Bài tập Toán 12: Nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm

Tóm tắt chuyên đề: Chuyên đề Nguyên hàm môn Toán 12: bảng nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm từng phần và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )$ xác định trên $K$. Hàm số $F\left ( { x } \right. )$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$ nếu $F'\left ( { x } \right. )=f\left ( { x } \right. )$ với mọi $x$ thuộc $K$. Tổng quát, ta có: Cho $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$. Khi đó:

• Với mỗi hằng số $C$, hàm số $F\left ( { x } \right. )+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$.

• Nếu $G\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$ thì tồn tại hằng số $C$ sao cho $G\left ( { x } \right. )=F\left ( { x } \right. )+C$ với mọi $x$ thuộc $K$. Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$ đều có dạng $F\left ( { x } \right. )+C$, với $C$ là hằng số. Ta gọi $F\left ( { x } \right. )+C$,$C∈\mathbb{R}$ là họ tất cả các nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$,

• Kí hiệu

• Viết

2. Nguyên hàm một số hàm số sơ cấp cơ bản

Nguyên hàm hàm sơ cấpVới $α≠-1$, ta có: ; ;;;Với $a>0$,$a≠1$, ta có:

3. Tính chất

Cho $f\left ( { x } \right. )$,$g\left ( { x } \right. )$ là hai hàm số liên tục trên $K$.⑴ với $k$ là hằng số khác $0$⑵ ⑶

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Áp dụng định nghĩa

Cho $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$. Khi đó:

• Với mỗi hằng số $C$, hàm số $F\left ( { x } \right. )+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$.

• Nếu $G\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$ thì tồn tại hằng số $C$ sao cho $G\left ( { x } \right. )=F\left ( { x } \right. )+C\,\,∀x∈K$. Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$ đều có dạng $F\left ( { x } \right. )+C$, với $C$ là hằng số. Ta gọi $F\left ( { x } \right. )+C$,$C∈\mathbb{R}$ là họ tất cả các nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$ trên $K$,

• Kí hiệu

• Viết Phương pháp

Ví dụ 1.1. Chứng minh $F\left ( { x } \right. )=2x ^ { 3 } -5x+4$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )=6x ^ { 2 } -5$ trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

Ta có:$$F'\left ( { x } \right. )=\left ( { 2x ^ { 3 } -5x+4 } \right. ) ' = 6x ^ { 2 } -5=f\left ( { x } \right. )$$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Vậy $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 1.2. Tìm trên $\left ( { -\frac { π } { 2 };\frac { π } { 2 } } \right. )$.

Lời giải:

Vì $\left ( { \tan x } \right. )' = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } x }$ với mọi $x$ thuộc $\left ( { -\frac { π } { 2 };\frac { π } { 2 } } \right. )$

Nên $F\left ( { x } \right. )=tanx$ là một nguyên hàm của $\frac { 1 } { cos ^ { 2 } x }$ trên $\left ( { -\frac { π } { 2 };\frac { π } { 2 } } \right. )$.

Vậy trên $\left ( { -\frac { π } { 2 };\frac { π } { 2 } } \right. )$.

Ví dụ 1.3. Trong mỗi trường hợp sau, hàm số $F\left ( { x } \right. )$ có là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên khoảng tương ứng không? Vì sao?⑴$F\left ( { x } \right. )=xlnx$ và $f\left ( { x } \right. )=1+lnx$ trên khoảng $\left ( { 0\,;\,+∞ } \right. )$;⑵$F\left ( { x } \right. )=e ^ { sinx }$ và $f\left ( { x } \right. )=e ^ { cosx }$ trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

⑴$F\left ( { x } \right. )=xlnx$ và $f\left ( { x } \right. )=1+lnx$ trên khoảng $\left ( { 0\,;\,+∞ } \right. )$;

$∀x∈\left ( { 0\,;\,+∞ } \right. )$, ta có $$F'\left ( { x } \right. )=lnx+x.\frac { 1 } { x }=lnx+1=f\left ( { x } \right. )$$ nên hàm số $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên khoảng $\left ( { 0\,;\,+∞ } \right. )$.

⑵$F\left ( { x } \right. )=e ^ { sinx }$ và $f\left ( { x } \right. )=e ^ { cosx }$ trên $\mathbb{R}$.

Vì $$F'\left ( { x } \right. )=e ^ { sinx } cosx≠f\left ( { x } \right. )=e ^ { cosx }$$ nên hàm số $F\left ( { x } \right. )$ không là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên $\mathbb{R}$.

Dạng 2. Nguyên hàm hàm số lũy thừa

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ Ta có thể áp dụng lũy thừa với số mũ thực để biến đổi. Cho $a,b$ là những số thực dương,$α,β$ là những số thực bất kì. Khi đó:

• $a ^ { α } a ^ { β } =a ^ { α+β }$
• $\frac { a ^ { α } } { a ^ { β } }=a ^ { α-β }$
• $\left ( { a ^ { α } } \right. ) ^ { β } =a ^ { α.β }$
• $\left ( { ab } \right. ) ^ { α } =a ^ { α } b ^ { α }$
• $\left ( { \frac { a } { b } } \right. ) ^ { α } =\frac { a ^ { α } } { b ^ { α } }$ Phương pháp

Ví dụ 2.1. Nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } +x$ là

Lời giải:

.

Ví dụ 2.2. Nguyên hàm của các hàm số ⑴$f\left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x-2024$⑵$f\left ( { x } \right. )\,=\,\left ( { x+1 } \right. )\left ( { x+2 } \right. )\left ( { x+3 } \right. )$

Lời giải:

⑴$f\left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x-2024$

⑵$f\left ( { x } \right. )\,=\,\left ( { x+1 } \right. )\left ( { x+2 } \right. )\left ( { x+3 } \right. )$

$$f\left ( { x } \right. )\,=\,\left ( { x+1 } \right. )\left ( { x+2 } \right. )\left ( { x+3 } \right. )=\,x ^ { 3 } +\,6x ^ { 2 } \,+\,11x\,+\,6.$$

Ví dụ 2.3. Nguyên hàm của các hàm số ⑴ ⑵

Lời giải:

⑴

.

⑵

.

Dạng 3. Nguyên hàm hàm số lượng giác

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ Ta có thể áp dụng các công thức liên quan để biến đổi.01Công thức cơ bản①$sin ^ { 2 } α+{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } } ^ { 2 } α=1$②$1+tan ^ { 2 } α=\frac { 1 } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\, ^ { 2 } α },\,\,\,α≠\frac { π } { 2 }+kπ$③$1+cot ^ { 2 } α=\frac { 1 } { sin ^ { 2 } α },\,\,\,α≠kπ$④$tanα.cotα=1,\,\,\,\,α≠\frac { kπ } { 2 }$ 02Công thức cộng①$sin\left ( { a±b } \right. )=sina{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\,b±sinb{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\,a$②${ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { a±b } \right. )={ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\,a{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\,b\mp sinasinb$③$tan\left ( { a±b } \right. )=\frac { tana±tanb } { 1\mp tanatanb }$ 03Công thức nhân đôi①$sin2α=2sinα{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\,α$②${ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\,2α={ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } } ^ { 2 } α-sin ^ { 2 } α$ $=2{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } } ^ { 2 } α-1=1-2sin ^ { 2 } α$③$tan2α=\frac 2tanα 1-tan ^ 2 α ,\,\,\,$ 04Công thức hạ bậc①$sin ^ { 2 } α=\frac { 1-{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }2α } { 2 }$②${ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } } ^ { 2 } α=\frac { 1+{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }2α } { 2 }$③$tan ^ { 2 } α=\frac { 1-{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }2α } { 1+{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }2α },\,\,\,α≠\frac { π } { 2 }+kπ$ 05Công thức tích thành tổng①$cos\,a{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\,b=\frac { 1 } { 2 }\left[ cos\left ( { a-b } \right. )+cos\left ( { a+b } \right. ) \right]$②$sinasinb=\frac { 1 } { 2 }\left[ cos\left ( { a-b } \right. )-cos\left ( { a+b } \right. ) \right]$③$sinacos\,b=\frac { 1 } { 2 }\left[ sin\left ( { a+b } \right. )+sin\left ( { a-b } \right. ) \right]$④$cos\,asinb=\frac { 1 } { 2 }\left[ sin\left ( { a+b } \right. )-sin\left ( { a-b } \right. ) \right]$ Phương pháp

Ví dụ 3.1. Nguyên hàm của các hàm số ⑴$f\left ( { x } \right. )=1+sinx$⑵$f\left ( { x } \right. )=2sinx+3x$⑶$f\left ( { x } \right. )=cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 }$⑷$f\left ( { x } \right. )=1-\frac { 1 } { cos ^ { 2 } x }$

Lời giải:

⑴$f\left ( { x } \right. )=1+sinx$

.

