Bài 31. Một số bài toán về tỉ số và tỉ số phần trăm

Trong các trung tâm thương mại, chúng ta thường xuyên bắt gặp những biển quảng cáo bắt mắt: "Siêu khuyến mãi giảm giá $30\%$ toàn bộ sản phẩm", bảng tin tài chính đưa tin "Ngân hàng điều chỉnh lãi suất tiền gửi lên $6{,}5\%/\text{năm}$", nhãn chai sữa ghi "Chất đạm chiếm $3{,}2\%$ khối lượng", hay trong trận bóng đá bình luận viên phân tích "Đội tuyển Việt Nam kiểm soát bóng tới $62\%$ thời lượng".

Những đại lượng gắn liền với ký hiệu % chính là tỉ số phần trăm — một trong những công cụ toán học được ứng dụng phổ biến và quyền lực nhất trong đời sống, kinh tế và khoa học.

Bài học này sẽ giúp các em hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về tỉ số và tỉ số phần trăm, làm chủ ba bài toán cơ bản, vạch trần các bẫy tư duy kinh điển (như ngộ nhận "giảm $10\%$ rồi giảm tiếp $10\%$ là giảm $20\%$"), và chinh phục $5$ chuyên đề học sinh giỏi nâng cao độc bản $100\%$ có lời giải chi tiết.

Khởi động — Nhớ lại kiến thức (5–7 phút)

Hãy cùng kiểm tra nhanh những hiểu biết nền tảng trước khi bước vào bài học:

Câu 1 (Ôn tập phân số ở Bài 27): a) Tìm $\dfrac{3}{4}$ của $80.$ b) Tìm một số, biết $\dfrac{2}{5}$ của nó bằng $30.$

• Trả lời:
  • a) $80 \cdot \dfrac{3}{4} = 60.$
  • b) $30 : \dfrac{2}{5} = 30 \cdot \dfrac{5}{2} = 75.$

Câu 2 (Chuyển đổi phân số sang phần trăm): Viết các phân số sau dưới dạng tỉ số phần trăm (kèm ký hiệu %):

• Trả lời:$$\dfrac{1}{2} = 50\%;\quad \dfrac{3}{5} = 60\%;\quad \dfrac{9}{10} = 90\%;\quad \dfrac{1}{4} = 25\%;\quad \dfrac{7}{20} = 35\%.$$

Câu 3 (So sánh thành phần trong tập hợp): Một rổ hoa quả có $15$ quả cam và $25$ quả táo. a) Viết tỉ số giữa số quả cam và số quả táo (rút gọn tối giản). b) Số quả cam chiếm bao nhiêu phần trăm tổng số hoa quả trong rổ?

• Trả lời:
  • a) Tỉ số giữa cam và táo là $\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}.$
  • b) Tổng số quả là $15 + 25 = 40$ quả. Tỉ số phần trăm của cam là $\dfrac{15}{40} \cdot 100\% = 37{,}5\%.$

Câu 4 (Tình huống thực tế giảm giá): Một chiếc áo phông có giá niêm yết $200\,000$ đồng, đang được giảm giá $20\%.$ Hỏi số tiền được giảm là bao nhiêu và giá mua thực tế là bao nhiêu?

• Trả lời:
  • Số tiền được giảm: $200\,000 \cdot 20\% = 200\,000 \cdot 0{,}2 = 40\,000$ đồng.
  • Giá mua thực tế: $200\,000 - 40\,000 = 160\,000$ đồng.

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Tỉ số của hai đại lượng

a) Định nghĩa

• Tỉ số của hai số $a$ và $b$ ($b \neq 0$) là thương trong phép chia số $a$ cho số $b,$ được kí hiệu là $a : b$ hoặc $\dfrac{a}{b}.$
• Ta thường rút gọn tỉ số $\dfrac{a}{b}$ về dạng phân số tối giản.

b) Quy tắc cùng đơn vị đo (Cực kỳ quan trọng)

Quan trọng

Khi lập tỉ số của hai đại lượng cùng loại (như độ dài, khối lượng, thời gian, diện tích), bắt buộc phải chuyển đổi chúng về cùng một đơn vị đo rồi mới tính thương. Tỉ số giữa hai đại lượng là một số thuần túy, hoàn toàn không mang đơn vị!

Ví dụ 1: Tính tỉ số giữa: a) $20\text{ cm}$ và $1{,}5\text{ m}$ b) $45\text{ phút}$ và $2\text{ giờ}$ c) $350\text{ g}$ và $1{,}4\text{ kg}$

Lời giải: a) Đổi $1{,}5\text{ m} = 150\text{ cm}.$ Tỉ số là: $\dfrac{20}{150} = \dfrac{2}{15}.$ (Nếu quên đổi đơn vị mà viết $\dfrac{20}{1{,}5}$ là sai hoàn toàn!)

b) Đổi $2\text{ giờ} = 120\text{ phút}.$ Tỉ số là: $\dfrac{45}{120} = \dfrac{3}{8}.$

c) Đổi $1{,}4\text{ kg} = 1\,400\text{ g}.$ Tỉ số là: $\dfrac{350}{1\,400} = \dfrac{1}{4}.$

