Bài tập cuối chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương I — Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số là chương học chiếm tỉ trọng điểm số lớn nhất và mở đầu cho toàn bộ khối lượng kiến thức Giải tích lớp 12 trong Kỳ thi Tốt nghiệp THPT.

Một học sinh nắm vững Chương I là người có khả năng:

1. Đọc vanh vách mọi thông tin từ Bảng biến thiên hoặc Đồ thị hàm số (chiều mũi tên, điểm cực trị, mút vô cực, đường tiệm cận).
2. Xử lý thành thạo các bài toán chứa tham số $m$ (hàm số đồng biến trên khoảng, hàm số đạt cực trị tại điểm cho trước).
3. Vận dụng linh hoạt đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong đời sống thực tế (kinh tế, kỹ thuật, hình học).

Bảng Tra Cứu Đặc Trưng Hình Học Ba Dạng Đồ Thị Chuẩn

Bốn Dạng Toán Trọng Tâm Ôn Thi Có Lời Giải Chi Tiết

Dạng 1: Xét tính đơn điệu, cực trị và tham số $m$

Bài toán 1: Cho hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 1$ (với $m$ là tham số thực). a) Khảo sát sự biến thiên và tìm các điểm cực trị của hàm số khi $m = 1$.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

Lời giải: Đạo hàm:

a) Khi $m = 1$:

• $y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$.
• Dấu đạo hàm: $y' > 0$ trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; $y' < 0$ trên $(0; 2)$.
• Kết luận:
  • Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; nghịch biến trên $(0; 2)$.
  • Cực đại tại $x = 0$, $y_{CĐ} = y(0) = 1$.
  • Cực tiểu tại $x = 2$, $y_{CT} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$.

b) Hàm số có 2 điểm cực trị $\iff$ phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy hàm số luôn có 2 điểm cực trị với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Theo định lý Viète:

Theo giả thiết:

Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m = 2$ hoặc $m = -2$.

Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Lời giải: Biến đổi: $f(x) = x - 1 + \frac{8}{x - 1}$. Đạo hàm:

Cho $f'(x) = 0$:

(Nghiệm $x = 1 - 2\sqrt{2} < 0$ loại vì không thuộc đoạn $[2; 5]$).

Tính các giá trị:

• Tại $x = 2$: $f(2) = \frac{2^2 - 2(2) + 9}{2 - 1} = 9$.
• Tại $x = 5$: $$f(5) = \frac{5^2 - 2(5) + 9}{5 - 1} = \frac{25 - 10 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6.$$
• Tại điểm cực trị $x = 1 + 2\sqrt{2}$:$$f(1 + 2\sqrt{2}) = (1 + 2\sqrt{2} - 1) + \frac{8}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \approx 5.657$$

So sánh 3 giá trị: $9$, $6$, $4\sqrt{2}$:

Dạng 3: Đường tiệm cận và Bài toán tương giao

Bài toán 3: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$. a) Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của $(C)$.
b) Tìm tọa độ giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận đó và chứng minh $I$ là tâm đối xứng của $(C)$.
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d: y = m$ cắt đồ thị $(C)$ tại 2 điểm phân biệt.

Lời giải: Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

a)

• Tiệm cận đứng: $x = 2$ (vì mẫu số triệt tiêu tại $x = 2$, tử $2^2 + 2(2) - 3 = 5 \ne 0$).
• Tiệm cận xiên: Chia tử cho mẫu:$$x^2 + 2x - 3 = x(x - 2) + 4(x - 2) + 5 = (x + 4)(x - 2) + 5 \implies y = x + 4 + \frac{5}{x - 2}$$Vậy tiệm cận xiên là đường thẳng $\mathbf{y = x + 4}$.

b)

• Tọa độ giao điểm $I$: Thay $x = 2$ vào tiệm cận xiên: $y = 2 + 4 = 6 \implies \mathbf{I(2; 6)}$.
• Chứng minh tâm đối xứng: Tịnh tiến hệ trục tọa độ về gốc $I(2; 6)$ bằng công thức $\left\{\begin{array}{l} x = X + 2 \\ y = Y + 6 \end{array}\right.$:$$Y + 6 = (X + 2) + 4 + \frac{5}{(X + 2) - 2} \iff Y + 6 = X + 6 + \frac{5}{X} \iff Y = F(X) = X + \frac{5}{X}$$Nhận thấy $F(-X) = -X - \frac{5}{X} = -F(X)$, đây là hàm số lẻ trên $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Do đó đồ thị nhận gốc $I(2; 6)$ làm tâm đối xứng!

c) Đạo hàm:

$y' = 0 \iff (x - 2)^2 = 5 \iff x = 2 \pm \sqrt{5}$.

