Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Chào mừng các em bước vào chương trình Toán học lớp 12 — năm học then chốt hướng tới Kỳ thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học!

Mở đầu chương trình lớp 12 là Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Nếu ở lớp 11, chúng ta đã học cách tính đạo hàm $f'(x)$ và hiểu ý nghĩa của nó là tiếp tuyến và vận tốc, thì ở lớp 12, đạo hàm sẽ trở thành "chiếc kính hiển vi" thần kỳ giúp chúng ta nhìn thấu mọi ngóc ngách của đồ thị hàm số:

• Khi nào hàm số tăng lên (đồng biến)?
• Khi nào hàm số giảm xuống (nghịch biến)?
• Đâu là những đỉnh cao nhất cục bộ (Cực đại) và đáy sâu nhất cục bộ (** Cực tiểu**)?

Những khái niệm này không chỉ phục vụ các bài toán hình học phẳng, mà còn là trái tim của mọi mô hình tối ưu hóa trong đời sống: từ việc tìm thời điểm bán cổ phiếu đạt đỉnh, tối ưu hóa lợi nhuận của doanh nghiệp, cho đến việc dự đoán đỉnh dịch bệnh trong y tế cộng đồng.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Xét parabol $y = x^2$. Khi $x$ tăng từ $-2$ đến $0$, giá trị của $y$ tăng hay giảm? Khoảng $(-\infty; 0)$ là khoảng đồng biến hay nghịch biến?
2. Tiếp tục với $y = x^2$, khi $x$ tăng từ $0$ đến $3$, giá trị của $y$ tăng hay giảm? Đỉnh $(0; 0)$ là cực đại hay cực tiểu?
3. Tính đạo hàm của $y = x^2$. Khi $x > 0$ thì $y'$ mang dấu gì? Khi $x < 0$ thì $y'$ mang dấu gì?
4. Nếu một đường thẳng có hệ số góc $k = f'(x_0) = 0$, tiếp tuyến đó có vị trí tương đối thế nào với trục hoành?
5. Một hàm số có đồ thị đi lên rồi đi xuống qua điểm $x = 1$. Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt cực đại hay cực tiểu?

Mẹo hay

Đáp án nhanh:

1. $y$ giảm từ $4$ về $0$ $\implies$ Nghịch biến trên $(-\infty; 0)$.
2. $y$ tăng từ $0$ lên $9$ $\implies$ Đồng biến trên $(0; +\infty)$. Điểm $(0; 0)$ là điểm cực tiểu (đáy).
3. $y' = 2x$. Khi $x > 0 \implies y' > 0$ (đồng biến); khi $x < 0 \implies y' < 0$ (nghịch biến).
4. Tiếp tuyến nằm ngang (song song hoặc trùng với trục hoành $Ox$).
5. Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng (gọi chung là tập $K \subset \mathbb{R}$).

• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu:$$\forall x_1, x_2 \in K: x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$$
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu:$$\forall x_1, x_2 \in K: x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$$
• Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$.

2. Định lý về mối liên hệ giữa Đạo hàm và Tính đơn điệu

Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$.

Quan trọng

Định lý 1 (Điều kiện đủ của tính đơn điệu):

1. Nếu $\mathbf{f'(x) > 0}$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $K$.
2. Nếu $\mathbf{f'(x) < 0}$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$.
3. Nếu $\mathbf{f'(x) = 0}$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ là hàm hằng (không đổi) trên khoảng $K$.

3. Định lý mở rộng (Trường hợp $f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm)

Ghi nhớ

Định lý mở rộng: Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ và có đạo hàm:

• $f'(x) \ge 0, \forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên $K$.
• $f'(x) \le 0, \forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên $K$.

Ví dụ: Hàm số $y = x^3$ có $y' = 3x^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Đạo hàm triệt tiêu tại đúng 1 điểm duy nhất $x = 0$. Vì thế, hàm số $y = x^3$ đồng biến trên toàn bộ trục số $(-\infty; +\infty)$.

II. Cực trị của hàm số

1. Định nghĩa Cực đại và Cực tiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ và $x_0 \in D$.

Quan trọng

Định nghĩa Cực trị:

1. Điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho:

   $$f(x) < f(x_0), \quad \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$$

   Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại (hay cực đại) của hàm số, kí hiệu là $y_{\text{CĐ}}$. Điểm $M_0(x_0; f(x_0))$ trên mặt phẳng tọa độ gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

2. Điểm $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho:

   $$f(x) > f(x_0), \quad \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$$

   Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu (hay cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $y_{\text{CT}}$. Điểm $M_0(x_0; f(x_0))$ gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Lưu ý / Cảnh báo

Phân biệt thuật ngữ để tránh mất điểm:

• Điểm cực trị của hàm số: Là giá trị của biến số $x$ (ví dụ: $x = 2$).
• Cực trị (hoặc giá trị cực trị) của hàm số: Là giá trị của $y$ (ví dụ: $y_{\text{CĐ}} = 5$).
• Điểm cực trị của đồ thị hàm số: Là một cặp tọa độ $(x; y)$ trên mặt phẳng (ví dụ: $M(2; 5)$).

