Bài 3: Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên - Lý thuyết, tia số và bài tập chi tiết

Bài học Bài 3: Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên thuộc Chương I: Tập hợp các số tự nhiên trong chương trình môn Toán 6. Bài viết tổng hợp toàn bộ lý thuyết trọng tâm về tia số, số liền trước, số liền sau, các quy tắc so sánh và tính chất bắc cầu, kết hợp các câu hỏi trắc nghiệm tương tác và hệ thống bài tập tự luyện có nút hiện/ẩn lời giải chi tiết.

Khởi động — Kiểm tra kiến thức cũ (5–7 phút)

Hãy cùng kiểm tra lại các kiến thức đã học từ bài trước:

Câu 1.

• a) Đọc số $5\ 406\ 283.$
• b) Viết số "ba mươi tư nghìn không trăm năm mươi" bằng chữ số.

Câu 2. Viết tập hợp các chữ số của số $2035.$

Câu 3. Trong mỗi số $1\ 526$; $50\ 784$; $5\ 810\ 327$, chữ số 5 có giá trị là bao nhiêu?

Câu 4. Dùng bốn chữ số $0; 2; 5; 8$ (mỗi chữ số viết một lần), hãy viết số lớn nhất và số nhỏ nhất có bốn chữ số.

Câu 5.

• a) Đọc các số La Mã: $\text{XVIII}$; $\text{XXIV}.$
• b) Viết các số $14$; $29$ bằng chữ số La Mã.

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Tia số — Thứ tự trên tia số

Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số:

• Tia số là một tia có gốc tại điểm $0$, có chiều mũi tên từ trái sang phải.
• Các vạch chia trên tia số cách đều nhau; mỗi vạch ứng với một số tự nhiên: $0; 1; 2; 3; 4; \dots$
• Quy tắc so sánh trên tia số: Các số được sắp xếp tăng dần theo chiều mũi tên. Do đó, trong hai số tự nhiên khác nhau:$$\text{Số nằm bên trái nhỏ hơn số nằm bên phải.}$$$$\text{Số nằm bên phải lớn hơn số nằm bên trái.}$$

Ví dụ 1. Hãy biểu diễn hai số $4$ và $8$ trên tia số, rồi cho biết trong hai số đó số nào lớn hơn.

2. Số liền trước — Số liền sau — Hai số tự nhiên liên tiếp

• Số liền sau: Số liền sau của một số tự nhiên $a$ bằng số đó cộng thêm 1: $a + 1.$$$\text{Ví dụ: Số liền sau của } 12 \text{ là } 13.$$
• Số liền trước: Số liền trước của một số tự nhiên $a$ (với $a \ne 0$) bằng số đó bớt đi 1: $a - 1.$$$\text{Ví dụ: Số liền trước của } 13 \text{ là } 12.$$
• Hai số tự nhiên liên tiếp: Hai số tự nhiên liên tiếp thì hơn kém nhau đúng 1 đơn vị. Nếu gọi số bé là $n$ thì số liền sau là $n + 1.$
• Đặc điểm tập hợp $\mathbb{N}$:
  • Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất và không có số liền trước.
  • Tập hợp $\mathbb{N}$ không có số tự nhiên lớn nhất, vì bất kì số tự nhiên nào cũng luôn có một số liền sau lớn hơn nó.

Ví dụ 2. Tìm số liền trước và số liền sau của hai số $135$ và $142.$ Sắp xếp sáu số đó (tính cả $135$ và $142$) theo thứ tự từ bé đến lớn.

3. So sánh hai số tự nhiên

Với hai số tự nhiên $a$ và $b$ bất kì, luôn xảy ra đúng một trong ba trường hợp: $a < b$, hoặc $a = b$, hoặc $a > b.$

a) Các bước so sánh hai số tự nhiên

1. Bước 1 (So sánh số lượng chữ số): Số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn.$$\text{Ví dụ: } 10\ 005 > 8764 \quad (\text{vì 5 chữ số} > \text{4 chữ số})$$
2. Bước 2 (Khi có cùng số lượng chữ số): So sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng kể từ trái sang phải. Đến cặp chữ số đầu tiên khác nhau, chữ số nào lớn hơn thì số chứa nó sẽ lớn hơn.$$\text{Ví dụ: } 4392 > 4329 \quad (\text{chữ số hàng chục: } 9 > 2)$$

b) Các kí hiệu so sánh mở rộng

• Kí hiệu $a \le b$: đọc là "$a$ nhỏ hơn hoặc bằng $b$", nghĩa là $a < b$ hoặc $a = b.$
• Kí hiệu $a \ge b$: đọc là "$a$ lớn hơn hoặc bằng $b$", nghĩa là $a > b$ hoặc $a = b.$

c) Tính chất bắc cầu

Ví dụ 3.

