒272=33⋅33=36.27 = 3^3 \Rightarrow 27^2 = 3^3 \cdot 3^3 = 3^6. Vậy:34⋅92⋅272=34⋅34⋅36=34+4+6=314.3^4 \cdot 9^2 \cdot 27^2 = 3^4 \cdot 3^4 \cdot 3^6 = 3^{4+4+6} = 3^{14}.

Dạng 2. Bình phương, lập phương và số chính phương

Phương pháp giải:

  • Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên (02=0,12=1,22=4,32=9,…0^2 = 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, \dots).
  • Các công thức tổng đặc biệt đáng nhớ:
    • Tổng của nn số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 11 bằng n2n^2:1+3+5+⋯+(2n−1)=n2.1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2.
    • Tổng các lập phương bằng bình phương của tổng các cơ số:13+23+33+⋯+n3=(1+2+3+⋯+n)2.1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2.

Luyện tập 2.1

Điền các giá trị thích hợp vào bảng:

aa 22 ?? 55 ??
a2a^2 ?? 00 ?? ??
a3a^3 ?? ?? ?? 2727
Xem lời giải Luyện tập 2.1
  • Cột 1: a=2⇒a2=22=4;  a3=23=8.a = 2 \Rightarrow a^2 = 2^2 = 4;\; a^3 = 2^3 = 8.
  • Cột 2: a2=0⇒a=0;  a3=03=0.a^2 = 0 \Rightarrow a = 0;\; a^3 = 0^3 = 0.
  • Cột 3: a=5⇒a2=52=25;  a3=53=125.a = 5 \Rightarrow a^2 = 5^2 = 25;\; a^3 = 5^3 = 125.
  • Cột 4: a3=27=33⇒a=3;  a2=32=9.a^3 = 27 = 3^3 \Rightarrow a = 3;\; a^2 = 3^2 = 9.

Bảng kết quả:

aa 22 00 55 33
a2a^2 44 00 2525 99
a3a^3 88 00 125125 2727

Luyện tập 2.2

a) Trong các số tự nhiên từ 11 đến 5050, có bao nhiêu số chính phương? b) Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số là lập phương của một số tự nhiên.

Xem lời giải Luyện tập 2.2

a) Các số chính phương từ 11 đến 5050 là bình phương của các số tự nhiên từ 11 đến 77:

12=1;  22=4;  32=9;  42=16;  52=25;  62=36;  72=49.1^2 = 1;\; 2^2 = 4;\; 3^2 = 9;\; 4^2 = 16;\; 5^2 = 25;\; 6^2 = 36;\; 7^2 = 49.

(Vì 82=64>508^2 = 64 > 50). Vậy có 77 số chính phương thỏa mãn.

b) Ta lần lượt tính lập phương của các số tự nhiên:

  • 43=644^3 = 64 (có hai chữ số — loại).
  • 53=125.5^3 = 125.
  • 63=216.6^3 = 216.
  • 73=343.7^3 = 343.
  • 83=512.8^3 = 512.
  • 93=729.9^3 = 729.
  • 103=100010^3 = 1000 (có bốn chữ số — dừng lại).

Vậy có 55 số tự nhiên có ba chữ số là lập phương của một số tự nhiên: 125;216;343;512;729.125; 216; 343; 512; 729.

Luyện tập 2.3

Viết mỗi tổng sau thành bình phương của một số tự nhiên: a) 1+3+5+7+9;1 + 3 + 5 + 7 + 9; b) 13+23+33.1^3 + 2^3 + 3^3.

Xem lời giải Luyện tập 2.3

a) Tổng gồm 55 số lẻ liên tiếp kể từ 11, nên:

1+3+5+7+9=52=25.1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2 = 25.

b) Áp dụng công thức tổng các lập phương:

13+23+33=(1+2+3)2=62=36.1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36.