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị (Định lý Fermat)

Nếu hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ và nếu hàm số có đạo hàm tại $x_0$ thì:

Lưu ý: Những điểm mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định được gọi là các điểm tới hạn (critical points) của hàm số.

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Dấu hiệu 1 (Dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm $f'(x)$)

Giả sử hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ và có đạo hàm trên $(a; b) \setminus \{x_0\}$:

• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) khi $x$ đi qua $x_0$ (từ trái sang phải) thì $x_0$ là điểm cực đại.
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) khi $x$ đi qua $x_0$ (từ trái sang phải) thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
• Nếu $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$ thì điểm $x_0$ không phải là điểm cực trị.

Dấu hiệu 2 (Dựa vào đạo hàm cấp hai $f''(x)$)

Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$, và $f'(x_0) = 0$:

• Nếu $\mathbf{f''(x_0) < 0}$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$.
• Nếu $\mathbf{f''(x_0) > 0}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_0$.

Công cụ trực quan: Mô phỏng Đơn điệu & Cực trị Hàm số bậc ba

Dưới đây là đồ thị hàm số bậc ba chuẩn mực $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$. Hãy kéo thanh trượt hoặc chạm/kéo trực tiếp điểm $M$ trên đồ thị để quan sát tiếp tuyến (màu cam), dấu của đạo hàm $y' = x^2 - 2x - 3$ và vị trí hai điểm cực trị:

III. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm đa thức

Bài toán 1: Xét tính đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm số:

Lời giải:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm:$$y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2)$$
• Nghiệm đạo hàm:$$y' = 0 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ x = 2 \end{array}\right.$$
• Tính các giá trị tương ứng:$$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$$$$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$$
• Bảng biến thiên:

• Kết luận:
  • Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(2; +\infty)$.
  • Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 2)$.
  • Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$, giá trị cực đại là $y_{\text{CĐ}} = 8$. Điểm cực đại của đồ thị là $M(-1; 8)$.
  • Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$, giá trị cực tiểu là $y_{\text{CT}} = -19$. Điểm cực tiểu của đồ thị là $N(2; -19)$.

Dạng 2: Tính đơn điệu của hàm phân thức hữu tỉ

Bài toán 2: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$
b) $y = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}$

Lời giải: a) $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
• Đạo hàm:$$y' = \frac{2(1) - (-1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0, \quad \forall x \ne -1$$
• Kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
  (Lưu ý: Tuyệt đối không kết luận hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ hoặc $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ vì định nghĩa đơn điệu chỉ xét trên từng khoảng!). Hàm số này không có cực trị.

b) $y = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
• Biến đổi: $y = x - 2 + \frac{1}{x - 1}$.
• Đạo hàm:$$y' = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$$
• Cho $y' = 0 \iff x(x - 2) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$.
  • Với $x = 0 \implies y = -3$.
  • Với $x = 2 \implies y = 1$.
• Bảng biến thiên:

• Kết luận:
  • Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
  • Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$.
  • Điểm cực đại là $x = 0$ ($y_{\text{CĐ}} = -3$), điểm cực tiểu là $x = 2$ ($y_{\text{CT}} = 1$).
    (Chú ý: Giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = -3$ có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = 1$ vì cực trị chỉ có tính chất cục bộ!).

Dạng 3: Tìm tham số $m$ để hàm số đơn điệu trên $\mathbb{R}$

Bài toán 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số:

đồng biến trên toàn bộ trục số $\mathbb{R}$.

Lời giải: Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm:

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

(và dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).

Vì $y'$ là tam thức bậc hai có hệ số $a = 1 > 0$, điều kiện để $y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ là:

Trong đó:

Ta có:

Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m \in [-1; 3]$.

IV. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)

V. Ứng dụng Thực tế: Quy luật Lợi nhuận Giảm dần trong Kinh doanh

Trong kinh tế học vi mô, hàm doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp thường tuân theo quy luật điểm cực trị:

Mẹo hay

Giải bài toán kinh doanh bằng đạo hàm:

1. Tổng số khách trong đoàn là $30 + x$.
   Giá vé của mỗi người lúc này là: $2.000.000 - 40.000x$ (đồng).
   Hàm tổng doanh thu (tính bằng triệu đồng):$$R(x) = (30 + x)(2 - 0.04x) = 60 - 1.2x + 2x - 0.04x^2 = -0.04x^2 + 0.8x + 60$$
2. Tìm điểm cực đại bằng đạo hàm:$$R'(x) = -0.08x + 0.8$$$$R'(x) = 0 \iff -0.08x + 0.8 = 0 \iff x = 10$$Vì $R''(x) = -0.08 < 0$ nên $x = 10$ chắc chắn là điểm cực đại của hàm doanh thu!

BẢNG BIẾN THIÊN HÀM DOANH THU R(x) (triệu đồng)

3. Đoàn tour tối ưu nhất là có:$$30 + 10 = 40\text{ khách}$$Doanh thu cực đại thu về là:$$R(10) = -0.04(10)^2 + 0.8(10) + 60 = -4 + 8 + 60 = 64\text{ triệu đồng}$$(Nếu nhận thêm khách quá mốc 40 người, tiền giảm giá sẽ làm doanh thu sụt giảm trở lại!).