Bài 9. Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thời đại bùng nổ dữ liệu (Big Data), hàng triệu con số được thu thập mỗi giây: từ chiều cao của hàng vạn học sinh, thu nhập của người lao động, cho đến tuổi thọ của các linh kiện điện tử. Để phân tích một lượng dữ liệu khổng lồ như vậy, người ta không thể liệt kê từng số liệu riêng lẻ mà bắt buộc phải gom chúng thành từng khoảng – gọi là mẫu số liệu ghép nhóm.

Ở lớp 11, chúng ta đã biết cách đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu (như số trung bình, trung vị, mốt). Tuy nhiên, chỉ biết giá trị trung bình là chưa đủ! Ví dụ: hai lớp học cùng có điểm trung bình môn Toán là $7.0$, nhưng lớp A điểm phân bố rất đều từ $6.5$ đến $7.5$, trong khi lớp B có nhiều bạn bị $2.0$ và cũng có nhiều bạn được $10.0$. Để đo mức độ chênh lệch, phân tán hay độ ổn định của dữ liệu, chúng ta cần đến các số đặc trưng mới: Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị.

I. Mẫu số liệu ghép nhóm và các đại lượng cơ bản

Một mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:

Trong đó:

• $n = m_1 + m_2 + \dots + m_k$ là cỡ mẫu (tổng số lượng quan sát).
• Mỗi nhóm $[a_i; a_{i+1})$ có độ dài nhóm là $h = a_{i+1} - a_i$.
• Giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$ là trung điểm của nửa khoảng đó:$$c_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$$
• Tần số tích lũy của nhóm $i$ (ký hiệu $C_i = m_1 + m_2 + \dots + m_i$) là số lượng quan sát có giá trị nhỏ hơn $a_{i+1}$.

II. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Công thức tính

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là $R$, là hiệu giữa đầu mút trên của nhóm cuối cùng và đầu mút dưới của nhóm đầu tiên:

2. Ý nghĩa thống kê

• Khoảng biến thiên $R$ phản ánh độ dàn trải hay độ chênh lệch tối đa giữa các giá trị trong mẫu số liệu.
• Ưu điểm: Tính toán cực kỳ đơn giản, nhanh chóng.
• Nhược điểm: Khoảng biến thiên chỉ phụ thuộc vào hai nhóm biên ngoài cùng, do đó rất nhạy cảm và dễ bị bóp méo bởi các giá trị bất thường (giá trị dị biệt/ngoại lai).

Ghi nhớ

Để khắc phục nhược điểm của khoảng biến thiên, người ta sử dụng Khoảng tứ phân vị, một đại lượng tập trung vào $50\%$ dữ liệu cốt lõi ở giữa và loại bỏ hoàn toàn ảnh hưởng của các giá trị cực đoan ở hai đầu mút!

III. Tứ phân vị và Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Tứ phân vị gồm ba giá trị $Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 4 phần bằng nhau, mỗi phần chứa xấp xỉ $25\%$ số lượng quan sát.

1. Công thức xác định Tứ phân vị thứ hai ($Q_2$ - Trung vị $M_e$)

• Tìm nhóm chứa $Q_2$: Giả sử đó là nhóm $[a_p; a_{p+1})$ chứa giá trị thứ $\frac{n}{2}$. Tức là:$$C_{p-1} < \frac{n}{2} \le C_p$$
• Khi đó, trung vị $Q_2$ được tính bằng công thức nội suy:$$\mathbf{Q_2 = a_p + \frac{\frac{n}{2} - C_{p-1}}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)}$$Trong đó $C_{p-1} = m_1 + m_2 + \dots + m_{p-1}$ là tần số tích lũy trước nhóm $p$, và $m_p$ là tần số của nhóm $p$.

2. Công thức xác định Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$)

• Tìm nhóm chứa $Q_1$: Giả sử đó là nhóm $[a_p; a_{p+1})$ chứa giá trị thứ $\frac{n}{4}$. Tức là:$$C_{p-1} < \frac{n}{4} \le C_p$$
• Khi đó, $Q_1$ được tính bởi:$$\mathbf{Q_1 = a_p + \frac{\frac{n}{4} - C_{p-1}}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)}$$

3. Công thức xác định Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$)

• Tìm nhóm chứa $Q_3$: Giả sử đó là nhóm $[a_p; a_{p+1})$ chứa giá trị thứ $\frac{3n}{4}$. Tức là:$$C_{p-1} < \frac{3n}{4} \le C_p$$
• Khi đó, $Q_3$ được tính bởi:$$\mathbf{Q_3 = a_p + \frac{\frac{3n}{4} - C_{p-1}}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)}$$

4. Khoảng tứ phân vị ($\Delta_Q$) và Giá trị ngoại lai

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là $\Delta_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất:

Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị:

• $\Delta_Q$ đo độ phân tán của $50\%$ số liệu chính giữa của mẫu dữ liệu.
• $\Delta_Q$ càng nhỏ chứng tỏ $50\%$ số liệu trung tâm càng tập trung sát nhau quanh trung vị; ngược lại $\Delta_Q$ lớn cho thấy số liệu trải rộng.
• $\Delta_Q$ không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (outliers).