Dạng 3. Viết một số tự nhiên thành tổng theo các luỹ thừa của 10

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Viết số đã cho thành tổng giá trị các chữ số theo từng hàng đơn vị, chục, trăm, nghìn, ...
  • Bước 2: Thay các số 1;10;100;1000;10000;…1; 10; 100; 1000; 10000; \dots bằng các luỹ thừa tương ứng 100;101;102;103;104;…10^0; 10^1; 10^2; 10^3; 10^4; \dots

Luyện tập 3.1

Viết số 2823028230 thành tổng các giá trị chữ số của nó bằng cách dùng các luỹ thừa của 10.10.

Xem lời giải Luyện tập 3.1 28230=2⋅10000+8⋅1000+2⋅100+3⋅10+028230 = 2 \cdot 10000 + 8 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 028230=2⋅104+8⋅103+2⋅102+3⋅101.28230 = 2 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1.

Luyện tập 3.2

Viết số 4087240872 thành tổng các giá trị chữ số của nó bằng cách dùng các luỹ thừa của 10.10.

Xem lời giải Luyện tập 3.2

Chữ số hàng nghìn bằng 00 nên ta có thể bỏ qua số hạng đó:

40872=4⋅10000+0⋅1000+8⋅100+7⋅10+240872 = 4 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 8 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 240872=4⋅104+8⋅102+7⋅101+2⋅100.40872 = 4 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0.

Luyện tập 3.3

Viết các số sau thành tổng các luỹ thừa của 1010: a) 826435;826435; b) abcd‾\overline{abcd} (a≠0a \neq 0).

Xem lời giải Luyện tập 3.3

a) 826435=8⋅105+2⋅104+6⋅103+4⋅102+3⋅101+5⋅100.826435 = 8 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0. b) abcd‾=a⋅103+b⋅102+c⋅101+d⋅100.\overline{abcd} = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + c \cdot 10^1 + d \cdot 10^0.

Dạng 4. Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa

Phương pháp giải:

  • Tìm số mũ: Đưa hai vế về hai luỹ thừa có cùng cơ số rồi cho hai số mũ bằng nhau:Neˆˊu am=an(a>1)  ⟹  m=n.\text{Nếu } a^m = a^n \quad (a > 1) \implies m = n.
  • Tìm cơ số: Đưa hai vế về hai luỹ thừa có cùng số mũ lẻ (hoặc số tự nhiên dương với số mũ chẵn):Neˆˊu xn=an(n⩾1,x,a∈N)  ⟹  x=a.\text{Nếu } x^n = a^n \quad (n \ge 1, x, a \in \mathbb{N}) \implies x = a.

Luyện tập 4.1

Tìm số tự nhiên nn, biết: a) 2n=16;2^n = 16; b) 5n=125.5^n = 125.

Xem lời giải Luyện tập 4.1

a) Ta có 16=24.16 = 2^4. Do đó 2n=24  ⟹  n=4.2^n = 2^4 \implies n = 4. b) Ta có 125=53.125 = 5^3. Do đó 5n=53  ⟹  n=3.5^n = 5^3 \implies n = 3.

Luyện tập 4.2

Tìm số tự nhiên nn, biết: a) 4⋅7n=196;4 \cdot 7^n = 196; b) 104−n=100.10^{4-n} = 100.

Xem lời giải Luyện tập 4.2

a)

7n=196:4=49.7^n = 196 : 4 = 49.

Vì 49=7249 = 7^2 nên 7n=72  ⟹  n=2.7^n = 7^2 \implies n = 2.

b)

104−n=100=102.10^{4-n} = 100 = 10^2.

Suy ra 4−n=2  ⟹  n=4−2=2.4 - n = 2 \implies n = 4 - 2 = 2.

Luyện tập 4.3

Tìm số tự nhiên xx, biết: a) 5x2−7=38;5x^2 - 7 = 38; b) (x+2)3=27.(x + 2)^3 = 27.

Xem lời giải Luyện tập 4.3

a)

5x2=38+7=455x^2 = 38 + 7 = 45x2=45:5=9.x^2 = 45 : 5 = 9.

Vì 9=329 = 3^2 và x∈Nx \in \mathbb{N} nên x=3.x = 3.

b)

(x+2)3=27=33.(x + 2)^3 = 27 = 3^3.