• Tại $x_1 = 2 - \sqrt{5} < 2$ (cực đại): $$y_{CĐ} = (2 - \sqrt{5}) + 4 + \frac{5}{-\sqrt{5}} = 6 - 2\sqrt{5} \approx 1.528.$$
• Tại $x_2 = 2 + \sqrt{5} > 2$ (cực tiểu): $$y_{CT} = (2 + \sqrt{5}) + 4 + \frac{5}{\sqrt{5}} = 6 + 2\sqrt{5} \approx 10.472.$$

Bảng biến thiên:

• Nhánh trái: Tăng từ $-\infty$ lên $y_{CĐ} = 6 - 2\sqrt{5}$ rồi giảm về $-\infty$.
• Nhánh phải: Giảm từ $+\infty$ xuống $y_{CT} = 6 + 2\sqrt{5}$ rồi tăng lên $+\infty$.

Để đường thẳng nằm ngang $y = m$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt (mỗi nhánh 1 điểm), giá trị $m$ phải nằm ở khoảng ngoài hai cực trị:

Dạng 4: Bài toán tối ưu hóa chi phí thực tế

Bài toán 4: Một công ty năng lượng mặt trời cần lắp đặt một trạm pin quang điện trên một mái nhà hình thang vuông $ABCD$ (vuông tại $A$ và $B$). Biết $AB = 12\text{ m}$, $AD = 8\text{ m}$, $BC = 4\text{ m}$. Công ty muốn bố trí một khung giá đỡ pin hình chữ nhật $MNPQ$ nằm trọn trong mái nhà sao cho hai đỉnh $M, N$ nằm trên cạnh $AB$, đỉnh $P$ nằm trên cạnh xiên $CD$ và đỉnh $Q$ nằm trên cạnh $AD$. Tìm diện tích lớn nhất của khung pin hình chữ nhật có thể lắp đặt được.

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $A \equiv O(0; 0)$, cạnh $AB$ nằm trên trục $Ox$, cạnh $AD$ nằm trên trục $Oy$.

• Tọa độ các đỉnh: $A(0; 0)$, $B(12; 0)$, $D(0; 8)$, $C(12; 4)$.
• Phương trình đường thẳng cạnh xiên $CD$: Hệ số góc: $$k = \frac{y_C - y_D}{x_C - x_D} = \frac{4 - 8}{12 - 0} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}.$$ Phương trình đường thẳng $CD$:$$y = -\frac{1}{3}x + 8$$
• Đỉnh $P(x; y)$ nằm trên đoạn $CD$ ($0 \le x \le 12$) thì tung độ $y = -\frac{1}{3}x + 8$.
• Khung pin hình chữ nhật $MNPQ$ có:
  • Chiều dài dọc theo $AB$ là hoành độ $x$.
  • Chiều rộng vuông góc với $AB$ là tung độ $y = -\frac{1}{3}x + 8$.
• Diện tích khung pin:$$S(x) = x \cdot y = x\left(-\frac{1}{3}x + 8\right) = -\frac{1}{3}x^2 + 8x \quad (0 \le x \le 12)$$
• Đạo hàm:$$S'(x) = -\frac{2}{3}x + 8$$$$S'(x) = 0 \iff -\frac{2}{3}x + 8 = 0 \iff x = 12\text{ m}$$Tại $x = 12\text{ m}$, chiều rộng $y = -\frac{1}{3}(12) + 8 = 4\text{ m}$. Diện tích lớn nhất đạt được là:$$S_{max} = S(12) = 12 \times 4 = 48\text{ m}^2$$

Trắc nghiệm Tự chấm: Tổng ôn toàn chương I (12 câu)