2. Tỉ số phần trăm của hai số

a) Khái niệm tỉ số phần trăm

• Tỉ số có mẫu số bằng $100$ được gọi là tỉ số phần trăm, kí hiệu là $\%$:$$\dfrac{a}{100} = a\%.$$
• Ví dụ:$$\dfrac{18}{100} = 18\%;\quad \dfrac{125}{100} = 125\%;\quad \dfrac{4{,}5}{100} = 4{,}5\% = 0{,}045.$$

b) Cách tìm tỉ số phần trăm của hai số

Để tìm tỉ số phần trăm của hai số $a$ và $b$ ($b \neq 0$), ta nhân thương $\dfrac{a}{b}$ với $100$ rồi viết thêm ký hiệu $\%$ vào bên phải kết quả:

Ví dụ 2: Tìm tỉ số phần trăm của: a) $15$ và $40$ b) $1{,}2$ và $2{,}5$ c) $3\text{ dm}$ và $25\text{ cm}$

Lời giải: a) $\dfrac{15}{40} \cdot 100\% = 0{,}375 \cdot 100\% = 37{,}5\%.$ b) $\dfrac{1{,}2}{2{,}5} \cdot 100\% = 0{,}48 \cdot 100\% = 48\%.$ c) Đổi $3\text{ dm} = 30\text{ cm}.$ Tỉ số phần trăm: $\dfrac{30}{25} \cdot 100\% = 1{,}2 \cdot 100\% = 120\%.$

3. Ba bài toán cơ bản về tỉ số phần trăm

Ba bài toán này thực chất là phiên bản viết dưới dạng phần trăm của hai bài toán về phân số (Bài 27) với phân số có dạng $\dfrac{m}{100}$:

                    BA BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM
                                  │
    ┌─────────────────────────────┼─────────────────────────────┐
[Bài toán 1]                 [Bài toán 2]                 [Bài toán 3]
Biết số a, tìm m% của a      Biết m% của số x bằng b      Tìm tỉ số phần trăm
           │                            │                 của hai số a và b
       Làm phép NHÂN                Làm phép CHIA                       │
     a * (m / 100)                b : (m / 100)                   (a / b) * 100%

Bài toán 1: Tìm $m\%$ của một số $a$ cho trước

• Muốn tìm $m\%$ của số $a,$ ta lấy $a$ nhân với $\dfrac{m}{100}$:$$\text{Giá trị} = a \cdot \dfrac{m}{100} = a \cdot 0{,}01 \cdot m.$$
• Ví dụ: Tìm $15\%$ của $240$:$$240 \cdot \dfrac{15}{100} = 240 \cdot 0{,}15 = 36.$$

Bài toán 2: Tìm một số khi biết $m\%$ của nó bằng $b$

• Muốn tìm một số khi biết $m\%$ của nó bằng $b,$ ta lấy $b$ chia cho $\dfrac{m}{100}$:$$x = b : \dfrac{m}{100} = b : (0{,}01 \cdot m).$$
• Ví dụ: Tìm số $x$ biết $25\%$ của $x$ bằng $45$:$$x = 45 : \dfrac{25}{100} = 45 : 0{,}25 = 180.$$

Bài toán 3: Tìm tỉ số phần trăm của hai số $a$ và $b$

• Lấy $a$ chia cho $b,$ nhân với $100$ rồi thêm ký hiệu $\%$:$$\text{Tỉ số phần trăm} = \dfrac{a}{b} \cdot 100\%.$$
• Ví dụ: Lớp có $18$ bạn nữ trên tổng số $40$ học sinh. Tỉ số phần trăm học sinh nữ là:$$\dfrac{18}{40} \cdot 100\% = 45\%.$$

4. Ứng dụng thực tế và các cạm bẫy tư duy thường gặp

a) Bài toán tăng / giảm phần trăm

• Tăng thêm $m\%$ so với giá trị cũ $a$:$$\text{Giá trị mới} = a + a \cdot m\% = a \cdot (1 + m\%).$$
• Giảm đi $m\%$ so với giá trị cũ $a$:$$\text{Giá trị mới} = a - a \cdot m\% = a \cdot (1 - m\%).$$

b) Bài toán gửi tiết kiệm ngân hàng (lãi suất kỳ hạn năm)

• Gửi số tiền gốc ban đầu là $A$ đồng với lãi suất $r\%/\text{năm}.$
• Sau $1$ năm:
  • Tiền lãi: $L = A \cdot r\%$ đồng.
  • Tổng số tiền nhận về cả gốc và lãi:$$T = A + L = A \cdot (1 + r\%)\text{ đồng}.$$

Lưu ý / Cảnh báo

Cạm bẫy 1: Giảm giá hai lần liên tiếp không bằng tổng hai phần trăm! Một món hàng giá $100\,000$ đồng, giảm giá $10\%$ rồi sau đó lại giảm tiếp $10\%$:

• Nhiều bạn ngộ nhận: $10\% + 10\% = 20\% \implies$ giảm $20\,000$ đồng, giá còn $80\,000$ đồng.
• Thực tế:
  • Sau lần 1: Giá còn $100\,000 \cdot (1 - 0{,}1) = 90\,000$ đồng.
  • Sau lần 2: Giảm $10\%$ trên giá $90\,000$ đồng (chứ không phải trên $100\,000$ đồng), tức giảm thêm $9\,000$ đồng.
  • Giá cuối cùng: $90\,000 - 9\,000 = 81\,000$ đồng.
  • Tổng mức giảm thực tế chỉ là $19\%$ (không phải $20\%$)!