Suy ra:

x+2=3  ⟹  x=3−2=1.x + 2 = 3 \implies x = 3 - 2 = 1.

Dạng 5. Bài toán thực tế sử dụng luỹ thừa

Luyện tập 5.1

Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng 15⋅107 km.15 \cdot 10^7\text{ km}. Một tàu thám hiểm không gian bay với vận tốc đều 104 km/h.10^4\text{ km/h}. Hỏi tàu cần bao nhiêu giờ để đi hết quãng đường đó?

Xem lời giải Luyện tập 5.1

Thời gian cần thiết để tàu bay hết quãng đường là:

15⋅107104=15⋅107−4=15⋅103=15000 (giờ).\dfrac{15 \cdot 10^7}{10^4} = 15 \cdot 10^{7-4} = 15 \cdot 10^3 = 15000\text{ (giờ)}.

Đáp số: 1500015000 giờ.

Luyện tập 5.2

Trong tin học, biết 1 MB=210 kB1\text{ MB} = 2^{10}\text{ kB} và 1 GB=210 MB.1\text{ GB} = 2^{10}\text{ MB}. Hỏi một thẻ nhớ có dung lượng 4 GB4\text{ GB} thì chứa được bao nhiêu Kilobyte (kB)?

Xem lời giải Luyện tập 5.2

Ta có:

1 GB=210 MB=210⋅210 kB=220 kB.1\text{ GB} = 2^{10}\text{ MB} = 2^{10} \cdot 2^{10}\text{ kB} = 2^{20}\text{ kB}.

Do đó thẻ nhớ 4 GB4\text{ GB} có dung lượng là:

4⋅220=22⋅220=222 (kB)=4194304 kB.4 \cdot 2^{20} = 2^2 \cdot 2^{20} = 2^{22}\text{ (kB)} = 4194304\text{ kB}.

Đáp số: 4194304 kB.4194304\text{ kB}.

Luyện tập 5.3

Một nhà máy xử lý nước thải xử lý được 8⋅106 lıˊt8 \cdot 10^6\text{ lít} nước mỗi ngày. Hỏi nhà máy sẽ xử lý được 64⋅109 lıˊt64 \cdot 10^9\text{ lít} nước trong bao nhiêu ngày?

Xem lời giải Luyện tập 5.3

Số ngày cần thiết là:

(64⋅109):(8⋅106)=(64:8)⋅109−6=8⋅103=8000 (ngaˋy).(64 \cdot 10^9) : (8 \cdot 10^6) = (64 : 8) \cdot 10^{9-6} = 8 \cdot 10^3 = 8000\text{ (ngày)}.

Đáp số: 80008000 ngày.

C. Phiếu bài tập tự luyện

Bài 1

Viết các tích sau dưới dạng một luỹ thừa: a) 7⋅7⋅7⋅7⋅7;7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7; b) 4⋅2⋅16⋅8;4 \cdot 2 \cdot 16 \cdot 8; c) 36⋅36⋅6.36 \cdot 36 \cdot 6.

Xem lời giải Bài 1

a) Tích có 55 thừa số 77 nên:

7⋅7⋅7⋅7⋅7=75.7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^5.

b) Đưa các thừa số về cơ số 22: 4=22,16=24,8=23.4 = 2^2, 16 = 2^4, 8 = 2^3.

4⋅2⋅16⋅8=22⋅21⋅24⋅23=22+1+4+3=210.4 \cdot 2 \cdot 16 \cdot 8 = 2^2 \cdot 2^1 \cdot 2^4 \cdot 2^3 = 2^{2+1+4+3} = 2^{10}.

c) Đưa các thừa số về cơ số 66: 36=62.36 = 6^2.

36⋅36⋅6=62⋅62⋅61=62+2+1=65.36 \cdot 36 \cdot 6 = 6^2 \cdot 6^2 \cdot 6^1 = 6^{2+2+1} = 6^5.

Bài 2

Hoàn thành các ô trống trong bảng sau:

Luỹ thừa Cơ số Số mũ Giá trị của luỹ thừa
828^2 ?? ?? ??
?? 33 44 ??
6?6^? 66 ?? 216216
1k1^k (k∈N∗k \in \mathbb{N}^*) 11 kk ??
Xem lời giải Bài 2
  • Hàng 1: Cơ số 88, số mũ 22, giá trị 82=64.8^2 = 64.
  • Hàng 2: Cơ số 33, số mũ 4⇒4 \Rightarrow Luỹ thừa 343^4, giá trị 34=81.3^4 = 81.
  • Hàng 3: Vì 216=63216 = 6^3 nên số mũ là 33, luỹ thừa là 63.6^3.
  • Hàng 4: Luỹ thừa 1k=11^k = 1 với mọi k∈N∗.k \in \mathbb{N}^*.

Bảng hoàn thành:

Luỹ thừa Cơ số Số mũ Giá trị
828^2 88 22 6464
343^4 33 44 8181
636^3 66 33 216216
1k1^k 11 kk 11

Bài 3

Viết kết quả dưới dạng một luỹ thừa: a) 815⋅825;8^{15} \cdot 8^{25}; b) 238⋅23⋅23;23^8 \cdot 23 \cdot 23; c) 14518:14517;145^{18} : 145^{17}; d) 81:32.81 : 3^2.

Xem lời giải Bài 3

a) 815⋅825=815+25=840.8^{15} \cdot 8^{25} = 8^{15+25} = 8^{40}. b) 238⋅23⋅23=238+1+1=2310.23^8 \cdot 23 \cdot 23 = 23^{8+1+1} = 23^{10}. c) 14518:14517=14518−17=1451=145.145^{18} : 145^{17} = 145^{18-17} = 145^1 = 145. d) Ta có 81=3481 = 3^4 nên 81:32=34:32=34−2=32.81 : 3^2 = 3^4 : 3^2 = 3^{4-2} = 3^2.

Bài 4

a) Tìm tất cả các số chính phương có hai chữ số. b) Trong các số tự nhiên từ 5050 đến 300300, có bao nhiêu số là lập phương của một số tự nhiên?

Xem lời giải Bài 4

a) Lần lượt bình phương các số tự nhiên:

  • 42=16;  52=25;  62=36;  72=49;  82=64;  92=81.4^2 = 16;\; 5^2 = 25;\; 6^2 = 36;\; 7^2 = 49;\; 8^2 = 64;\; 9^2 = 81. Vậy các số chính phương có hai chữ số là: 16;25;36;49;64;81.16; 25; 36; 49; 64; 81.

b) Xét lập phương của các số tự nhiên:

  • 33=27<50.3^3 = 27 < 50.
  • 43=644^3 = 64 (50⩽64⩽30050 \le 64 \le 300).
  • 53=1255^3 = 125 (50⩽125⩽30050 \le 125 \le 300).
  • 63=2166^3 = 216 (50⩽216⩽30050 \le 216 \le 300).
  • 73=343>300.7^3 = 343 > 300. Vậy có 33 số thoả mãn là: 64;125;216.64; 125; 216.

Bài 5

Viết mỗi tổng sau thành bình phương của một số tự nhiên: a) 1+3+5+7+9+11+13;1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13; b) 13+23+33+43.1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3.

Xem lời giải Bài 5

a) Dãy số 1;3;5;… ;131; 3; 5; \dots; 13 gồm 77 số lẻ liên tiếp kể từ 11. Tổng bằng:

1+3+5+⋯+13=72=49.1 + 3 + 5 + \dots + 13 = 7^2 = 49.

b) Áp dụng tính chất tổng lập phương:

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102=100.1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100.

Bài 6

Viết các số sau thành tổng các luỹ thừa của 1010: a) 74290;74290; b) abcde‾\overline{abcde} (a≠0a \neq 0).

