Bài tập cuối chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Chúc mừng các em đã hoàn thành toàn bộ nội dung của Chương III: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm (Chương trình Toán 11 GDPT 2018 — Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)!

Đây là một chương kiến thức có tính ứng dụng thực tiễn cao nhất trong toàn bộ chương trình Toán học phổ thông. Việc làm chủ các chỉ số này không chỉ giúp các em giành điểm số tối đa trong các bài kiểm tra định kỳ và kỳ thi Tốt nghiệp THPT, mà còn là hành trang phân tích dữ liệu vô cùng quan trọng cho mọi ngành nghề tương lai: từ kinh tế, tài chính, y sinh học cho đến trí tuệ nhân tạo và khoa học dữ liệu!

I. Bảng Vàng Công thức Toàn chương

Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm $[a_i; a_{i+1})$ với tần số tương ứng $m_i$ ($i = 1, 2, \dots, k$), kích thước mẫu $n = \sum_{i=1}^k m_i$:

II. Phân loại và Phương pháp giải 5 Dạng toán trọng tâm

Dạng 1: Tính số trung bình, trung vị và mốt của một mẫu số liệu

Bài toán 1:

Khảo sát thời gian di chuyển từ nhà đến trường (tính bằng phút) của $60$ học sinh THPT được ghi nhận trong bảng sau:

a) Tính thời gian di chuyển trung bình ($\bar{x}$) của học sinh.
b) Tìm trung vị ($M_e$).
c) Tìm mốt ($M_o$).

Lời giải chi tiết:

• Cỡ mẫu: $n = 8 + 20 + 18 + 10 + 4 = 60$.
• Độ dài mỗi nhóm là $L = 10$.
• Giá trị đại diện $c_i$:
  • $c_1 = 15, c_2 = 25, c_3 = 35, c_4 = 45, c_5 = 55$.

a) Tính số trung bình:

b) Tìm trung vị:

• $\frac{n}{2} = 30$.
• Tần số tích lũy: $cf_1 = 8, cf_2 = 28, cf_3 = 46$.
• Do $cf_2 = 28 < 30 \le cf_3 = 46$, nhóm chứa trung vị là nhóm 3: $[30; 40)$.
• $a_3 = 30, L = 10, m_3 = 18, C = cf_2 = 28$.$$M_e = 30 + \frac{30 - 28}{18} \times 10 = 30 + \frac{2}{18} \times 10 = 30 + \frac{10}{9} \approx 31.11\text{ (phút)}$$

c) Tìm mốt:

• Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm 2: $[20; 30)$ (vì $m_2 = 20 > 18 > 10 > 8 > 4$).
• $a_2 = 20, L = 10, m_2 = 20, m_1 = 8, m_3 = 18$.$$M_o = 20 + \frac{20 - 8}{(20 - 8) + (20 - 18)} \times 10 = 20 + \frac{12}{12 + 2} \times 10 = 20 + \frac{120}{14} \approx 20 + 8.57 = 28.57\text{ (phút)}$$

Dạng 2: Tính các tứ phân vị và Khoảng tứ phân vị

Bài toán 2:

Từ bảng số liệu của Bài toán 1, hãy: a) Tính các tứ phân vị $Q_1$ và $Q_3$.
b) Tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ và nêu ý nghĩa.

Lời giải chi tiết:

a) Tính $Q_1$:

• $\frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15$.
• Tần số tích lũy: $cf_1 = 8 < 15 \le cf_2 = 28$. Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm 2: $[20; 30)$.
• $a_2 = 20, L = 10, m_2 = 20, C = cf_1 = 8$.$$Q_1 = 20 + \frac{15 - 8}{20} \times 10 = 20 + \frac{7}{20} \times 10 = 20 + 3.5 = 23.5\text{ (phút)}$$

Tính $Q_3$:

• $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 60}{4} = 45$.
• Tần số tích lũy: $cf_2 = 28 < 45 \le cf_3 = 46$. Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm 3: $[30; 40)$.
• $a_3 = 30, L = 10, m_3 = 18, C' = cf_2 = 28$.$$Q_3 = 30 + \frac{45 - 28}{18} \times 10 = 30 + \frac{17}{18} \times 10 = 30 + \frac{170}{18} \approx 30 + 9.44 = 39.44\text{ (phút)}$$

b) Khoảng tứ phân vị:

Ý nghĩa: Độ phân tán của $50\%$ số học sinh có thời gian đi lại ở mức trung bình nằm trong khoảng chênh lệch là $15.94\text{ phút}$.

