Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Trong ba bài học trước, chúng ta đã lần lượt trang bị từng mảnh ghép quan trọng của giải tích:

• Bài 1: Tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) và các điểm cực trị.
• Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (Max/Min).
• Bài 3: Các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.

Bây giờ là lúc chúng ta tập hợp toàn bộ các công cụ đó thành một quy trình hoàn chỉnh mang tên: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Khảo sát hàm số là kỹ năng toàn diện nhất của người học toán, giúp chuyển hóa một công thức đại số khô khan thành một bức tranh trực quan sống động, từ đó giải quyết dễ dàng các bài toán thực tiễn phức tạp, biện luận nghiệm phương trình và dự báo xu hướng biến thiên.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) có thể có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
2. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba là điểm nào?
3. Đồ thị hàm phân thức $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ nhận điểm nào làm tâm đối xứng?
4. Đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = \frac{ax^2+bx+c}{px+q}$ có những loại đường tiệm cận nào?
5. Phương trình $f(x) = m$ có số nghiệm thực bằng số lượng gì trên mặt phẳng tọa độ?

Mẹo hay

Đáp án nhanh:

1. Tối đa 2 điểm cực trị (khi phương trình đạo hàm bậc hai $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt).
2. Là điểm uốn $I$ (nghiệm của phương trình đạo hàm cấp hai $y'' = 0$).
3. Là giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang: $I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)$.
4. Gồm 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận xiên (giao nhau tại tâm đối xứng $I$).
5. Bằng số giao điểm giữa đồ thị $y = f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y = m$.

I. Khảo sát Hàm số bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$)

1. Đặc trưng hình học

• Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$ (tam thức bậc hai).
• Đồ thị luôn nhận điểm uốn $I\left(-\frac{b}{3a}; y\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ (nghiệm của $y'' = 6ax + 2b = 0$) làm tâm đối xứng.
• Đồ thị không có tiệm cận.

2. Các dạng đồ thị tùy theo dấu của $a$ và $\Delta'_{y'}$

II. Khảo sát Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \ne 0, ad - bc \ne 0$)

1. Đặc trưng hình học

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$.
• Đạo hàm: $y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.
  • Nếu $ad - bc > 0$: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
  • Nếu $ad - bc < 0$: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
  • Hàm số không có cực trị.
• Tiệm cận:
  • Tiệm cận đứng: $x = -\frac{d}{c}$.
  • Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c}$.
• Tâm đối xứng: Giao điểm hai đường tiệm cận $\mathbf{I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)}$.
• Đồ thị: Gồm hai nhánh đường cong hyperbol đối xứng nhau qua tâm $I$.

III. Khảo sát Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất: $y = \frac{ax^2+bx+c}{px+q}$ ($a \ne 0, p \ne 0$)

Đây là dạng hàm số mới và rất quan trọng trong Chương trình GDPT 2018 (sách Kết nối tri thức).

1. Đặc trưng hình học

• Chia đa thức: $y = mx + n + \frac{r}{px + q}$ (với $r \ne 0$).
• Tiệm cận:
  • Tiệm cận đứng: $x = -\frac{q}{p}$.
  • Tiệm cận xiên: $y = mx + n$.
• Tâm đối xứng: Giao điểm $\mathbf{I}$ của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
• Đồ thị gồm 2 nhánh đường cong kẹp trong 4 góc phần tư tạo bởi hai đường tiệm cận chéo nhau. Nếu có 2 cực trị thì điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm ở hai nhánh khác nhau!

Công cụ trực quan: Bộ Khám phá Hình dáng 3 Đồ thị Chuẩn mực

Hãy bấm chọn chuyển đổi giữa 3 dạng hàm số bên dưới để quan sát đồ thị trực quan, các điểm cực trị và các đường tiệm cận:

IV. Bài toán Tương giao: Biện luận số nghiệm của phương trình

Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đồ thị hàm số là biện luận số nghiệm của phương trình $f(x) = m$:

• Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $d: y = m$ (song song hoặc trùng với trục hoành).
• Căn cứ vào các giá trị cực trị $y_{CT}$ và $y_{CĐ}$ trên bảng biến thiên:
  • Nếu $m > y_{CĐ}$ hoặc $m < y_{CT}$: Đường thẳng $y = m$ chỉ cắt đồ thị tại 1 điểm $\implies$ Phương trình có đúng 1 nghiệm.
  • Nếu $m = y_{CĐ}$ hoặc $m = y_{CT}$: Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực trị $\implies$ Phương trình có 2 nghiệm (1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn).
  • Nếu $y_{CT} < m < y_{CĐ}$: Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt $\implies$ Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

V. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)