Xem lời giải Bài 6

a) 74290=7⋅10000+4⋅1000+2⋅100+9⋅1074290 = 7 \cdot 10000 + 4 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 9 \cdot 10

74290=7⋅104+4⋅103+2⋅102+9⋅101.74290 = 7 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^1.

b) abcde‾=a⋅104+b⋅103+c⋅102+d⋅101+e⋅100.\overline{abcde} = a \cdot 10^4 + b \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + d \cdot 10^1 + e \cdot 10^0.

Bài 7

Tìm số tự nhiên nn, biết: a) 5n=625;5^n = 625; b) 2n+3:16=4.2^{n+3} : 16 = 4.

Xem lời giải Bài 7

a) Ta có 625=54.625 = 5^4. Do đó 5n=54  ⟹  n=4.5^n = 5^4 \implies n = 4.

b) Vì 16=2416 = 2^4 và 4=224 = 2^2 nên biểu thức trở thành:

2n+3:24=222^{n+3} : 2^4 = 2^22(n+3)−4=222^{(n+3)-4} = 2^22n−1=22.2^{n-1} = 2^2.

Suy ra n−1=2  ⟹  n=3.n - 1 = 2 \implies n = 3.

Bài 8

Tìm số tự nhiên xx, biết: a) 45−3x2=18;45 - 3x^2 = 18; b) (10−2x)3=64.(10 - 2x)^3 = 64.

Xem lời giải Bài 8

a)

3x2=45−18=273x^2 = 45 - 18 = 27x2=27:3=9=32.x^2 = 27 : 3 = 9 = 3^2.

Vì x∈Nx \in \mathbb{N} nên x=3.x = 3.

b)

(10−2x)3=64=43.(10 - 2x)^3 = 64 = 4^3.

Suy ra:

10−2x=4  ⟹  2x=10−4=6  ⟹  x=3.10 - 2x = 4 \implies 2x = 10 - 4 = 6 \implies x = 3.

Bài 9

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng. a) 33=9;3^3 = 9; b) 33⋅34=97;3^3 \cdot 3^4 = 9^7; c) 24+22=26;2^4 + 2^2 = 2^6; d) b0=1b^0 = 1 (với b≠0b \neq 0).

Xem lời giải Bài 9

a) Sai. Vì 33=3⋅3⋅3=273^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 (không phải 3⋅3=93 \cdot 3 = 9). Sửa lại: 33=27.3^3 = 27.

b) Sai. Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, giữ nguyên cơ số và cộng số mũ: 33⋅34=33+4=37.3^3 \cdot 3^4 = 3^{3+4} = 3^7. Sửa lại: 33⋅34=37.3^3 \cdot 3^4 = 3^7.

c) Sai. Phép cộng không được gộp số mũ. Sửa lại: 24+22=16+4=20.2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20.

d) Đúng. Theo quy ước, luỹ thừa với số mũ 00 của một số khác 00 luôn bằng 1.1.

Bài 10

Một tế bào sinh học cứ sau mỗi chu kỳ thời gian lại phân chia thành 3 tế bào con. Ban đầu có 11 tế bào. Hỏi sau 66 chu kỳ sẽ có tất cả bao nhiêu tế bào? Hãy viết kết quả dưới dạng một luỹ thừa của 33 rồi tính giá trị cụ thể.

Xem lời giải Bài 10
  • Sau 11 chu kỳ có: 1⋅3=311 \cdot 3 = 3^1 tế bào.
  • Sau 22 chu kỳ có: 3⋅3=323 \cdot 3 = 3^2 tế bào.
  • ...
  • Sau 66 chu kỳ số lượng tế bào sẽ là:36=729 (teˆˊ baˋo).3^6 = 729 \text{ (tế bào)}.Đáp số: 363^6 tế bào, tương ứng với 729729 tế bào.

D. Kiểm tra cơ bản (15 phút)

Thử sức với các câu hỏi kiểm tra nhanh để đánh giá mức độ tiếp thu bài học của bạn:

Tích 5⋅5⋅5⋅5⋅55 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 viết dưới dạng luỹ thừa là:

Viết kết quả của phép tính 46⋅434^6 \cdot 4^3 dưới dạng một luỹ thừa:

Kết quả của phép chia 1015:10910^{15} : 10^9 là:

So sánh 424^2 và 242^4, khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm số tự nhiên nn biết 3n=2433^n = 243:

Tìm số tự nhiên xx biết (x−2)2=16(x - 2)^2 = 16:

Xem lời giải các câu còn lại của bài Kiểm tra 15 phút

Câu 1b. 8⋅8⋅8=83.8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^3.

Câu 3. Tính giá trị: a) 34=81.3^4 = 81. b) 26=64.2^6 = 64. c) 105=100000.10^5 = 100000.

Câu 4a. Các số chính phương nhỏ hơn 4040 là: 0;1;4;9;16;25;36.0; 1; 4; 9; 16; 25; 36.

Câu 5. Viết tổng 1+3+5+7+9+111 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 thành bình phương một số tự nhiên: Tổng có 66 số lẻ liên tiếp kể từ 11 nên:

1+3+5+7+9+11=62=36.1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6^2 = 36.

Câu 6. Viết số 34563456 thành tổng các luỹ thừa của 1010:

3456=3⋅103+4⋅102+5⋅101+6⋅100.3456 = 3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0.

Câu 7b. 10n=10000=104  ⟹  n=4.10^n = 10000 = 10^4 \implies n = 4.

Câu 9. Vận tốc ánh sáng khoảng 3⋅105 km/s.3 \cdot 10^5\text{ km/s}. Quãng đường đi trong 10310^3 giây là:

3⋅105⋅103=3⋅105+3=3⋅108=300000000 (km).3 \cdot 10^5 \cdot 10^3 = 3 \cdot 10^{5+3} = 3 \cdot 10^8 = 300000000\text{ (km)}.

E. Bài tập nâng cao

Phương pháp tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa: Chữ số tận cùng của luỹ thừa lặp lại theo chu kì:

  • Các số có tận cùng là 0;1;5;60; 1; 5; 6 khi nâng lên bất kì luỹ thừa nào (khác 00) đều giữ nguyên chữ số tận cùng đó.
  • Số tận cùng là 99: chu kì 22 số (9;19; 1). Mũ lẻ tận cùng là 99, mũ chẵn tận cùng là 1.1.
  • Số tận cùng là 44: chu kì 22 số (4;64; 6). Mũ lẻ tận cùng là 44, mũ chẵn tận cùng là 6.6.
  • Số tận cùng là 22: chu kì 44 số (2;4;8;62; 4; 8; 6).
  • Số tận cùng là 33: chu kì 44 số (3;9;7;13; 9; 7; 1).
  • Số tận cùng là 77: chu kì 44 số (7;9;3;17; 9; 3; 1).
  • Số tận cùng là 88: chu kì 44 số (8;4;2;68; 4; 2; 6). Quy tắc: Muốn tìm chữ số tận cùng của ana^n, ta chia số mũ nn cho độ dài chu kì rồi lấy số dư để xác định vị trí trong chu kì.

Nâng cao 1

Tìm chữ số tận cùng của: a) 992024;99^{2024}; b) 27103;27^{103}; c) 22023.2^{2023}.

Xem lời giải Nâng cao 1

a) Cơ số có chữ số tận cùng là 99, số mũ 20242024 là số chẵn. Do đó 99202499^{2024} có chữ số tận cùng bằng 1.1.

b) Cơ số có chữ số tận cùng là 77, chu kì lặp lại gồm 44 số (7;9;3;17; 9; 3; 1). Ta có 103=4⋅25+3103 = 4 \cdot 25 + 3 (chia 44 dư 33). Vậy 2710327^{103} có chữ số tận cùng là số thứ 33 trong chu kì, tức là chữ số 3.3.

c) Cơ số 22 có chu kì lặp lại gồm 44 số (2;4;8;62; 4; 8; 6). Ta có 2023=4⋅505+32023 = 4 \cdot 505 + 3 (chia 44 dư 33). Vậy 220232^{2023} có chữ số tận cùng là số thứ 33 trong chu kì, tức là chữ số 8.8.

Nâng cao 2

Cho S=1+2+22+23+⋯+225.S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{25}. Tìm chữ số tận cùng của SS, từ đó chứng minh rằng SS không phải là một số chính phương.

Xem lời giải Nâng cao 2
  • Nhân cả hai vế với 2:2S=2+22+23+⋯+226.2S = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{26}.
  • Trừ từng vế:2S−S=(2+22+⋯+226)−(1+2+⋯+225)2S - S = (2 + 2^2 + \dots + 2^{26}) - (1 + 2 + \dots + 2^{25})S=226−1.S = 2^{26} - 1.
  • Xét chữ số tận cùng của 2262^{26}:
    • Chu kì chữ số tận cùng của luỹ thừa cơ số 2 là 44 số (2;4;8;62; 4; 8; 6).
    • Ta có 26=4⋅6+226 = 4 \cdot 6 + 2 (chia 4 dư 2).
    • Do đó 2262^{26} có chữ số tận cùng là số thứ 2 trong chu kì, tức là chữ số 4.4.
  • Suy ra S=226−1S = 2^{26} - 1 có chữ số tận cùng là:4−1=3.4 - 1 = 3.
  • Vì một số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng một trong các chữ số 0;1;4;5;6;90; 1; 4; 5; 6; 9 (không bao giờ tận cùng bằng 3), nên SS không phải là số chính phương.

Nâng cao 3

Cho biết 13+23+33+⋯+103=3025.1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3 = 3025. Hãy tính giá trị của tổng:

A=33+63+93+⋯+303.A = 3^3 + 6^3 + 9^3 + \dots + 30^3.
Xem lời giải Nâng cao 3

Nhận xét: Mỗi số hạng trong tổng AA đều có dạng:

(3k)3=33⋅k3=27⋅k3.(3k)^3 = 3^3 \cdot k^3 = 27 \cdot k^3.

Đặt 2727 ra ngoài làm thừa số chung:

A=33+63+93+⋯+303A = 3^3 + 6^3 + 9^3 + \dots + 30^3A=33⋅13+33⋅23+33⋅33+⋯+33⋅103A = 3^3 \cdot 1^3 + 3^3 \cdot 2^3 + 3^3 \cdot 3^3 + \dots + 3^3 \cdot 10^3A=27⋅(13+23+33+⋯+103).A = 27 \cdot (1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3).

Thay giá trị đã cho vào:

A=27⋅3025=81675.A = 27 \cdot 3025 = 81675.

Đáp số: 81675.81675.

Nâng cao 4

Tính giá trị của biểu thức:

C=(34+35+36):(1+3+32).C = (3^4 + 3^5 + 3^6) : (1 + 3 + 3^2).
Xem lời giải Nâng cao 4

Đặt 343^4 ra ngoài làm thừa số chung ở số bị chia:

34+35+36=34⋅1+34⋅31+34⋅32=34⋅(1+3+32).3^4 + 3^5 + 3^6 = 3^4 \cdot 1 + 3^4 \cdot 3^1 + 3^4 \cdot 3^2 = 3^4 \cdot (1 + 3 + 3^2).

Khi đó:

C=34⋅(1+3+32)1+3+32=34=81.C = \dfrac{3^4 \cdot (1 + 3 + 3^2)}{1 + 3 + 3^2} = 3^4 = 81.

Đáp số: 81.81.

Nâng cao 5

Tìm số tự nhiên xx, biết rằng: (2x+3)2=289.(2x + 3)^2 = 289.

Xem lời giải Nâng cao 5

Ta có 289=172.289 = 17^2. Vì xx là số tự nhiên nên 2x+3>02x + 3 > 0, do đó:

(2x+3)2=172(2x + 3)^2 = 17^22x+3=172x + 3 = 172x=17−3=142x = 17 - 3 = 14x=14:2=7.x = 14 : 2 = 7.

Thử lại: (2⋅7+3)2=172=289(2 \cdot 7 + 3)^2 = 17^2 = 289 (chính xác). Đáp số: x=7.x = 7.

NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.