Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Một trong những lý do khiến giải tích tích phân trở thành công cụ không thể thiếu của kỹ sư, kiến trúc sư và nhà thiết kế là khả năng tính toán chuẩn xác đến từng milimét:

• Diện tích của những mặt sàn kiến trúc uốn lượn mềm mại hay những khu vườn cảnh quan có đường biên tự nhiên.
• Dung tích bình chứa nhiên liệu của tàu vũ trụ, bồn chở dầu hình ellip hay thùng gỗ sồi ủ rượu vang truyền thống.

Tất cả những hình dạng phức tạp đó đều được giải quyết nhẹ nhàng thông qua hai ứng dụng hình học kinh điển của tích phân: Tính diện tích hình phẳng và Tính thể tích khối tròn xoay.

1. Tính diện tích hình phẳng

1.1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

::: tip Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, $Ox$, $x = a$, $x = b$ Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$, trục hoành $Ox$ ($y = 0$) và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức:

:::

Phương pháp khử dấu giá trị tuyệt đối:

• Giải phương trình $f(x) = 0$ trên đoạn $[a; b]$ để tìm các nghiệm $c_1 < c_2 < \dots < c_k$.
• Chia tích phân thành từng đoạn con:$$S = \int_a^{c_1} |f(x)| dx + \int_{c_1}^{c_2} |f(x)| dx + \dots + \int_{c_k}^b |f(x)| dx = \left| \int_a^{c_1} f(x)dx \right| + \left| \int_{c_1}^{c_2} f(x)dx \right| + \dots$$

1.2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

::: tip Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số liên tục $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là:

:::

Ghi nhớ

Trường hợp không cho trước hai cận $x = a, x = b$:
Ta giải phương trình hoành độ giao điểm: $f(x) = g(x) \iff f(x) - g(x) = 0$. Nếu phương trình có các nghiệm, ta lấy cận nhỏ nhất làm cận dưới $a$ và cận lớn nhất làm cận trên $b$.

2. Tính thể tích vật thể

2.1. Thể tích của vật thể bất kì (Nguyên lý Cavalieri)

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $x = a$ và $x = b$ ($a < b$).
Giả sử một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($a \le x \le b$) cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích là $S(x)$. Nếu $S(x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ thì thể tích $V$ của vật thể được tính bởi:

3. Thể tích khối tròn xoay

3.1. Khối tròn xoay quay xung quanh trục hoành $Ox$

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục $Ox$, ta được một khối tròn xoay.

Khi cắt khối tròn xoay này bởi một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x$, mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính $r = |f(x)|$.
Do đó, diện tích mặt cắt là:

::: tip Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox Thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, trục $Ox$, $x = a$, $x = b$ xung quanh trục hoành $Ox$ là:

:::

Lưu ý / Cảnh báo

Hai lỗi sai học sinh hay mắc phải nhất:

1. Quên nhân hằng số $\pi$ phía trước tích phân!
2. Quên bình phương hàm số $[f(x)]^2$ bên trong dấu tích phân!

4. Mô phỏng trực quan: Khối tròn xoay tạo thành từ phép quay

Dưới đây là mô phỏng đường cong parabol $y = \sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 4]$. Khi quay quanh trục hoành $Ox$, hình phẳng quét qua không gian tạo nên một khối tròn xoay hình paraboloid (tương tự như chóa đèn pin hoặc mũi tên lửa). Kéo thanh trượt để quan sát các lát cắt tròn bán kính $r = f(x)$:

5. Các ví dụ minh họa áp dụng chi tiết

Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giữa Parabol và đường thẳng

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P): y = x^2 - 2x$ và đường thẳng $(d): y = x$.

Lời giải:

1. Tìm hoành độ giao điểm:

   $$x^2 - 2x = x \iff x^2 - 3x = 0 \iff \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned}\right.$$

   Vậy hai cận tích phân là $a = 0$ và $b = 3$.

2. Tính diện tích:

   $$S = \int_0^3 |(x^2 - 2x) - x| \, dx = \int_0^3 |x^2 - 3x| \, dx$$

   Với mọi $x \in [0; 3]$, ta có $x^2 - 3x \le 0 \implies |x^2 - 3x| = 3x - x^2$.
   Do đó:

   $$S = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx = \left. \left( \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_0^3 = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - 0 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2} = 4.5\text{ (đvdt)}$$

Ví dụ 2: Thể tích khối tròn xoay

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \sin x$, trục hoành $Ox$ trên đoạn $[0; \pi]$ xung quanh trục $Ox$.

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay:

Dùng công thức hạ bậc $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$:

Ví dụ 3: Bài toán ứng dụng thực tế - Dung tích thùng gỗ ủ rượu vang

Một thùng gỗ ủ rượu vang có dạng một khối tròn xoay. Đường sinh bên ngoài của thùng là một cung parabol $y = -\frac{1}{100}x^2 + 40$ (với đơn vị là xentimét), giới hạn bởi $-30 \le x \le 30$. Khi quay cung parabol này quanh trục $Ox$, ta được thân thùng gỗ.
Hãy tính dung tích của thùng gỗ đó (làm tròn đến hàng đơn vị theo lít, biết $1\text{ lít} = 1000\text{ cm}^3$).

Lời giải:

Thể tích của thùng gỗ là:

Vì hàm số dưới dấu tích phân là hàm chẵn, ta có:

Thay $x = 30$:

Đổi ra lít:

6. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (10 câu có đáp án và giải chi tiết)