Bài 11. Nguyên hàm

Ở học kỳ 1 và lớp 11, chúng ta đã thành thạo phép tính đạo hàm: Cho một hàm số $F(x)$, hãy tìm tốc độ biến thiên $f(x) = F'(x)$ của nó. Trong thực tế đời sống và khoa học kỹ thuật, bài toán ngược lại còn xuất hiện thường xuyên và mang tính quyết định hơn:

• Biết vận tốc biến thiên $v(t)$ của một tên lửa tại mỗi thời điểm, làm sao tính được quãng đường $s(t)$ mà nó đã bay?
• Biết tốc độ sinh trưởng của một quần thể vi khuẩn theo thời gian, làm sao xác định được tổng số cá thể sau $t$ giờ?
• Biết cường độ dòng điện tức thời $i(t) = q'(t)$, làm sao tính được điện tích $q(t)$ dịch chuyển qua tiết diện dây dẫn?

Phép toán "ngược" của đạo hàm chính là phép tính nguyên hàm (tìm lại hàm số gốc ban đầu khi biết đạo hàm của nó). Đây là nền tảng cốt lõi mở đường cho toàn bộ giải tích tích phân hiện đại.

1. Khái niệm nguyên hàm

::: tip Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số $f(x)$ xác định trên một khoảng $K$ (hoặc một đoạn, nửa khoảng).
Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu:

:::

Định lý về họ nguyên hàm

1. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$.
2. Ngược lại, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$, với $C$ là một hằng số thực.

::: tip Kí hiệu họ nguyên hàm Biểu thức $\mathbf{F(x) + C}$ được gọi là họ tất cả các nguyên hàm (hay tích phân bất định) của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$, kí hiệu là:

• $\int$: Dấu tích phân (nguyên hàm).
• $f(x)$: Hàm số dưới dấu tích phân.
• $f(x)\,dx$: Biểu thức dưới dấu tích phân.
• $x$: Biến lấy tích phân.
• $C$: Hằng số tích phân tùy ý. :::

2. Ý nghĩa hình học & Mô phỏng họ đường cong nguyên hàm

Về mặt hình học, đồ thị của các hàm số trong họ nguyên hàm $y = F(x) + C$ là một họ các đường cong đồng dạng, nhận được từ đồ thị $y = F(x)$ bằng các phép tịnh tiến dọc theo trục tung $Oy$.

Tại mọi điểm có cùng hoành độ $x_0$, tiếp tuyến của các đường cong này đều có cùng hệ số góc:

Nghĩa là: Các tiếp tuyến tại cùng một hoành độ $x_0$ luôn song song với nhau!

Dưới đây là mô phỏng trực quan họ nguyên hàm $F(x) = \frac{x^3}{3} - x + C$ (tương ứng với đạo hàm $f(x) = x^2 - 1$). Hãy kéo thanh trượt để di chuyển điểm $x_0$ và thay đổi hằng số $C$:

3. Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

Với $f(x), g(x)$ là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng $K$ và $k$ là số thực khác 0:

::: tip Tính chất 1: Đạo hàm của nguyên hàm

:::

::: tip Tính chất 2: Đưa thừa số không đổi ra ngoài

:::

::: tip Tính chất 3: Nguyên hàm của tổng và hiệu

:::

4. Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Dưới đây là bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng tương ứng với hàm hợp dạng bậc nhất $u = ax + b$ ($a \neq 0$):

5. Hai phương pháp tính nguyên hàm căn bản

5.1. Phương pháp đổi biến số

::: tip Định lý đổi biến số Cho hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $K$ và hàm số $y = f(u)$ liên tục trên miền giá trị của $u(x)$. Khi đó:

:::

Quy trình 3 bước:

1. Bước 1: Chọn biểu thức thích hợp để đặt ẩn phụ $u = u(x)$.
2. Bước 2: Tính vi phân $du = u'(x) \, dx$, biến đổi toàn bộ biểu thức dưới dấu tích phân theo $u$ và $du$.
3. Bước 3: Tính nguyên hàm theo biến $u$, sau đó thay ngược lại $u = u(x)$ để được kết quả theo biến $x$.