Lưu ý / Cảnh báo

Cạm bẫy 2: Phân biệt "tăng thêm $m\%$" với "cộng thêm $m$ đơn vị"! Sản phẩm giá $300\,000$ đồng tăng giá thêm $20\%$:

• Tính $300\,000 + 20 = 300\,020$ đồng là SAI NGHIÊM TRỌNG!
• Đúng phải là: $300\,000 + 300\,000 \cdot 20\% = 300\,000 + 60\,000 = 360\,000$ đồng.

B. Các dạng toán trọng tâm và phương pháp giải

Dạng 1: Lập tỉ số và tỉ số phần trăm của hai đại lượng (Quy đổi cùng đơn vị)

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đổi hai đại lượng về cùng đơn vị đo thích hợp.
• Bước 2: Lập tỉ số $\dfrac{a}{b}$ và rút gọn tối giản.
• Bước 3: Nhân với $100$ và ghi kèm ký hiệu $\%$ nếu bài yêu cầu tỉ số phần trăm.

Ví dụ 1: a) Tính tỉ số của $40\text{ phút}$ và $1{,}5\text{ giờ}.$ b) Một hợp kim chứa $360\text{ g}$ niken trong tổng khối lượng $1{,}2\text{ kg}.$ Tính tỉ số phần trăm của niken trong hợp kim đó.

Lời giải: a) Đổi $1{,}5\text{ giờ} = 1{,}5 \cdot 60 = 90\text{ phút}.$ Tỉ số giữa $40\text{ phút}$ và $1{,}5\text{ giờ}$ là:

b) Đổi $1{,}2\text{ kg} = 1\,200\text{ g}.$ Tỉ số phần trăm của niken trong hợp kim là:

Dạng 2: Tìm $m\%$ của một số cho trước (Bài toán 1)

Phương pháp giải:

• Lấy số đã cho nhân với $\dfrac{m}{100}$ (hoặc nhân với số thập phân $0{,}01 \cdot m$).

Ví dụ 2: a) Tính $28\%$ của $150.$ b) Một thùng dầu chứa $85\text{ lít}$ dầu ăn. Người ta đã lấy ra $40\%$ số dầu đó để đóng chai. Hỏi trong thùng còn lại bao nhiêu lít dầu?

Lời giải: a) $28\%$ của $150$ là:

b)

• Cách 1: Số lít dầu đã lấy ra là:$$85 \cdot 40\% = 85 \cdot 0{,}4 = 34\text{ lít}.$$Số lít dầu còn lại trong thùng là:$$85 - 34 = 51\text{ lít}.$$
• Cách 2: Coi lượng dầu ban đầu là $100\%.$ Sau khi lấy $40\%,$ lượng dầu còn lại chiếm:$$100\% - 40\% = 60\%.$$Số lít dầu còn lại là:$$85 \cdot 60\% = 85 \cdot 0{,}6 = 51\text{ lít}.$$

Dạng 3: Tìm một số khi biết giá trị phần trăm của nó (Bài toán 2)

Phương pháp giải:

• Lấy giá trị đã biết chia cho $\dfrac{m}{100}$ (hoặc chia cho $0{,}01 \cdot m$).

Ví dụ 3: a) Tìm một số biết $35\%$ của nó bằng $84.$ b) Một cửa hàng bán một chiếc lò vi sóng thu được số tiền lãi là $360\,000$ đồng, tương đương $15\%$ giá vốn. Hỏi giá vốn của chiếc lò vi sóng đó là bao nhiêu?

Lời giải: a) Số cần tìm là:

b) Giá vốn của chiếc lò vi sóng là:

Dạng 4: Bài toán tăng trưởng phần trăm và lãi suất ngân hàng

Phương pháp giải:

• Tỉ số phần trăm tăng trưởng:$$\% \text{ tăng trưởng} = \dfrac{\text{Giá trị tăng thêm}}{\text{Giá trị gốc ban đầu}} \cdot 100\%.$$
• Lãi suất: Tiền vốn $\cdot$ Lãi suất $\%$ = Tiền lãi sau một kỳ hạn.

Ví dụ 4: Bác Nam gửi tiết kiệm $150$ triệu đồng vào ngân hàng Agribank với lãi suất kì hạn $1$ năm là $5{,}8\%/\text{năm}.$ a) Sau $1$ năm, bác Nam nhận được bao nhiêu tiền lãi? b) Hết kì hạn $1$ năm, nếu bác Nam rút cả vốn lẫn lãi thì nhận được tất cả bao nhiêu tiền?

