Bài 5: Phép nhân và phép chia số tự nhiên - Lý thuyết, tính nhanh và bài tập chi tiết

Bài học Bài 5: Phép nhân và phép chia số tự nhiên thuộc Chương I: Tập hợp các số tự nhiên trong chương trình môn Toán 6. Bài viết hệ thống hoá đầy đủ kiến thức về các tính chất của phép nhân, phép chia hết, phép chia có dư, các kĩ thuật tính nhanh (tính hợp lí), bài toán tìm $x$ và bài toán thực tế, kết hợp các câu hỏi trắc nghiệm tương tác và hệ thống bài tập tự luyện có nút xem lời giải chi tiết.

Khởi động — Kiểm tra kiến thức cũ (5–7 phút)

Hãy cùng hoàn thành nhanh 5 câu hỏi ôn tập sau:

Câu 1. Tính:

• a) $439 + 386$
• b) $803 - 368$ (thử lại kết quả bằng phép cộng).

Câu 2. Tính một cách hợp lí:

• a) $73 + 185 + 27$
• b) $1996 + 58$

Câu 3. Tìm $x$, biết:

• a) $x + 137 = 320$
• b) $342 - x = 185$

Câu 4. Trong hai phép tính $408 - 600$ và $600 - 408$, phép tính nào thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên? Hãy tính kết quả.

Câu 5. Một cửa hàng có 1800 kg đường. Buổi sáng cửa hàng bán được 425 kg, buổi chiều nhập thêm 315 kg. Hỏi sau đó cửa hàng có bao nhiêu ki-lô-gam đường?

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Phép nhân số tự nhiên

a) Định nghĩa và kí hiệu mới

Phép nhân hai số tự nhiên $a$ và $b$ cho ta một số tự nhiên gọi là tích của chúng:

Trong đó:

• $a$ và $b$ gọi là các thừa số.
• $c$ gọi là tích.

Quy ước kí hiệu trong cấp 2:

• Dấu nhân "$\times$" ở Tiểu học từ nay được thay bằng dấu chấm giữa dòng "$\cdot$": viết $4 \cdot 7$ thay cho $4 \times 7.$
• Khi nhân một số với một chữ, hoặc nhân hai chữ với nhau, ta có thể bỏ dấu chấm: $6 \cdot x$ viết gọn là $6x;$ $a \cdot b$ viết gọn là $ab.$
• Bản chất phép nhân là phép cộng nhiều số hạng bằng nhau:$$4 \cdot 25 = 25 + 25 + 25 + 25 = 100\text{ (cộng 4 lần số 25)}.$$

b) Các tính chất của phép nhân

1. Tính chất giao hoán: Đổi chỗ các thừa số thì tích không đổi:$$a \cdot b = b \cdot a$$
2. Tính chất kết hợp: Muốn nhân một tích hai số với một số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của hai số còn lại:$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$
3. Nhân với số 1:$$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$$
4. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ:$$a(b + c) = ab + ac$$$$a(b - c) = ab - ac$$

Minh họa: Đếm theo hàng có $4 \cdot 6 = 24$ ô; đếm theo cột có $6 \cdot 4 = 24$ ô. Hai cách đếm cho cùng một kết quả, khẳng định $4 \cdot 6 = 6 \cdot 4.$

Ví dụ 1. Tính một cách hợp lí:

• a) $25 \cdot 7 \cdot 4$
• b) $53 \cdot 101$

2. Phép chia hết

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ với $b \ne 0.$ Nếu có số tự nhiên $q$ sao cho:

thì ta nói $a$ chia hết cho $b,$ và viết:

Trong đó:

• $a$ là số bị chia.
• $b$ là số chia.
• $q$ là thương.

• Cách thử lại phép chia: Lấy thương nhân với số chia, kết quả phải đúng bằng số bị chia.

Ví dụ 2. Đặt tính rồi tính, sau đó thử lại:

• a) $318 \cdot 27$
• b) $5184 : 24$

3. Phép chia có dư

Khi số tự nhiên $a$ không chia hết cho số tự nhiên $b$ ($b \ne 0$), ta có phép chia có dư:

Trong đó:

• $q$ là thương.
• $r$ là số dư.

Quan trọng

Quy tắc bắt buộc: Số dư $r$ luôn luôn phải nhỏ hơn số chia $b$ ($r < b$). Nếu số dư còn lớn hơn hoặc bằng số chia thì phép chia chưa hoàn thành!

• Nếu $r = 0$: đó là phép chia hết.