5.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

::: tip Công thức nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số $u(x)$ và $v(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $K$ thì:

(trong đó $du = u'(x)dx$ và $dv = v'(x)dx$) :::

Khẩu quyết chọn $u$ và $dv$:
Khi gặp tích của hai hàm số khác loại trong các nhóm sau:

(Nhất log - Nhì đa - Tam lượng - Tứ mũ)

• Hàm nào xuất hiện trước trong chuỗi ưu tiên trên thì đặt làm $u$.
• Phần còn lại kèm $dx$ sẽ được đặt làm $dv$.

6. Các ví dụ áp dụng chi tiết

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm bằng bảng công thức và phân tích

Tìm các họ nguyên hàm sau: a) $I_1 = \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx$
b) $I_2 = \int \left( e^{3x} + \frac{2}{2x+1} \right) \, dx$
c) $I_3 = \int \cos^2 x \, dx$

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất tuyến tính và bảng nguyên hàm cơ bản:

b) Áp dụng công thức mở rộng cho hàm bậc nhất $ax + b$:

c) Dùng công thức hạ bậc $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:

Ví dụ 2: Phương pháp đổi biến số

Tính nguyên hàm $I = \int 2x \sqrt{x^2 + 1} \, dx$.

Lời giải:

• Cách 1: Đặt $u = x^2 + 1$
  $\implies du = 2x \, dx$.
  Khi đó:

  $$I = \int \sqrt{u} \, du = \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} \sqrt{u^3} + C = \frac{2}{3} \sqrt{(x^2+1)^3} + C$$

• Cách 2: Đặt căn làm ẩn phụ: $t = \sqrt{x^2 + 1}$
  $\implies t^2 = x^2 + 1 \implies 2t \, dt = 2x \, dx \implies x \, dx = t \, dt$.
  Thay vào:

  $$I = \int t \cdot (2t \, dt) = 2 \int t^2 dt = \frac{2}{3} t^3 + C = \frac{2}{3} \sqrt{(x^2+1)^3} + C$$

Ví dụ 3: Phương pháp nguyên hàm từng phần

Tính nguyên hàm $I = \int (2x + 1) e^x \, dx$.

Lời giải:

Biểu thức là tích của hàm đa thức $(2x+1)$ và hàm mũ $e^x$. Theo quy tắc "nhì đa, tứ mũ", ta đặt:

Áp dụng công thức $\int u \, dv = u v - \int v \, du$:

Ví dụ 4: Ứng dụng chuyển động trong Vật lý

Một ô tô đang chạy với vận tốc $20\text{ m/s}$ thì người lái đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a(t) = -4\text{ m/s}^2$.
a) Tìm công thức vận tốc $v(t)$ của ô tô kể từ lúc đạp phanh ($t \ge 0$).
b) Sau bao lâu thì ô tô dừng hẳn? Tính quãng đường ô tô đi được từ lúc phanh đến khi dừng hẳn.

Lời giải:

a) Ta biết gia tốc là đạo hàm của vận tốc: $a(t) = v'(t)$. Do đó $v(t)$ là một nguyên hàm của $a(t)$:

Tại thời điểm đạp phanh $t = 0$, vận tốc ban đầu là $v(0) = 20\text{ m/s} \implies -4(0) + C = 20 \implies C = 20$.
Vậy phương trình vận tốc là:

b) Ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0 \iff -4t + 20 = 0 \iff t = 5\text{ giây}$.
Quãng đường đi được $s(t)$ là nguyên hàm của hàm vận tốc $v(t)$:

Tại $t = 0$ xe bắt đầu tính quãng đường nên $s(0) = 0 \implies C_1 = 0$.
Do đó $s(t) = -2t^2 + 20t$.
Tại thời điểm dừng hẳn $t = 5\text{ s}$, quãng đường phanh là:

7. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (10 câu có đáp án và giải chi tiết)