Tiêu chí nhận diện giá trị ngoại lai (Outliers):

Một giá trị $x$ trong mẫu số liệu được coi là giá trị ngoại lai (dị biệt) nếu nó nằm ngoài khoảng:

tức là:

Công cụ trực quan: Biểu đồ hộp tương tác (Box Plot & Tứ phân vị)

Hãy di chuyển thanh trượt để thay đổi độ phân tán của mẫu dữ liệu và quan sát biểu đồ hộp (Box Plot), các mốc $Q_1, Q_2, Q_3$ cùng khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ biến đổi trực quan:

IV. Các dạng toán trọng tâm có lời giải chi tiết

Dạng 1: Tính khoảng biến thiên và các tứ phân vị

Bài toán 1: Thời gian hoàn thành một bài kiểm tra trắc nghiệm Toán (đơn vị: phút) của $40$ học sinh lớp 12 được ghi lại trong bảng tần số ghép nhóm sau:

1. Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.
2. Tìm các tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$.

Lời giải:

1. Khoảng biến thiên:

   • Nhóm đầu tiên là $[15; 20) \implies a_1 = 15$.
   • Nhóm cuối cùng là $[35; 40) \implies a_6 = 40$.
   • Khoảng biến thiên là:$$\mathbf{R = a_6 - a_1 = 40 - 15 = 25\text{ (phút)}}$$

2. Tìm các tứ phân vị:

   • Cỡ mẫu: $n = 4 + 10 + 14 + 8 + 4 = 40$.

   • Bảng tần số tích lũy:

     • Nhóm 1 $[15; 20)$: $C_1 = 4$.
     • Nhóm 2 $[20; 25)$: $C_2 = 4 + 10 = 14$.
     • Nhóm 3 $[25; 30)$: $C_3 = 14 + 14 = 28$.
     • Nhóm 4 $[30; 35)$: $C_4 = 28 + 8 = 36$.
     • Nhóm 5 $[35; 40)$: $C_5 = 40$.

   • Tính $Q_2$ (Trung vị):

     • Ta có $\frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
     • Vì $C_2 = 14 < 20 \le C_3 = 28$ nên nhóm chứa $Q_2$ là nhóm 3: $[25; 30)$.
     • Áp dụng công thức với $a_3 = 25, C_2 = 14, m_3 = 14, h = 5$:$$\mathbf{Q_2 = 25 + \frac{20 - 14}{14} \cdot 5 = 25 + \frac{6 \cdot 5}{14} = 25 + \frac{15}{7} \approx 27.14\text{ (phút)}}$$

   • Tính $Q_1$:

     • Ta có $\frac{n}{4} = \frac{40}{4} = 10$.
     • Vì $C_1 = 4 < 10 \le C_2 = 14$ nên nhóm chứa $Q_1$ là nhóm 2: $[20; 25)$.
     • Áp dụng công thức với $a_2 = 20, C_1 = 4, m_2 = 10, h = 5$:$$\mathbf{Q_1 = 20 + \frac{10 - 4}{10} \cdot 5 = 20 + \frac{6 \cdot 5}{10} = 20 + 3 = 23.00\text{ (phút)}}$$

   • Tính $Q_3$:

     • Ta có $\frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 40}{4} = 30$.
     • Vì $C_3 = 28 < 30 \le C_4 = 36$ nên nhóm chứa $Q_3$ là nhóm 4: $[30; 35)$.
     • Áp dụng công thức với $a_4 = 30, C_3 = 28, m_4 = 8, h = 5$:$$\mathbf{Q_3 = 30 + \frac{30 - 28}{8} \cdot 5 = 30 + \frac{2 \cdot 5}{8} = 30 + 1.25 = 31.25\text{ (phút)}}$$

   • Khoảng tứ phân vị:

     $$\mathbf{\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 31.25 - 23.00 = 8.25\text{ (phút)}}$$

     Ý nghĩa: $50\%$ số học sinh có thời gian làm bài ở mức trung bình tập trung trong khoảng từ $23.00$ đến $31.25$ phút, với độ chênh lệch là $8.25$ phút.

Dạng 2: So sánh độ phân tán giữa hai mẫu số liệu ghép nhóm

Bài toán 2: Để đánh giá mức độ ổn định về thời gian tự học mỗi ngày của học sinh hai lớp 12A và 12B, nhà trường thu thập số liệu (đơn vị: giờ) và tính được kết quả sau:

• Lớp 12A: $Q_1 = 1.8\text{ h}$, $Q_3 = 3.2\text{ h}$, $R = 4.0\text{ h}$.
• Lớp 12B: $Q_1 = 2.1\text{ h}$, $Q_3 = 2.8\text{ h}$, $R = 4.5\text{ h}$.

Hỏi thời gian tự học của học sinh lớp nào có độ phân tán đồng đều hơn nếu xét trên $50\%$ số học sinh ở nhóm giữa?

Lời giải:

• Khoảng tứ phân vị của lớp 12A:$$\Delta_{Q(A)} = 3.2 - 1.8 = 1.4\text{ (giờ)}$$
• Khoảng tứ phân vị của lớp 12B:$$\Delta_{Q(B)} = 2.8 - 2.1 = 0.7\text{ (giờ)}$$
• So sánh: Vì $\Delta_{Q(B)} = 0.7 < \Delta_{Q(A)} = 1.4$, nên xét trên $50\%$ số học sinh có thời gian tự học ở mức trung bình, thời gian tự học của học sinh lớp 12B đồng đều và tập trung hơn nhiều so với lớp 12A (dù khoảng biến thiên $R$ của lớp B lớn hơn do có vài bạn học rất ít hoặc rất nhiều).

V. Trắc nghiệm tự luyện củng cố kiến thức