Ví dụ 3. Thực hiện phép chia rồi viết dưới dạng $a = b \cdot q + r$:

• a) $58 : 7$
• b) $1000 : 9$

4. Những điều rất dễ nhầm lẫn

1. Phép chia KHÔNG có tính chất giao hoán:
   • $16 : 4 = 4,$ nhưng $4 : 16$ không thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}.$
2. Không được chia cho số 0:
   • Phép tính $a : 0$ là hoàn toàn vô nghĩa. Tuy nhiên, $0 : a = 0$ với mọi $a \ne 0.$
3. Quy tắc nhân với 0:
   • $a \cdot 0 = 0.$
   • Nếu một tích bằng 0 thì ít nhất một thừa số phải bằng 0:$$A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ hoặc } B = 0.$$
4. Số dư phải nhỏ hơn số chia:
   • Viết $23 = 4 \cdot 4 + 7$ là sai vì số dư 7 lớn hơn số chia 4. Viết đúng là: $23 = 4 \cdot 5 + 3.$
5. Nhân phân phối phải nhân đủ:
   • $6 \cdot (20 + 4) = 6 \cdot 20 + 6 \cdot 4 = 120 + 24 = 144,$ không được viết sai thành $6 \cdot 20 + 4.$

B. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1. Thực hiện phép nhân, phép chia

Phương pháp giải:

• Đặt tính thẳng cột rồi tính cẩn thận từng hàng.
• Phép chia hết: thử lại bằng cách lấy $\text{Thương} \times \text{Số chia}.$
• Phép chia có dư: viết dưới dạng $a = b \cdot q + r$ với $0 \le r < b.$

Luyện tập 1.1. Đặt tính rồi tính:

• a) $315 \cdot 24$
• b) $4368 : 21$

Luyện tập 1.2. Thực hiện phép chia rồi viết dưới dạng $a = b \cdot q + r$:

• a) $2026 : 14$
• b) $6000 : 23$

Luyện tập 1.3. Đặt tính rồi tính $45\ 375 : 25,$ sau đó thử lại kết quả bằng phép nhân.

Dạng 2. Tính nhanh (Tính hợp lí)

Phương pháp giải:

• Nhóm tích tròn chục, tròn trăm:
  • $2 \cdot 5 = 10$
  • $4 \cdot 25 = 100$
  • $8 \cdot 125 = 1000$
  • $500 \cdot 2 = 1000$
• Đặt thừa số chung ra ngoài (phân phối ngược):$$ab + ac = a(b + c)$$$$ab - ac = a(b - c)$$
• Chia một tổng (hiệu) cho một số:$$(a \pm b) : c = a : c \pm b : c$$

Luyện tập 2.1. Tính một cách hợp lí:

• a) $500 \cdot 37 \cdot 2$
• b) $8 \cdot 29 \cdot 125$

Luyện tập 2.2. Tính một cách hợp lí:

• a) $318 \cdot 84 - 56 \cdot 318 - 318 \cdot 28$
• b) $3725 : 25 - 1225 : 25$

Luyện tập 2.3. Tính một cách hợp lí: $36 \cdot 14 + 18 \cdot 16 + 36 \cdot 6 - 6 \cdot 18.$

Dạng 3. Tìm số chưa biết trong phép nhân, phép chia

Phương pháp giải:

• Tìm thừa số: $\text{Thừa số} = \text{Tích} : \text{Thừa số đã biết}.$
• Tìm số bị chia: $\text{Số bị chia} = \text{Thương} \cdot \text{Số chia}.$
• Tìm số chia: $\text{Số chia} = \text{Số bị chia} : \text{Thương}.$
• Dạng $6x + 3x$: dùng phân phối gộp lại thành $(6 + 3)x = 9x.$

Luyện tập 3.1. Tìm $x$, biết:

• a) $8x = 104$
• b) $x : 7 = 18$

Luyện tập 3.2. Tìm $x$, biết:

• a) $6x - 15 = 21$
• b) $4(x + 12) = 80$

Luyện tập 3.3. Tìm $x$, biết:

• a) $(x - 45) : 15 = 32$
• b) $6x + 3x = 81$

Dạng 4. Bài toán thực tế về phép nhân, phép chia

Phương pháp giải:

• Xác định rõ phép tính cần dùng.
• Lưu ý bài toán chia có dư:
  • Làm tròn xuống: Mua đồ, cắt vải, may áo (tiền dư không đủ mua thêm 1 đơn vị).
  • Làm tròn lên (cộng thêm 1): Xếp xe, chia bàn, đóng thùng (phải có thêm 1 xe/bàn/thùng để chở/chứa nốt số lượng còn dư).