Lời giải: a) Số tiền lãi sau $1$ năm bác Nam nhận được là:

b) Tổng số tiền bác Nam nhận về cả gốc và lãi là:

Dạng 5: Bài toán khuyến mãi và giảm giá thực tế

Phương pháp giải:

• Tính số tiền giảm giá: $\text{Giá gốc} \cdot \text{Tỉ lệ giảm}\%.$
• Giá bán sau giảm: $\text{Giá gốc} - \text{Số tiền giảm}.$

Ví dụ 5: Nhân dịp khai giảng, một cửa hàng văn phòng phẩm thực hiện chương trình giảm giá $12\%$ cho các loại cặp sách. Một chiếc cặp sách có giá niêm yết ban đầu là $350\,000$ đồng. a) Chiếc cặp sách được giảm giá bao nhiêu tiền? b) Bạn Lan muốn mua chiếc cặp sách đó thì cần trả cho nhân viên thu ngân bao nhiêu tiền?

Lời giải: a) Số tiền chiếc cặp sách được giảm giá là:

b) Số tiền bạn Lan phải trả là:

(Hoặc tính trực tiếp: $350\,000 \cdot (100\% - 12\%) = 350\,000 \cdot 0{,}88 = 308\,000$ đồng).

C. Phiếu bài tập tự luyện toàn diện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài tự luyện

Bài 1 (Lập tỉ số và tỉ số phần trăm): Tính tỉ số và tỉ số phần trăm của các cặp đại lượng sau: a) $18\text{ cm}$ và $45\text{ cm}$ b) $25\text{ phút}$ và $1{,}25\text{ giờ}$ c) $450\text{ g}$ và $2\text{ kg}$ d) $3{,}5\text{ dm}^2$ và $500\text{ cm}^2$

Bài 2 (Tìm phần trăm của một số): Tính: a) $18\%$ của $250$ b) $42{,}5\%$ của $160$ c) $0{,}8\%$ của $1\,500$ d) $125\%$ của $80$

Bài 3 (Tìm một số khi biết phần trăm): Tìm số $x,$ biết: a) $30\%$ của $x$ bằng $54$ b) $12{,}5\%$ của $x$ bằng $25$ c) $75\%$ của $x$ bằng $180$ d) $150\%$ của $x$ bằng $90$

Bài 4 (Thành tích học tập): Lớp 6A có $45$ học sinh. Cuối học kì I, kết quả xếp loại học tập có $18$ học sinh đạt mức Tốt, $15$ học sinh đạt mức Khá, còn lại là mức Đạt. a) Tính tỉ số phần trăm học sinh mức Tốt so với cả lớp. b) Tính tỉ số phần trăm học sinh mức Đạt so với cả lớp. (Làm tròn đến hàng phần mười).

Bài 5 (Lãi suất tiền gửi): Cô Hà gửi tiết kiệm số tiền $80$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $6{,}2\%/\text{năm}.$ a) Tính số tiền lãi cô Hà nhận được sau một năm. b) Sau một năm, cô Hà rút cả gốc và lãi để mua xe máy giá $84\,500\,000$ đồng. Hỏi cô Hà có đủ tiền không, thừa hay thiếu bao nhiêu?

Bài 6 (Vay vốn kinh doanh): Một hộ nông dân vay vốn ngân hàng chính sách $50$ triệu đồng để nuôi bò với lãi suất ưu đãi $4{,}8\%/\text{năm}.$ Hỏi sau hai năm, biết tiền lãi năm thứ nhất chưa trả và được gộp vào vốn để tính lãi cho năm thứ hai (lãi kép), hộ nông dân phải trả tất cả bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?

Bài 7 (Giảm giá kép — Cạm bẫy): Một chiếc máy tính bảng có giá niêm yết là $6\,000\,000$ đồng. Cửa hàng tổ chức chương trình: giảm giá $15\%$ nhân ngày lễ, sau đó khách hàng có thẻ thành viên VIP được giảm thêm $5\%$ trên giá đã giảm. a) Hỏi một khách hàng VIP mua chiếc máy tính bảng đó với giá bao nhiêu? b) Mức giảm giá thực tế cho khách hàng VIP là bao nhiêu phần trăm so với giá gốc ban đầu?

Bài 8 (Doanh số tăng trưởng): Năm 2025, sản lượng lúa của một hợp tác xã đạt $4\,800$ tấn. Năm 2026, nhờ áp dụng kỹ thuật tưới tiêu thông minh, sản lượng đạt $5\,520$ tấn. Hỏi sản lượng lúa năm 2026 đã tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2025?

Bài 9 (Bài toán giá vốn và giá bán): Một cửa hàng kinh doanh đồ thể thao mua một đôi giày với giá vốn là $400\,000$ đồng. Cửa hàng muốn bán đôi giày này sao cho tiền lãi bằng $25\%$ giá bán. Hỏi cửa hàng phải bán đôi giày với giá bao nhiêu tiền?

Bài 10 (Pha chế nước muối sinh lý): Nước muối sinh lý dùng để súc miệng có nồng độ muối là $0{,}9\%$ khối lượng. Hỏi cần hòa tan bao nhiêu gam muối tinh khiết vào $495{,}5\text{ g}$ nước cất để thu được dung dịch nước muối sinh lý đúng tiêu chuẩn?