• a) So sánh: $8764$ và $10\ 005$; $4329$ và $4392.$
• b) Liệt kê các phần tử của tập hợp $B = \{x \in \mathbb{N} \mid 6 < x \le 11\}.$

4. Bốn điều chú ý rất dễ nhầm lẫn

1. Phân biệt dấu $<$ với $\le$:
   • Với điều kiện $x < 12$: không lấy số 12 ($x \in \{0; 1; \dots; 11\}$).
   • Với điều kiện $x \le 12$: có lấy số 12 ($x \in \{0; 1; \dots; 12\}$).
2. Số 0 không có số liền trước:
   • Trong tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$, số 0 là số bé nhất và không có số liền trước. Tránh viết "số liền trước của 0 là $-1$" vì $-1$ không thuộc $\mathbb{N}.$
3. Hai số tự nhiên liên tiếp:
   • Phải hơn kém nhau đúng 1 đơn vị. Hai số $16$ và $18$ hơn kém nhau 2 đơn vị nên không phải là hai số liên tiếp.
4. Phân biệt "số liền sau" và "số lớn hơn":
   • Số liền sau của $7$ chỉ có duy nhất một số là 8.
   • Còn các số lớn hơn $7$ thì có vô số ($8; 9; 10; 11; \dots$).

B. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1. Số liền trước, số liền sau, số tự nhiên liên tiếp

Phương pháp giải:

• Số liền sau $= \text{Số đã cho} + 1.$
• Số liền trước $= \text{Số đã cho} - 1$ (số 0 không có số liền trước).
• Ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần có dạng: $n - 1;\ n;\ n + 1$ hoặc $n;\ n + 1;\ n + 2.$
• Mẹo giải nhanh: Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn bằng 3 lần số ở giữa.

Luyện tập 1.1. Tìm số liền trước và số liền sau của hai số $300$ và $294.$ Sắp xếp sáu số đó (tính cả $300$ và $294$) theo thứ tự từ lớn đến bé.

Luyện tập 1.2. Điền vào chỗ trống để mỗi dòng sau là ba số tự nhiên liên tiếp xếp từ lớn đến bé:

• a) $30;\ \dots;\ \dots$
• b) $\dots;\ 300;\ \dots$
• c) $\dots;\ \dots;\ 3000.$

Luyện tập 1.3. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng $42.$

Dạng 2. So sánh, sắp xếp thứ tự các số tự nhiên; tia số

Phương pháp giải:

• So sánh: Đếm số lượng chữ số trước; nếu bằng nhau thì so sánh các chữ số cùng hàng từ trái sang phải.
• Tia số: Số bên trái nhỏ hơn số bên phải.
• Bắc cầu: $x < a$ và $a < y \implies x < y.$

Luyện tập 2.1. Điền dấu thích hợp ($<, >$ hoặc $=$) vào chỗ chấm:

Luyện tập 2.2. Cho các số: $8032$; $7986$; $8023$; $10\ 000$; $998.$

• a) Sắp xếp các số đó theo thứ tự tăng dần.
• b) Sắp xếp các số đó theo thứ tự giảm dần.

Luyện tập 2.3.

• a) Vẽ tia số từ 0 đến 10 rồi biểu diễn các số $3; 6; 8.$ Trong ba số đó, số nào nằm bên trái nhất?
• b) Cho hai số tự nhiên $x$ và $y$, biết $x < 9$ và $9 < y.$ Hãy so sánh $x$ với $y.$

Dạng 3. Liệt kê phần tử của tập hợp cho bởi điều kiện $<, \le, >, \ge$

Phương pháp giải:

• Đọc kĩ điều kiện:
  • Nếu gặp dấu $<$ hoặc $>$: không lấy số ở mép.
  • Nếu gặp dấu $\le$ hoặc $\ge$: có lấy số ở mép.
  • Nếu là $x \in \mathbb{N}^*$: chỉ lấy các số tự nhiên khác 0.

Luyện tập 3.1. Trong các số $12; 16; 19; 22; 29; 31$:

• Số nào thuộc tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 21\}$?
• Số nào thuộc tập hợp $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 22\}$?

Luyện tập 3.2. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

• a) $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 14 < x < 21\}$
• b) $B = \{x \in \mathbb{N} \mid 35 \le x < 40\}$
• c) $C = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x \le 5\}$
• d) $D = \{x \in \mathbb{N} \mid 200 \le x \le 205\}$

Luyện tập 3.3.

• a) Liệt kê các phần tử của tập hợp $M = \{x \in \mathbb{N} \mid 38 \le x < 43\}.$
• b) Cho hai tập hợp $P = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 5\}$ và $Q = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x < 6\}.$ Hai tập hợp $P$ và $Q$ có bằng nhau không? Vì sao?