Luyện tập 4.1. Một xí nghiệp may có hai tổ công nhân:

• Tổ 1 có 25 công nhân, mỗi công nhân may được 40 sản phẩm một ngày.
• Tổ 2 có nhiều hơn tổ 1 là 15 công nhân, mỗi công nhân may được 35 sản phẩm một ngày.

Hỏi mỗi ngày xí nghiệp may được tất cả bao nhiêu sản phẩm?

Luyện tập 4.2. Nam có 70 000 đồng đi mua bút bi, mỗi chiếc giá 4000 đồng. Hỏi Nam mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc bút bi?

Luyện tập 4.3. Một đoàn gồm 350 học sinh đi tham quan dã ngoại bằng xe khách, mỗi xe chở được tối đa 45 học sinh. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc xe để chở hết số học sinh đó?

C. Phiếu bài tập tự luyện

Bài 1. Đặt tính rồi tính:

• a) $512 \cdot 28$
• b) $8688 : 24$ (thử lại bằng phép nhân).

Bài 2. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng dưới đây:

Bài 3. Tính một cách hợp lí:

• a) $4 \cdot 19 \cdot 25$
• b) $43 \cdot 38 + 43 \cdot 62$

Bài 4. Tính một cách hợp lí:

• a) $48 \cdot 76 + 48 \cdot 24$
• b) $178 \cdot 34 - 78 \cdot 34$

Bài 5. Thực hiện phép chia rồi viết dưới dạng $a = b \cdot q + r$:

• a) $835 : 9$
• b) $3154 : 16$

Bài 6. Tìm $x$, biết:

• a) $9x = 117$
• b) $x : 14 = 7$
• c) $5x + 4x = 72$

Bài 7. Tìm $x$, biết:

• a) $(x - 18) \cdot 6 = 72$
• b) $108 : (x + 3) = 9$

Bài 8. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:

• a) Phép chia có tính chất giao hoán, nghĩa là $16 : 4 = 4 : 16.$
• b) $23 = 4 \cdot 4 + 7.$
• c) $a : 0 = 0$ với mọi số tự nhiên $a.$
• d) $6 \cdot (20 + 4) = 6 \cdot 20 + 4.$

Bài 9. Người ta xếp 280 quyển vở vào các hộp, mỗi hộp đựng được 16 quyển. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp để đựng hết số vở đó?

Bài 10. Lớp 6B có 42 học sinh. Thầy giáo phô tô đề kiểm tra để phát cho mỗi bạn một bản, mỗi đề gồm 3 trang. Biết giá phô tô một trang là 300 đồng, hỏi thầy giáo phải trả bao nhiêu tiền?

D. Kiểm tra trắc nghiệm & Tự luận (15 phút)

1. Trắc nghiệm tương tác nhanh

2. Bài tập tự luận kiểm tra

Câu 1. Tính:

• a) $345 \cdot 14$
• b) $5280 : 16$

Câu 2. Thực hiện phép chia $1000 : 9$ rồi viết kết quả dưới dạng $a = b \cdot q + r.$

Câu 3. Tính một cách hợp lí:

• a) $4 \cdot 25 \cdot 17$
• b) $8 \cdot 125 \cdot 9$

Câu 4. Tính một cách hợp lí: $72 \cdot 46 + 72 \cdot 54.$

Câu 5. Tìm $x$, biết:

• a) $8x = 112$
• b) $x : 9 = 15$

Câu 6. Tìm $x$, biết: $7(x - 5) = 42.$

Câu 7. Một cửa hàng nhập về 18 thùng mì, mỗi thùng có 30 gói. Hỏi cửa hàng nhập về tất cả bao nhiêu gói mì?

Câu 8. Có 250 học sinh xếp ngồi vào các bàn, mỗi bàn ngồi được 6 học sinh. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc bàn để tất cả học sinh đều có chỗ ngồi?

Câu 9. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

• a) $0 : 24 = 0$
• b) $24 : 0 = 0$

E. Bài tập nâng cao

Bài 1 (Bài toán phép chia có dư). Trong một phép chia có dư, số bị chia bằng 35, thương bằng 4. Tìm số chia và số dư.

Bài 2. Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, biết rằng khi chia nó cho 74 thì thương bằng số dư.

Bài 3. Tính một cách hợp lí: $318 \cdot 73 + 54 - 63 \cdot 318.$

Bài 4. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng gấp ba lần hiệu của chúng và tích của chúng gấp tám lần hiệu của chúng.

Bài 5 (Điền chữ số thích hợp). Thay mỗi dấu $*$ bởi một chữ số thích hợp sao cho thương là số chẵn: