Bài 10. Phương sai và Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thực tế, khi đánh giá chất lượng sản phẩm trong một dây chuyền công nghiệp, đo lường mức độ rủi ro của danh mục đầu tư tài chính, hay so sánh phong độ thi đấu của hai vận động viên, việc chỉ sử dụng số trung bình ($\bar{x}$) hay trung vị ($M_e$) thường dẫn đến những kết luận thiếu chính xác.

Ví dụ: Hai cổ phiếu A và B đều mang lại mức sinh lời trung bình $12\%/\text{năm}$. Nhưng cổ phiếu A luôn dao động ổn định trong khoảng $10\% - 14\%$, trong khi cổ phiếu B năm được $45\%$ năm lại lỗ nặng $-20\%$. Cổ phiếu nào an toàn hơn? Rõ ràng là A! Để định lượng chính xác mức độ biến động và độ rủi ro đó xung quanh giá trị trung bình, các nhà thống kê sử dụng hai công cụ quyền lực nhất: Phương sai ($s^2$) và Độ lệch chuẩn ($s$).

1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm:

Cỡ mẫu là $n = m_1 + m_2 + \dots + m_k$.

::: tip Công thức số trung bình Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $\bar{x}$, được tính theo công thức:

:::

Ý nghĩa: Số trung bình xấp xỉ cho giá trị trung bình thực sự của tập dữ liệu gốc, đại diện cho mức độ phổ quát của cả mẫu.

2. Phương sai và Độ lệch chuẩn

2.1. Định nghĩa và hai công thức tính Phương sai

::: tip Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm Phương sai, kí hiệu là $s^2$, là số đo mức độ phân tán của các số liệu xung quanh số trung bình:

1. Công thức theo định nghĩa:

2. Công thức biến đổi rút gọn (thường dùng khi bấm máy tính cầm tay):

:::

2.2. Định nghĩa Độ lệch chuẩn

Vì trong công thức phương sai, các hiệu $(c_i - \bar{x})$ bị nâng lên bình phương, dẫn đến đơn vị đo của phương sai là bình phương của đơn vị mẫu (ví dụ: $\text{cm}^2$, triệu đồng$^2$, giây$^2$), không trực quan khi so sánh với số trung bình. Do đó, người ta khai căn bậc hai:

::: tip Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $s$, là căn bậc hai số học của phương sai:

:::

Ưu điểm lớn nhất của độ lệch chuẩn: Nó có cùng đơn vị đo với số liệu gốc, giúp ta hình dung trực tiếp khoảng sai lệch trung bình của từng giá trị so với số trung bình $\bar{x}$.

3. Ý nghĩa thực tiễn & So sánh độ ổn định

1. Đo mức độ phân tán: Cả phương sai và độ lệch chuẩn đều dùng để đo độ biến thiên, mức độ đồng đều của mẫu số liệu.
2. Nguyên tắc so sánh tính ổn định:
   • Khi so sánh hai mẫu số liệu cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau:
     • Mẫu nào có phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) nhỏ hơn thì các giá trị tập trung sát quanh giá trị trung bình hơn $\implies$ đồng đều hơn, độ ổn định cao hơn, mức độ rủi ro thấp hơn.
     • Mẫu nào có phương sai lớn hơn thì số liệu phân tán rộng, biến động mạnh $\implies$ kém ổn định hơn, rủi ro cao hơn.
3. Quy tắc thực nghiệm $3\sigma$ (Phân bố chuẩn):
   • Khoảng $[\bar{x} - s; \bar{x} + s]$ thường chứa xấp xỉ $68.3\%$ số liệu.
   • Khoảng $[\bar{x} - 2s; \bar{x} + 2s]$ chứa xấp xỉ $95.4\%$ số liệu.
   • Khoảng $[\bar{x} - 3s; \bar{x} + 3s]$ chứa hầu như toàn bộ ($99.7\%$) số liệu.