C. Phiếu bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm số liền trước và số liền sau của mỗi số sau: $199$; $2000$; $2027.$

Bài 2. Điền dấu thích hợp ($<, >$ hoặc $=$) vào chỗ chấm:

Bài 3. Cho tia số dưới đây (các vạch chia cách đều nhau):

• a) Mỗi điểm $A, B, C, D$ ứng với số tự nhiên nào?
• b) Trong bốn số đó, số nào lớn nhất, số nào nhỏ nhất?

Bài 4.

• a) Viết ba số tự nhiên liên tiếp, trong đó số lớn nhất là $200.$
• b) Viết ba số tự nhiên liên tiếp, trong đó số bé nhất là $2025.$

Bài 5. Sắp xếp các số $8032$; $998$; $8023$; $10\ 000$; $7986$; $8320$ theo thứ tự tăng dần.

Bài 6. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

• a) $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 18 < x \le 23\}$
• b) $B = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x < 5\}$
• c) $C = \{x \in \mathbb{N} \mid 45 \le x < 49\}$

Bài 7. Tìm số tự nhiên $x$, biết:

• a) $x$ là số liền sau của số $2026.$
• b) $x$ là số liền trước của số $2000.$
• c) $x$ vừa lớn hơn $8$ vừa nhỏ hơn $10.$

Bài 8. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:

• a) Số liền trước của số 1 trong $\mathbb{N}$ là số 0.
• b) Tập hợp $\{x \in \mathbb{N} \mid x \le 6\}$ có 6 phần tử.
• c) Trong tập hợp $\mathbb{N}^*$ có số nhỏ nhất là số 0.
• d) Hai số $20$ và $22$ là hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng $89.$

Bài 10.

• a) Có bao nhiêu số tự nhiên $x$ thoả mãn $200 \le x < 320$?
• b) Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số?

D. Kiểm tra trắc nghiệm & Tự luận (15 phút)

1. Trắc nghiệm tương tác nhanh

2. Bài tập tự luận kiểm tra

Câu 1. Tìm số liền trước và số liền sau của mỗi số sau: $56$; $299.$

Câu 2. Điền vào chỗ trống để ba số ở mỗi dòng sau là ba số tự nhiên liên tiếp theo thứ tự từ bé đến lớn:

• a) $89;\ \dots;\ \dots$
• b) $\dots;\ 600;\ \dots$
• c) $\dots;\ \dots;\ 20\ 000.$

Câu 3. So sánh hai số trong mỗi trường hợp sau:

• a) $7999$ và $8000.$
• b) $23\ 456$ và $23\ 465.$

Câu 4. Sắp xếp các số $3033$; $3303$; $3330$; $3030$ theo thứ tự giảm dần.

Câu 5. Vẽ tia số từ 0 đến 9 rồi biểu diễn các số $2; 5; 8$ trên tia số đó.

Câu 6. Trong các số $6; 14; 19; 22; 25; 35$:

• Số nào thuộc tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \ge 22\}$?
• Số nào thuộc tập hợp $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 22\}$?

Câu 7. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

• a) $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 10 < x \le 15\}$
• b) $B = \{x \in \mathbb{N} \mid 50 \le x \le 55\}$
• c) $C = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x \le 4\}$

Câu 8. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng $75.$

Câu 9.

• a) Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$, biết $a < 35$ và $35 < b.$ Hãy so sánh $a$ với $b.$
• b) Tìm tất cả các số tự nhiên $x$ thoả mãn $13 < x < 17.$

E. Bài tập nâng cao

Bài 1 (Tính chất bắc cầu trong đời sống). Bốn bạn Minh, Nam, Phúc, Quân có số nhãn vở khác nhau. Biết rằng:

• Minh có nhiều nhãn vở hơn Nam.
• Nam có nhiều nhãn vở hơn Quân.
• Phúc có ít nhãn vở hơn Quân.

Hãy sắp xếp tên bốn bạn theo thứ tự số nhãn vở từ ít đến nhiều.

Bài 2. Dùng ba chữ số $2; 4; 6$ (mỗi chữ số viết đúng một lần), hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số. Sau đó sắp xếp các số viết được theo thứ tự tăng dần.

Bài 3 (Quy tắc đếm số lượng số tự nhiên).

• a) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
• b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có ba chữ số?
• c) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà chữ số hàng chục bằng 7?

Bài 4 (Quy luật dãy số cách đều). Cho dãy số: $5;\ 9;\ 13;\ 17;\ \dots;\ 97;\ 101$ (kể từ số thứ hai, mỗi số bằng số đứng ngay trước nó cộng thêm 4 đơn vị).

• a) Dãy số trên có bao nhiêu số?
• b) Số thứ 20 của dãy là số nào?
• c) Nếu viết tiếp dãy số trên mãi mãi thì số $2025$ có thuộc dãy đó không? Nếu có thì nó là số thứ mấy?