Lời giải chi tiết bài tập tự luyện

Bài 1: a)

• Tỉ số: $\dfrac{18}{45} = \dfrac{2}{5}.$
• Tỉ số phần trăm: $\dfrac{2}{5} \cdot 100\% = 40\%.$ b) Đổi $1{,}25\text{ giờ} = 1{,}25 \cdot 60 = 75\text{ phút}.$
• Tỉ số: $\dfrac{25}{75} = \dfrac{1}{3}.$
• Tỉ số phần trăm: $\dfrac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33{,}33\%.$ c) Đổi $2\text{ kg} = 2\,000\text{ g}.$
• Tỉ số: $\dfrac{450}{2\,000} = \dfrac{9}{40}.$
• Tỉ số phần trăm: $\dfrac{9}{40} \cdot 100\% = 22{,}5\%.$ d) Đổi $3{,}5\text{ dm}^2 = 350\text{ cm}^2.$
• Tỉ số: $\dfrac{350}{500} = \dfrac{7}{10}.$
• Tỉ số phần trăm: $\dfrac{7}{10} \cdot 100\% = 70\%.$

Bài 2: a) $250 \cdot 18\% = 250 \cdot 0{,}18 = 45.$ b) $160 \cdot 42{,}5\% = 160 \cdot 0{,}425 = 68.$ c) $1\,500 \cdot 0{,}8\% = 1\,500 \cdot 0{,}008 = 12.$ d) $80 \cdot 125\% = 80 \cdot 1{,}25 = 100.$

Bài 3: a) $x = 54 : 30\% = 54 : 0{,}3 = 180.$ b) $x = 25 : 12{,}5\% = 25 : 0{,}125 = 200.$ c) $x = 180 : 75\% = 180 : 0{,}75 = 240.$ d) $x = 90 : 150\% = 90 : 1{,}5 = 60.$

Bài 4: a) Tỉ số phần trăm học sinh mức Tốt:

b) Số học sinh mức Đạt là:

Tỉ số phần trăm học sinh mức Đạt:

Bài 5: a) Tiền lãi sau một năm cô Hà nhận được là:

b) Tổng số tiền cô Hà nhận về cả gốc và lãi:

Vì $84\,960\,000 > 84\,500\,000,$ cô Hà đủ tiền mua xe và còn thừa:

Bài 6:

• Tiền vốn ban đầu: $50$ triệu đồng.
• Sau năm thứ nhất, tiền vốn và lãi là:$$50 \cdot (1 + 4{,}8\%) = 50 \cdot 1{,}048 = 52{,}4\text{ triệu đồng}.$$
• Sau năm thứ hai, tổng số tiền phải trả là:$$52{,}4 \cdot (1 + 4{,}8\%) = 52{,}4 \cdot 1{,}048 = 54{,}9152\text{ triệu đồng} = 54\,915\,200\text{ đồng}.$$

Bài 7: a) Giá máy tính bảng sau khi giảm $15\%$:

Giá khách hàng VIP phải trả (giảm tiếp $5\%$ trên $5\,100\,000$):

b) Số tiền được giảm tổng cộng:

Tỉ số phần trăm giảm giá thực tế so với giá gốc:

(Lưu ý: $19{,}25\% < 20\%$).

Bài 8: Sản lượng lúa tăng thêm trong năm 2026:

Tỉ số phần trăm tăng thêm so với năm 2025:

Bài 9:

• Ta có: $\text{Giá bán} = \text{Giá vốn} + \text{Tiền lãi}.$
• Vì tiền lãi bằng $25\%$ giá bán nên:$$\text{Giá vốn} = \text{Giá bán} - 25\% \cdot \text{Giá bán} = 75\% \cdot \text{Giá bán}.$$
• Suy ra giá bán của đôi giày là:$$\text{Giá bán} = 400\,000 : 75\% = 400\,000 : \dfrac{3}{4} = 400\,000 \cdot \dfrac{4}{3} \approx 533\,333\text{ đồng}.$$

Bài 10:

• Gọi khối lượng muối cần hòa tan là $m$ (gam).
• Khối lượng dung dịch thu được là: $m + 495{,}5$ (gam).
• Vì nồng độ muối là $0{,}9\%$ nên khối lượng nước cất chiếm:$$100\% - 0{,}9\% = 99{,}1\% \text{ khối lượng dung dịch}.$$
• Khối lượng toàn bộ dung dịch là:$$495{,}5 : 99{,}1\% = 495{,}5 : 0{,}991 = 500\text{ gam}.$$
• Khối lượng muối cần hòa tan là:$$m = 500 - 495{,}5 = 4{,}5\text{ gam}.$$

D. 5 Chuyên đề nâng cao học sinh giỏi (Độc bản 100%)

Chuyên đề 1: Biến động giá liên hoàn (Tăng $x\%$ rồi giảm $y\%$)

Mẹo hay

Quy tắc tính nhanh biến động giá liên hoàn: Nếu một mặt hàng có giá ban đầu $P_0,$ trải qua hai lần đổi giá liên tiếp với tỉ lệ $r_1$ và $r_2$ (tăng thì $r > 0,$ giảm thì $r < 0$):

$$P_2 = P_0 \cdot (1 + r_1) \cdot (1 + r_2).$$

Bài toán 1: Vào tháng 11, một siêu thị điện máy tăng giá một chiếc tivi thêm $20\%$ so với giá tháng 10. Đến tháng 12 (dịp Black Friday), siêu thị lại giảm giá chiếc tivi đó $20\%$ so với tháng 11. Hỏi so với giá tháng 10, giá tivi ở tháng 12 tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm?

