Bài 12. Tích phân

Từ thời cổ đại, loài người đã biết cách tính diện tích của những hình có cạnh thẳng như tam giác, hình vuông hay tứ giác. Nhưng làm thế nào để tính chính xác diện tích của một hình phẳng có biên là đường cong bất kỳ (như đường cong parabol, đường cong của bờ sông, hay mặt cắt của cánh máy bay)?

Vào thế kỷ 17, hai nhà bác học vĩ đại Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz đã độc lập tìm ra mối liên hệ kỳ diệu giữa bài toán diện tích hình thang cong và bài toán tìm nguyên hàm. Phát kiến thiên tài này được đúc kết thành Công thức Newton – Leibniz, khai sinh ra phép tính Tích phân – một trong những thành tựu vĩ đại nhất của lịch sử tư duy toán học nhân loại.

1. Định nghĩa tích phân

::: tip Định nghĩa tích phân (Công thức Newton – Leibniz) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $[a; b]$.
Hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân của hàm số $f(x)$ từ $a$ đến $b$, kí hiệu là:

Ta viết:

:::

Trong đó:

• $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên.
• $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân, $f(x)dx$ là biểu thức vi phân dưới dấu tích phân.

Các quy ước quan trọng:

1. Khi cận dưới bằng cận trên: $\int_a^a f(x) \, dx = 0$.
2. Đổi chỗ hai cận thì tích phân đổi dấu: $\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$.
3. Tính độc lập đối với kí hiệu biến số: Giá trị của tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số $f$ và hai cận $a, b$, hoàn toàn không phụ thuộc vào tên gọi của biến số:$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b f(u) \, du = \dots$$

2. Ý nghĩa hình học của tích phân & Mô phỏng tổng Riemann

Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục và không âm ($f(x) \ge 0$) trên đoạn $[a; b]$ thì tích phân $\int_a^b f(x) \, dx$ chính là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi:

• Đồ thị hàm số $y = f(x)$;
• Trục hoành $Ox$ ($y = 0$);
• Hai đường thẳng biên $x = a$ và $x = b$.

Mô phỏng xấp xỉ tổng Riemann (Riemann Sum)

Để tính diện tích hình cong, nhà toán học Bernhard Riemann chia đoạn $[a; b]$ thành $N$ hình chữ nhật hẹp. Khi số hình chữ nhật $N \to +\infty$, tổng diện tích của các hình chữ nhật này sẽ hội tụ chính xác về diện tích hình thang cong $\int_a^b f(x)dx$.

Dưới đây là mô phỏng trực quan hàm số $f(x) = 0.3x^2 + 1$ trên đoạn $[0; 4]$. Hãy kéo thanh trượt để thay đổi số phân hoạch $N$ từ 4 đến 50 và quan sát sự tiệm cận của tổng diện tích:

3. Các tính chất quan trọng của tích phân

Giả sử $f(x), g(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $k, c \in \mathbb{R}$:

::: tip Tính chất 1: Đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân

:::

::: tip Tính chất 2: Tích phân của tổng và hiệu

:::

::: tip Tính chất 3: Chèn cận (Tính chất cộng đoạn) Với ba số bất kì $a, b, c$:

(Tính chất này đặc biệt hữu ích khi tính tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức khác nhau trên các khoảng, hoặc hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối $|f(x)|$). :::

::: tip Tính chất 4: So sánh độ lớn Nếu $f(x) \ge 0$ với mọi $x \in [a; b]$ ($a \le b$) thì:

Đặc biệt, nếu $f(x) \ge g(x)$ trên $[a; b]$ thì $\int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx$. :::

4. Các phương pháp tính tích phân

4.1. Phương pháp đổi biến số

::: tip Công thức đổi biến số Cho hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a; b]$ và $y = f(u)$ liên tục trên đoạn giá trị của $u(x)$. Khi đó:

:::

Quan trọng

BƯỚC BẮT BUỘC KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN: ĐỔI CẬN!
Khi đổi biến $x \to u$, phải lập tức tìm cận mới:

• $x = a \implies u = u(a)$ (cận dưới mới).
• $x = b \implies u = u(b)$ (cận trên mới).
  Sau khi tính xong theo biến $u$, ta thay trực tiếp cận mới vào mà KHÔNG CẦN chuyển ngược về biến $x$ như ở bài toán nguyên hàm!

4.2. Phương pháp tích phân từng phần

::: tip Công thức tích phân từng phần Nếu $u(x)$ và $v(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$ thì:

:::

Cách chọn $u$ và $dv$ tuân theo đúng thứ tự ưu tiên: "Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ".

5. Các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Tính tích phân cơ bản bằng định lý Newton – Leibniz

Tính các tích phân sau:
a) $I_1 = \int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) \, dx$
b) $I_2 = \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx$
c) $I_3 = \int_1^e \frac{1}{x} \, dx$

Lời giải:

a) Nguyên hàm của $3x^2 - 2x + 1$ là $F(x) = x^3 - x^2 + x$:

b) Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$:

c) Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ trên $[1; e]$ là $\ln x$:

Ví dụ 2: Phương pháp đổi biến số

Tính tích phân $I = \int_0^1 2x(x^2 + 1)^3 \, dx$.

Lời giải:

• Đặt $u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx$.
• Đổi cận:
  • Khi $x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1$.
  • Khi $x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2$.
• Thay vào tích phân theo biến $u$:$$I = \int_1^2 u^3 \, du = \left. \frac{u^4}{4} \right|_1^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$$

Ví dụ 3: Phương pháp tích phân từng phần

Tính tích phân $I = \int_0^1 x e^x \, dx$.

Lời giải:

Áp dụng phương pháp từng phần:

Áp dụng công thức $\int_a^b u \, dv = \left. uv \right|_a^b - \int_a^b v \, du$:

Ví dụ 4: Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tính tích phân $I = \int_0^3 |x - 1| \, dx$.

Lời giải:

Xét dấu của biểu thức $x - 1$ trên đoạn $[0; 3]$:

• Với $x \in [0; 1]$ thì $x - 1 \le 0 \implies |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
• Với $x \in [1; 3]$ thì $x - 1 \ge 0 \implies |x - 1| = x - 1$.

Chèn điểm $c = 1$ vào tích phân:

• Tích phân thứ nhất: $$\left.\left(x - \frac{x^2}{2}\right)\right|_0^1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$
• Tích phân thứ hai: $$\left.\left(\frac{x^2}{2} - x\right)\right|_1^3 = \left(\frac{9}{2} - 3\right) - \left(\frac{1}{2} - 1\right) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = 2.$$

Vậy:

6. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (10 câu có đáp án và giải chi tiết)