⑵$f\left ( { x } \right. )=2sinx+3x$

⑶$f\left ( { x } \right. )=cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 }$

Ta có:

⑷$f\left ( { x } \right. )=1-\frac { 1 } { cos ^ { 2 } x }$

.

Ví dụ 3.2. Tìm nguyên hàm

Lời giải:

.

Ví dụ 3.3. Nguyên hàm của các hàm số ⑴ ⑵

Lời giải:

⑴

⑵

.

Dạng 4. Nguyên hàm hàm số mũ

⑴ ⑵ Ta có thể áp dụng các công thức liên quan để biến đổi:Cho $a,b$ là những số thực dương,$α,β$ là những số thực bất kì. Khi đó:

• $a ^ { α } a ^ { β } =a ^ { α+β }$
• $\frac { a ^ { α } } { a ^ { β } }=a ^ { α-β }$
• $\left ( { a ^ { α } } \right. ) ^ { β } =a ^ { α.β }$
• $\left ( { ab } \right. ) ^ { α } =a ^ { α } b ^ { α }$
• $\left ( { \frac { a } { b } } \right. ) ^ { α } =\frac { a ^ { α } } { b ^ { α } }$ Phương pháp

Ví dụ 4.1. Nguyên hàm của các hàm số ⑴$f\left ( { x } \right. )={ \rm{ e } } ^ { 2x-1 }$⑵$f\left ( { x } \right. )=3 ^ { -x }$⑶$f\left ( { x } \right. )=7 ^ { x } .2 ^ { x+2 }$

Lời giải:

⑴$f\left ( { x } \right. )={ \rm{ e } } ^ { 2x-1 }$

⑵$f\left ( { x } \right. )=3 ^ { -x }$

⑶$f\left ( { x } \right. )=7 ^ { x } .2 ^ { x+2 }$

.

Ví dụ 4.2. Nguyên hàm của các hàm số ⑴ ⑵

Lời giải:

⑴

Ta có: .

⑵

Ta có: .

Dạng 5. Nguyên hàm có điều kiện

Bài toán: Tìm nguyên hàm $F\left ( { x } \right. )$ của $f\left ( { x } \right. )$ thỏa $F\left ( { a } \right. )=b$

• Bước 1: Dựa vào bảng nguyên hàm, tính chất nguyên hàm, các phương pháp biến đổi.
• Bước 2: Dựa vào điều kiện của giả thiết:$F\left ( { a } \right. )=b$ để tìm $C$.
• Bước 3: Kết luận. Phương pháp

Ví dụ 5.1. Cho hàm số $f'\left ( { x } \right. )=3x ^ { 2 } .$ Tìm nguyên hàm $f\left ( { x } \right. )$ của $f'\left ( { x } \right. )$ thỏa $f\left ( { 0 } \right. )=1.$

Lời giải:

Ta có

Mà $f\left ( { 0 } \right. )=1⇒0 ^ { 3 } +C=1⇔C=1$. Vậy $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } +C.$

Ví dụ 5.2. Tìm nguyên hàm $F\left ( { x } \right. )$ của hàm số $f\left ( { x } \right. )=sinx+cosx$ thoả mãn $F\left ( { \frac { π } { 2 } } \right. )=2$.

Lời giải:

Có

Do $$F\left ( { \frac { π } { 2 } } \right. )=-cos\frac { π } { 2 }+sin\frac { π } { 2 }+C=2⇔1+C=2⇔C=1$$ $⇒F\left ( { x } \right. )=-cosx+sinx+1$.

Ví dụ 5.3. Cho $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )=e ^ { x } +2x$ thỏa mãn $F\left ( { 0 } \right. )=\frac { 3 } { 2 }$. Tìm $F\left ( { x } \right. )$

Lời giải:

Ta có

Theo bài ra ta có:$$F\left ( { 0 } \right. )=1+C=\frac { 3 } { 2 }⇒C=\frac { 1 } { 2 }⇒F\left ( { x } \right. )=e ^ { x } +x ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }.$$

Ví dụ 5.4. Cho $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { 2x-1 },x≠\frac { 1 } { 2 }$ và $F\left ( { 1 } \right. )=0.$ Tính $F\left ( { 5 } \right. ).$

Lời giải:

Ta có

Mà $$F\left ( { 1 } \right. )=0⇔\frac { 1 } { 2 }ln\left | { 2.1-1 } \right. |+C=0⇔C=0$$

$⇒F\left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { 2 }ln\left | { 2x-1 } \right. |$

Vậy $$F\left ( { 5 } \right. )=\frac { 1 } { 2 }ln\left | { 2.5-1 } \right. |=\frac { 1 } { 2 }ln9=ln3.$$

Ví dụ 5.5. Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ xác định trên khoảng $\left ( { 0;+∞ } \right. )$. Biết rằng $f'\left ( { x } \right. )=2x+\frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ với mọi $x∈\left ( { 0;+∞ } \right. )$ và $f\left ( { 1 } \right. )=1$. Tính giá trị $f\left ( { 4 } \right. )$.

Lời giải:

Với mọi $x∈\left ( { 0;+∞ } \right. )$, ta có:

.

Vì $$f\left ( { 1 } \right. )=1⇒C=1⇒f\left ( { x } \right. )=x ^ { 2 } -\frac { 1 } { x }+1⇒f\left ( { 4 } \right. )=16-\frac { 1 } { 4 }+1=\frac { 67 } { 4 }$$

Ví dụ 5.6. Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ có đạo hàm $f'\left ( { x } \right. )=12x ^ { 2 } +2$ với mọi $x∈\mathbb{R}$ và $f\left ( { 1 } \right. )=3$. Biết $F\left ( { x } \right. )$ là nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$ thoả mãn $F\left ( { 0 } \right. )=2$. Tính giá trị $F\left ( { 1 } \right. )$.

Lời giải:

Với mọi $x∈\mathbb{R}$, ta có:

.

Vì $$f\left ( { 1 } \right. )=3⇒C_{ 1 } =-3⇒f\left ( { x } \right. )=4x ^ { 3 } +2x-3.$$

Lại có:

$$F\left ( { 0 } \right. )=2⇒C_{ 2 } =2⇒F\left ( { x } \right. )=x ^ { 4 } +x ^ { 2 } -3x+2⇒F\left ( { 1 } \right. )=1.$$

Dạng 6. Bài toán thực tế (liên quan đến vận tốc, gia tốc, quãng đường,…)

Bài toán: Tìm nguyên hàm $F\left ( { x } \right. )$ của $f\left ( { x } \right. )$ thỏa $F\left ( { a } \right. )=b$

• Bước 1: Xét mối liên hệ giữa các đại lượng

• Xét mối quan hệ giữa các đại lượng vận tốc $v\left ( { t } \right. )$, quãng đường $s\left ( { t } \right. )$ và thời gian $t$+ Đạo hàm của quãng đường là vận tốc:$s'\left ( { t } \right. )=v\left ( { t } \right. )$+ Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường:

• Xét mối quan hệ giữa các đại lượng vận tốc $v\left ( { t } \right. )$, gia tốc $a\left ( { t } \right. )$ và thời gian $t$+ Đạo hàm của vận tốc là gia tốc:$v'\left ( { t } \right. )=a\left ( { t } \right. )$+ Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc:

• Bước 2: Dựa vào điều kiện của giả thiết để tìm đại lượng yêu cầu.

• Bước 3: Kết luận. Phương pháp

Ví dụ 6.1. Một ô tô đang chạy với vận tốc $19\,\,{ \rm{ m } }{ \rm{ / } }{ \rm{ s } }$ thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ $v\left ( { t } \right. )=19-2t\,\,\left ( { { \rm{ m } }{ \rm{ / } }{ \rm{ s } } } \right. ).$ Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có

Ta có $s\left ( { 0 } \right. )=0⇔19.0-0 ^ { 2 } +C=0⇔C=0$

Nên $s\left ( { t } \right. )=19t-t ^ { 2 }$

Vậy sau 5 giây thì $t=5,$ quãng đường ô tô đi được là $s\left ( { 5 } \right. )=19.5-5 ^ { 2 } =70\,\,m.$

Ví dụ 6.2. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t=0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v\left ( { t } \right. )=160-9,8t\,\,\left ( { m{ \rm{ / } }s } \right. )$. Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):⑴ Sau $t=5$ giây.⑵ Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Gọi $h\left ( { t } \right. )$ là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau $t$ giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó .

Do $h\left ( { 0 } \right. )=0$ nên $C=0$ $⇒h\left ( { t } \right. )=-4,9t ^ { 2 } +160t\,\,\left ( { m } \right. )$.