Lời giải chi tiết:

• Coi giá tivi ở tháng 10 là $P_{10} = 100\%.$
• Giá tivi ở tháng 11 sau khi tăng $20\%$:$$P_{11} = 100\% \cdot (1 + 20\%) = 120\% = 1{,}2 \cdot P_{10}.$$
• Giá tivi ở tháng 12 sau khi giảm $20\%$ so với tháng 11:$$P_{12} = P_{11} \cdot (1 - 20\%) = (1{,}2 \cdot P_{10}) \cdot 0{,}8 = 0{,}96 \cdot P_{10} = 96\% \cdot P_{10}.$$
• So sánh giá tháng 12 với tháng 10:$$96\% - 100\% = -4\%.$$Vậy giá tivi ở tháng 12 giảm $4\%$ so với giá ban đầu ở tháng 10! (Nhiều học sinh lầm tưởng tăng $20\%$ rồi giảm $20\%$ thì giá không đổi — đây là sai lầm kinh điển).

Chuyên đề 2: Bài toán chia phần theo tỉ lệ và các tích bằng nhau

Bài toán 2: Ba lớp 6A, 6B và 6C cùng tham gia trồng cây xanh bảo vệ môi trường, tổng cộng trồng được $216$ cây. Biết rằng:

• $\dfrac{2}{3}$ số cây của lớp 6A bằng $50\%$ số cây của lớp 6B và bằng $40\%$ số cây của lớp 6C. Hỏi mỗi lớp đã trồng được bao nhiêu cây xanh?

Lời giải chi tiết:

• Đổi các tỉ số về phân số tối giản:$$50\% = \dfrac{1}{2};\quad 40\% = \dfrac{2}{5}.$$
• Theo đề bài:$$\dfrac{2}{3} \cdot A = \dfrac{1}{2} \cdot B = \dfrac{2}{5} \cdot C.$$
• Quy đồng tử số của ba phân số về tử số chung là $2$:$$\dfrac{2}{3} \cdot A = \dfrac{2}{4} \cdot B = \dfrac{2}{5} \cdot C.$$
• Chia cả ba tích cho $2,$ ta được tỉ lệ:$$\dfrac{A}{3} = \dfrac{B}{4} = \dfrac{C}{5}.$$
• Coi số cây của lớp 6A là $3$ phần, lớp 6B là $4$ phần và lớp 6C là $5$ phần. Tổng số phần bằng nhau là:$$3 + 4 + 5 = 12\text{ phần}.$$
• Giá trị của một phần là:$$216 : 12 = 18\text{ cây}.$$
• Số cây mỗi lớp trồng được:
  • Lớp 6A: $18 \cdot 3 = 54\text{ cây}.$
  • Lớp 6B: $18 \cdot 4 = 72\text{ cây}.$
  • Lớp 6C: $18 \cdot 5 = 90\text{ cây}.$ Thử lại: $54 + 72 + 90 = 216$ (Đúng). $$\dfrac{2}{3} \cdot 54 = 36;\; \dfrac{1}{2} \cdot 72 = 36;\; \dfrac{2}{5} \cdot 90 = 36$$ (Đúng). Vậy: Lớp 6A trồng $54$ cây, lớp 6B trồng $72$ cây, lớp 6C trồng $90$ cây.

Chuyên đề 3: Bài toán pha trộn dung dịch và nồng độ phần trăm

Bài toán 3: Có $400\text{ g}$ dung dịch nước muối có nồng độ $5\%.$ a) Cần đổ thêm bao nhiêu gam nước cất để thu được dung dịch nước muối có nồng độ $2\%$? b) Cần hòa tan thêm bao nhiêu gam muối tinh khiết vào dung dịch ban đầu để thu được dung dịch nước muối có nồng độ $10\%$?

Lời giải chi tiết:

• Khối lượng muối nguyên chất trong $400\text{ g}$ dung dịch ban đầu là:$$m_{\text{muối}} = 400 \cdot 5\% = 400 \cdot 0{,}05 = 20\text{ g}.$$

a) Thêm nước cất:

• Khối lượng muối nguyên chất không thay đổi ($20\text{ g}$).
• Khi nồng độ dung dịch mới là $2\%,$ tổng khối lượng dung dịch mới phải là:$$m_{\text{dd mới}} = 20 : 2\% = 20 : 0{,}02 = 1\,000\text{ g}.$$
• Khối lượng nước cất cần thêm vào là:$$1\,000 - 400 = 600\text{ g}.$$

b) Thêm muối tinh khiết:

• Khi thêm muối tinh khiết, khối lượng nước trong dung dịch không thay đổi!
• Khối lượng nước trong $400\text{ g}$ dung dịch ban đầu là:$$m_{\text{nước}} = 400 - 20 = 380\text{ g}.$$
• Trong dung dịch mới nồng độ $10\%,$ lượng nước chiếm:$$100\% - 10\% = 90\% \text{ khối lượng dung dịch mới}.$$
• Tổng khối lượng dung dịch mới khi đó là:$$m_{\text{dd mới}} = 380 : 90\% = 380 : 0{,}9 = \dfrac{3\,800}{9} \approx 422{,}22\text{ g}.$$
• Khối lượng muối tinh khiết cần hòa tan thêm là:$$\dfrac{3\,800}{9} - 400 = \dfrac{200}{9} \approx 22{,}22\text{ g}.$$

Chuyên đề 4: Bài toán tuổi tác kết hợp tỉ số phần trăm thay đổi

Bài toán 4: Hiện nay, tuổi của chị Mai bằng $140\%$ tuổi của em Hoa. Biết rằng $6$ năm trước, tuổi của chị Mai gấp đôi tuổi của em Hoa. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

Lời giải chi tiết:

• Đổi $140\% = \dfrac{140}{100} = \dfrac{7}{5}.$ Hiện nay, tuổi chị Mai bằng $\dfrac{7}{5}$ tuổi em Hoa. Suy ra hiệu số tuổi của hai chị em bằng $7 - 5 = 2$ phần, do đó:$$\text{Tuổi Hoa hiện nay} = \dfrac{5}{2} \text{ hiệu số tuổi của hai chị em}.$$
• Sáu năm trước, tuổi chị Mai gấp đôi tuổi em Hoa: Tỉ số giữa tuổi chị Mai và tuổi Hoa là $\dfrac{2}{1}.$ Hiệu số tuổi bằng $2 - 1 = 1$ phần, do đó:$$\text{Tuổi Hoa 6 năm trước} = 1 \text{ lần hiệu số tuổi của hai chị em} = \dfrac{2}{2} \text{ hiệu số tuổi}.$$
• Lưu ý rằng hiệu số tuổi giữa hai người luôn không đổi theo thời gian. Chênh lệch giữa tuổi Hoa hiện nay và tuổi Hoa $6$ năm trước tương ứng với:$$\dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{3}{2} \text{ hiệu số tuổi}.$$
• Vì khoảng cách giữa hai thời điểm là $6$ năm nên:$$\dfrac{3}{2} \cdot \text{Hiệu số tuổi} = 6 \implies \text{Hiệu số tuổi} = 6 : \dfrac{3}{2} = 4\text{ tuổi}.$$
• Tuổi của em Hoa hiện nay là:$$\text{Tuổi Hoa} = 4 \cdot \dfrac{5}{2} = 10\text{ tuổi}.$$
• Tuổi của chị Mai hiện nay là:$$\text{Tuổi Mai} = 10 + 4 = 14\text{ tuổi}.$$Thử lại: Hiện nay: $14 : 10 = 1{,}4 = 140\%$ (Đúng). $6$ năm trước: Mai $14 - 6 = 8$ tuổi, Hoa $10 - 6 = 4$ tuổi; $8 : 4 = 2$ (Đúng). Vậy hiện nay chị Mai $14$ tuổi và em Hoa $10$ tuổi.

Chuyên đề 5: Bài toán tối ưu hóa kinh tế học — Lợi nhuận và chiết khấu

Bài toán 5: Một cửa hàng kinh doanh thời trang niêm yết giá bán của một chiếc áo khoác sao cho nếu bán với giá niêm yết thì cửa hàng lãi $40\%$ so với giá vốn. Nhân dịp lễ, cửa hàng hạ giá chiếc áo khoác đó $15\%$ so với giá niêm yết. a) Sau khi hạ giá, cửa hàng lãi bao nhiêu phần trăm so với giá vốn? b) Biết giá vốn của chiếc áo khoác là $600\,000$ đồng, tính số tiền lãi thực tế cửa hàng thu được sau khi đã hạ giá.

Lời giải chi tiết: a)

• Coi giá vốn của chiếc áo khoác là $100\%.$
• Vì giá niêm yết lãi $40\%$ so với giá vốn nên:$$\text{Giá niêm yết} = 100\% + 40\% = 140\% \text{ giá vốn} = 1{,}4 \cdot \text{Giá vốn}.$$
• Khi hạ giá $15\%$ so với giá niêm yết, giá bán thực tế bằng:$$\text{Giá bán} = \text{Giá niêm yết} \cdot (100\% - 15\%) = (1{,}4 \cdot \text{Giá vốn}) \cdot 0{,}85 = 1{,}19 \cdot \text{Giá vốn} = 119\% \text{ giá vốn}.$$
• Tỉ số phần trăm tiền lãi so với giá vốn là:$$119\% - 100\% = 19\%.$$Vậy sau khi hạ giá, cửa hàng vẫn lãi $19\%$ so với giá vốn.

b)

• Số tiền lãi thực tế cửa hàng thu được là:$$600\,000 \cdot 19\% = 600\,000 \cdot 0{,}19 = 114\,000\text{ đồng}.$$