Dạng 3: So sánh hai mẫu số liệu ghép nhóm

Bài toán 3:

Để đánh giá độ chính xác của hai máy bay không người lái (drone) nông nghiệp, người ta tiến hành phun thuốc trừ sâu thử nghiệm và đo sai số lệch tâm mục tiêu (tính bằng centimét). Kết quả ở $50$ lần bay thử nghiệm của mỗi drone được ghi lại như sau:

Dựa vào số trung bình và trung vị, hãy cho biết Drone nào hoạt động chính xác hơn?

Lời giải chi tiết:

Giá trị đại diện: $c_1 = 5, c_2 = 15, c_3 = 25, c_4 = 35, c_5 = 45$. Cỡ mẫu $n = 50$.

1. Tính toán cho Drone A:

• Số trung bình:$$\bar{x}_A = \frac{15 \times 5 + 20 \times 15 + 10 \times 25 + 4 \times 35 + 1 \times 45}{50} = \frac{75 + 300 + 250 + 140 + 45}{50} = \frac{810}{50} = 16.2\text{ cm}$$
• Trung vị: $\frac{n}{2} = 25$. Tần số tích lũy: $cf_1 = 15 < 25 \le cf_2 = 35 \Rightarrow$ nhóm $[10; 20)$.$$M_{e(A)} = 10 + \frac{25 - 15}{20} \times 10 = 10 + \frac{10}{20} \times 10 = 10 + 5 = 15\text{ cm}$$

2. Tính toán cho Drone B:

• Số trung bình:$$\bar{x}_B = \frac{8 \times 5 + 14 \times 15 + 18 \times 25 + 8 \times 35 + 2 \times 45}{50} = \frac{40 + 210 + 450 + 280 + 90}{50} = \frac{1070}{50} = 21.4\text{ cm}$$
• Trung vị: $\frac{n}{2} = 25$. Tần số tích lũy: $cf_1 = 8, cf_2 = 22 < 25 \le cf_3 = 40 \Rightarrow$ nhóm $[20; 30)$.$$M_{e(B)} = 20 + \frac{25 - 22}{18} \times 10 = 20 + \frac{3}{18} \times 10 = 20 + 1.67 = 21.67\text{ cm}$$

Kết luận: Cả số trung bình ($\bar{x}_A = 16.2\text{ cm} < \bar{x}_B = 21.4\text{ cm}$) và trung vị ($M_{e(A)} = 15\text{ cm} < M_{e(B)} = 21.67\text{ cm}$) của Drone A đều nhỏ hơn đáng kể so với Drone B.
Vì sai số càng nhỏ thì độ chính xác càng cao, nên Drone A hoạt động chính xác hơn hẳn Drone B.

III. Đề Trắc nghiệm Tổng ôn Toàn bộ Chương III (12 câu)

IV. Lời kết và Kế hoạch học tập tiếp theo

Chúc mừng các em đã làm chủ trọn vẹn kiến thức của Chương III: Thống kê số liệu ghép nhóm!

Kỹ năng tính toán và phân tích các chỉ số $\bar{x}, M_e, Q_1, Q_3, M_o$ sẽ là nền tảng trực tiếp để tiếp tục nghiên cứu:

• Chương trình Toán 12: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm (Phương sai, Độ lệch chuẩn).
• Ứng dụng thực tế trong quản trị rủi ro, phân tích tài chính chứng khoán, nghiên cứu dịch tễ học và trí tuệ nhân tạo!