4. Mô phỏng trực quan: Phân bố chuẩn & Tác động của Độ lệch chuẩn

Dưới đây là mô phỏng đường cong mật độ phân bố chuẩn (Gaussian Bell Curve). Hãy thử kéo thanh trượt để thay đổi Độ lệch chuẩn $s$ ($\sigma$) và Số trung bình $\bar{x}$ ($\mu$) để quan sát hình dạng đồ thị thay đổi ra sao:

5. Các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của một mẫu ghép nhóm

Một công ty vận tải thống kê thời gian giao hàng (đơn vị: giờ) của 50 đơn hàng nội thành trong một ngày được kết quả như sau:

a) Tính số trung bình thời gian giao hàng $\bar{x}$.
b) Tính phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s$ của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải chi tiết:

Lập bảng tính phụ trợ gồm giá trị đại diện $c_i$, các tích $m_i c_i$ và $m_i c_i^2$:

a) Số trung bình:

b) Phương sai và độ lệch chuẩn:

• Áp dụng công thức rút gọn:$$s^2 = \frac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^5 m_i c_i^2\right) - \bar{x}^2 = \frac{1808}{50} - (5.6)^2 = 36.16 - 31.36 = 4.8$$
• Độ lệch chuẩn:$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{4.8} \approx 2.19 \text{ (giờ)}$$

Ví dụ 2: So sánh độ ổn định giữa hai đối tượng

Bảng thống kê điểm kiểm tra định kì môn Toán của học sinh hai lớp 12A1 và 12A2 (mỗi lớp 40 học sinh) được cho như sau:

Hỏi điểm số của học sinh lớp nào đồng đều hơn?

Lời giải chi tiết:

1. Xét lớp 12A1:

• Cỡ mẫu: $n_1 = 8 + 24 + 8 = 40$.
• Điểm trung bình:$$\bar{x}_1 = \frac{8 \cdot 5 + 24 \cdot 7 + 8 \cdot 9}{40} = \frac{40 + 168 + 72}{40} = \frac{280}{40} = 7.0$$
• Phương sai:$$s_1^2 = \frac{8 \cdot 5^2 + 24 \cdot 7^2 + 8 \cdot 9^2}{40} - 7.0^2 = \frac{8 \cdot 25 + 24 \cdot 49 + 8 \cdot 81}{40} - 49 = \frac{200 + 1176 + 648}{40} - 49 = 50.6 - 49 = 1.6$$
• Độ lệch chuẩn: $s_1 = \sqrt{1.6} \approx 1.265$.

2. Xét lớp 12A2:

• Cỡ mẫu: $n_2 = 14 + 12 + 14 = 40$.
• Điểm trung bình:$$\bar{x}_2 = \frac{14 \cdot 5 + 12 \cdot 7 + 14 \cdot 9}{40} = \frac{70 + 84 + 126}{40} = \frac{280}{40} = 7.0$$
• Phương sai:$$s_2^2 = \frac{14 \cdot 5^2 + 12 \cdot 7^2 + 14 \cdot 9^2}{40} - 7.0^2 = \frac{350 + 588 + 1134}{40} - 49 = \frac{2072}{40} - 49 = 51.8 - 49 = 2.8$$
• Độ lệch chuẩn: $s_2 = \sqrt{2.8} \approx 1.673$.

Kết luận:

• Cả hai lớp có cùng điểm trung bình $\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = 7.0$.
• Tuy nhiên, phương sai của lớp 12A1 bé hơn hẳn lớp 12A2 ($s_1^2 = 1.6 < s_2^2 = 2.8$, tức $s_1 < s_2$).
• Do đó, học sinh lớp 12A1 có lực học đồng đều hơn, điểm số tập trung quanh mức $7.0$ nhiều hơn so với lớp 12A2 (lớp 12A2 bị phân hóa mạnh về hai phía điểm kém và điểm giỏi).

6. Kỹ năng bấm máy tính cầm tay (Casio fx-580VN X & fx-880BTG)

Để tính nhanh $\bar{x}$, $s^2$, $s$ trên Casio fx-580VN X:

1. Bật cột tần số: Bấm SHIFT $\to$ MENU $\to$ Cuộn xuống chọn Thống kê (Statistics) $\to$ Chọn Tần số (Frequency): On.
2. Chọn chế độ thống kê 1 biến: Bấm MENU $\to$ 6 (Statistics) $\to$ 1 (1-Variable).
3. Nhập dữ liệu:
   • Cột $x$: Nhập các giá trị đại diện $c_i$.
   • Cột $FREQ$: Nhập các tần số tương ứng $m_i$.
4. Xuất kết quả: Bấm OPTN $\to$ chọn 3 (1-Variable Calc).
   • Máy sẽ hiển thị ngay: $\bar{x}$ (số trung bình), $\sigma_x$ hoặc $s_x$ (độ lệch chuẩn), $\sigma_x^2$ hoặc $s_x^2$ (phương sai). (Lưu ý: Trong chương trình THPT hiện hành, ta lấy kết quả của $\sigma_x$ làm độ lệch chuẩn $s$).

7. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (10 câu có đáp án và giải chi tiết)