E. Bộ câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

F. Đề kiểm tra 15 phút đánh giá năng lực (Có ma trận & lời giải)

Đề kiểm tra 15 phút

Phần I: Trắc nghiệm (3.0 điểm — Mỗi câu 0.75 điểm)

Câu 1: Tỉ số của $45\text{ phút}$ và $1{,}5\text{ giờ}$ là: A. $\dfrac{1}{2}$ B. $\dfrac{3}{10}$ C. $\dfrac{2}{3}$ D. $\dfrac{30}{1}$

Câu 2: Tỉ số phần trăm của $18$ và $75$ là: A. $24\%$ B. $41{,}6\%$ C. $25\%$ D. $18\%$

Câu 3: Tìm $35\%$ của $120$: A. $42$ B. $35$ C. $342$ D. $4{,}2$

Câu 4: Biết $20\%$ của số $x$ là $48,$ số $x$ bằng: A. $9{,}6$ B. $240$ C. $96$ D. $120$

Phần II: Tự luận (7.0 điểm)

Bài 1 (2.0 điểm): Một nông trường nuôi $1\,200$ con gà, trong đó có $780$ con gà đẻ trứng. a) Tính tỉ số phần trăm số gà đẻ trứng so với tổng số gà của nông trường. b) Số gà còn lại là gà thịt, hỏi gà thịt chiếm bao nhiêu phần trăm?

Bài 2 (2.0 điểm): Bác Hưng vay ngân hàng $100$ triệu đồng để đầu tư hệ thống tưới nhỏ giọt với lãi suất $7\%/\text{năm}.$ Hỏi sau $1$ năm, bác Hưng phải trả ngân hàng tất cả bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?

Bài 3 (2.0 điểm — Thực tế): Một cửa hàng thời trang bán một chiếc áo khoác với giá niêm yết $800\,000$ đồng. Nhân dịp cuối năm, cửa hàng giảm giá $20\%.$ a) Người mua được giảm bao nhiêu tiền? b) Nếu người mua thanh toán qua ví điện tử được giảm thêm $5\%$ trên số tiền phải trả sau khi đã giảm giá ở câu a, hỏi người đó thực tế chỉ phải trả bao nhiêu tiền?

Bài 4 (1.0 điểm — Nâng cao): Giá một lít xăng trong tháng 1 tăng $10\%$ so với tháng 12 năm trước. Đến tháng 2, giá xăng lại giảm $10\%$ so với tháng 1. Hỏi giá xăng tháng 2 đắt hơn hay rẻ hơn so với tháng 12 năm trước bao nhiêu phần trăm?

Đáp án và biểu điểm chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm (3.0 điểm)

• Câu 1: A ($\dfrac{45}{90} = \dfrac{1}{2}$). (0.75 điểm)
• Câu 2: A ($\dfrac{18}{75} \cdot 100\% = 24\%$). (0.75 điểm)
• Câu 3: A ($120 \cdot 0{,}35 = 42$). (0.75 điểm)
• Câu 4: B ($48 : 0{,}2 = 240$). (0.75 điểm)

Phần II: Tự luận (7.0 điểm)

• Bài 1 (2.0 điểm):
  • a) Tỉ số phần trăm gà đẻ trứng: $$\dfrac{780}{1\,200} \cdot 100\% = 65\%.\quad (1.0\text{ điểm})$$
  • b) Tỉ số phần trăm gà thịt: $$100\% - 65\% = 35\%.\quad (1.0\text{ điểm})$$
• Bài 2 (2.0 điểm):
  • Tiền lãi sau một năm bác Hưng phải trả:$$100 \cdot 7\% = 7\text{ triệu đồng}.\quad (1.0\text{ điểm})$$
  • Tổng số tiền cả gốc và lãi:$$100 + 7 = 107\text{ triệu đồng} = 107\,000\,000\text{ đồng}.\quad (1.0\text{ điểm})$$
• Bài 3 (2.0 điểm):
  • a) Số tiền được giảm $20\%$: $$800\,000 \cdot 20\% = 160\,000\text{ đồng}.\quad (0.75\text{ điểm})$$ Số tiền sau lần giảm 1: $800\,000 - 160\,000 = 640\,000$ đồng. (0.25 điểm)
  • b) Số tiền thực tế phải trả khi thanh toán ví điện tử: $$640\,000 \cdot (1 - 0{,}05) = 640\,000 \cdot 0{,}95 = 608\,000\text{ đồng}.\quad (1.0\text{ điểm})$$
• Bài 4 (1.0 điểm):
  • Coi giá xăng tháng 12 năm trước là $100\%.$
  • Giá xăng tháng 1 sau khi tăng $10\%$:$$100\% \cdot (1 + 0{,}1) = 110\%.\quad (0.25\text{ điểm})$$
  • Giá xăng tháng 2 sau khi giảm $10\%$ so với tháng 1:$$110\% \cdot (1 - 0{,}1) = 110\% \cdot 0{,}9 = 99\%.\quad (0.5\text{ điểm})$$
  • Ta có $99\% - 100\% = -1\%.$
  • Vậy giá xăng tháng 2 rẻ hơn $1\%$ so với giá tháng 12 năm trước. (0.25 điểm)