⑴ Sau $t=5$ giây.

Độ cao của viên đạn sau $5$ giây là $$h\left ( { 5 } \right. )=-4,9.5 ^ { 2 } +160.5=677,5\,\,\left ( { m } \right. ).$$

⑵ Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $$h=-\frac { \Delta } { 4a }=\frac { 64000 } { 49 }≈1306,1\,\,\left ( { m } \right. )$$ khi $t=-\frac { b } { 2a }=\frac { 800 } { 49 }$ giây.

III. Bài tập trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Tự luyện tương tác)

Học sinh làm bài trực tiếp trên hệ thống để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết tức thì.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện bổ sung (Có lời giải chi tiết)

Câu 11: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=2x+e ^ { x }$. Tìm một nguyên hàm $F\left ( { x } \right. )$ của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ thoả mãn $F\left ( { 0 } \right. )=2024$.

• A.$F\left ( { x } \right. )=x ^ { 2 } +e ^ { x } +2023$.B.$F\left ( { x } \right. )=x ^ { 2 } +e ^ { x } -2023$.
• C.$F\left ( { x } \right. )=x ^ { 2 } +e ^ { x } +2022$.D.$F\left ( { x } \right. )=x ^ { 2 } +e ^ { x } -2024$.

Câu 12: Hàm số $F\left ( { x } \right. )=\sqrt[3] { x }+2\sqrt{ x }+x\sqrt{ x }$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

• A.$f_{ 1 } \left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { 3\sqrt[3] { x ^ { 2 } } }+\frac { 1 } { \sqrt{ x } }+\frac { 3 } { 2 }\sqrt{ x }$.B.$f_{ 3 } \left ( { x } \right. )=\frac { \sqrt[3] { x ^ { 2 } } } { 3 }+\frac { 1 } { \sqrt{ x } }+\frac { 3 } { 2 }\sqrt{ x }$.
• C.$f_{ 2 } \left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { 3\sqrt[3] { x ^ { 2 } } }+\frac { 1 } { \sqrt{ x } }+\frac { 3 } { 2\sqrt{ x } }$.D.$f_{ 2 } \left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { 3\sqrt[3] { x ^ { 2 } } }+\frac { 1 } { 2 }\sqrt{ x }+\frac { 3 } { 2\sqrt{ x } }$.

Câu 13: Gọi $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$, với $f\left ( { x } \right. )=\frac { x\left ( { x-3 } \right. ) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } }$, biết $F\left ( { 1 } \right. )=\frac { 5 } { 2 }$. Tính $F\left ( { 2 } \right. )$.

• A.$F\left ( { 2 } \right. )=2+9ln2$.B.$F\left ( { 2 } \right. )=-2+9ln2$.
• C.$F\left ( { 2 } \right. )=1+9ln2$.D.$F\left ( { 2 } \right. )=7$.

Câu 14: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=3cosx-\frac { 2 } { x }+\frac { 4 } { sin ^ { 2 } x }$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

• A. .B. .
• C. .D. .

Câu 15: Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ có đồ thị là $\left ( { C } \right. )$. Xét điểm $M\left ( { x;f\left ( { x } \right. ) } \right. )$ thay đổi trên $\left ( { C } \right. )$. Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left ( { C } \right. )$ tại $M$ là $k_{ M } =\left ( { x+2 } \right. ) ^ { 2 }$ và điểm $A\left ( { 0;1 } \right. )$ thuộc đồ thị $\left ( { C } \right. )$. Tìm biểu thức $f\left ( { x } \right. )$.

• A.$f\left ( { x } \right. )=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } +4x$.B.$f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } +2x ^ { 2 } +4x+1$.
• C.$f\left ( { x } \right. )=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }-2x ^ { 2 } +4x$.D.$f\left ( { x } \right. )=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } +4x+1$.

IV. Bài tập trắc nghiệm Đúng / Sai (Cấu trúc mới GDPT 2018)

Thí sinh trả lời từ câu hỏi dưới đây. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=ax ^ { 3 } +bx$, với $a,b∈\mathbb{R}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Câu 2: Gọi hàm số $F\left ( { x } \right. )=\frac { 2x ^ { 2 } -1 } { x }$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$, với $x≠0$. Khi đó:

Câu 3: Cho hàm số . Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

Câu 4: Cho và . Mỗi khẳng định dưới đây đúng hay sai?

Câu 5: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=4cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 }$. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?