Bài tập Toán 12: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Tóm tắt chuyên đề: Công thức và bài tập tính Phương sai, Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm môn Toán 12 kèm phương pháp giải bài toán thực tế so sánh mức độ phân tán số liệu có đáp án chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

Phương sai:Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $S ^ { 2 }$, được tính bởi công thức:$S ^ { 2 } =\frac { 1 } { n }\left[ n_{ 1 } \left ( { c_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { c_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +…+n_{ k } \left ( { c_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } \right]$ Trong đó:$n=n_{ 1 } +n_{ 2 } +…+n_{ k }$ là cỡ mẫu;$\bar x=\frac { 1 } { n }\left ( { n_{ 1 } c_{ 1 } +n_{ 2 } c_{ 2 } +…+n_{ k } c_{ k } } \right. )$ là số trung bình

Độ lệch chuẩn:Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu $S$, Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai:Độ lệch chuẩn $=\sqrt{ S ^ { 2 } }{ \rm{   } }$

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có thể được tính theo công thức sau:$S ^ { 2 } =\frac { 1 } { n }\left ( { n_{ 1 } c_{ 1 } ^{ 2 }+n_{ 2 } c_{ 2 } ^{ 2 }+…+n_{ k } c_{ k } ^{ 2 } } \right. )- \bar x ^ { 2 }$

• Trong thống kê, người ta còn dùng đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm:$S ^ { 2 } =\frac { 1 } { n-1 }\left[ n_{ 1 } \left ( { c_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { c_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +…+n_{ k } \left ( { c_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } \right].$ Chú ý

• Phương sai của MSL ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho phương sai của MSL gốc.

• Độ lệch chuẩn của MSL ghép nhóm cũng là giá trị xấp xỉ cho độ lệch chuẩn của MSL gốc.$\left. \rightarrow \right.$Được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm.

• Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán.

• Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.Ý nghĩa

Xét ví dụ:Thầy giáo thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp $11{ \rm{   } }{ \rm{ A } }$ và 11B ở bảng sau:Điểm trung bình $\left [ { 5;6 } \right. )$ $\left [ { 6;7 } \right. )$ $\left [ { 7;8 } \right. )$ $\left [ { 8;9 } \right. )$ $\left [ { 9;10 } \right. )$ 11A101122611B0681412⑴ Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?⑵ Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?

Lời giải

⑴ Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?

Khoảng biến thiên của điểm số học sinh lớp 11A là:$10-5=5$.

Khoảng biến thiên của điểm số học sinh lớp 11B là:$10-6=4$.

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì điểm trung bình của các học sinh lớp 11B ít phân tán hơn điểm trung bình của các học sinh lớp 11A.

⑵ Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?

Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện:

• Xét mẫu số liệu của lớp 11A:

Cỡ mẫu là $n_{ 1 } =1+11+22+6=40$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\bar x_{ 1 } =\frac { 1⋅5,5+11⋅7,5+22⋅8,5+6⋅9,5 } { 40 }=8,3.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$$S_{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 1 } { 40 }\left ( { 1⋅5,5 ^ { 2 } +11⋅7,5 ^ { 2 } +22⋅8,5 ^ { 2 } +6⋅9,5 ^ { 2 } } \right. )-8,3 ^ { 2 } =0,61.$$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_{ I } =\sqrt{ 0,61 }$.

• Xét mẫu số liệu của lớp 11B:

Cỡ mẫu là $n_{ 2 } =6+8+14+12=40$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\bar x_{ 2 } =\frac { 6⋅6,5+8⋅7,5+14⋅8,5+12⋅9,5 } { 40 }=8,3.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$$S_{ 2 } ^{ 2 }=\frac { 1 } { 40 }\left ( { 6⋅6,5 ^ { 2 } +8⋅7,5 ^ { 2 } +14⋅8,5 ^ { 2 } +12⋅9,5 ^ { 2 } } \right. )-8,3 ^ { 2 } =1,06.$$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_{ 2 } =\sqrt{ 1,06 }$.

Do $S_{ 1 } < S_{ 2 }$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp $11{ \rm{   } }{ \rm{ A } }$ có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp 11B.

• Trong ví dụ trên, kết quả so sánh độ phân tán theo giá trị trung bình và độ lệch chuẩn có sự khác biệt. Điều này là do mẫu số liệu của học sinh lớp 11A có một giá trị ngoại lệ.

• Với các mẫu số liệu ghép nhóm có cùng số trung bình (hoặc xấp xỉ nhau), ta thường sử dụng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ phân tán của các mẫu số liệu đó. Chú ý

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Lập mẫu số liệu ghép nhóm và tính giá trị trung bình

• Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:Nhóm $\left [ { a_{ 1 } ;a_{ 2 } } \right. )$ $...$ $\left [ { a_{ i } ;a_{ i+1 } } \right. )$ $...$ $\left [ { a_{ k } ;a_{ k+1 } } \right. )$ Tần số $m_{ 1 }$ $...$ $m_{ i }$ $...$ $m_{ k }$ Số trung bình cộng được tính như sau:
• Bước 1: tính giá trị đại diện mỗi nhóm $x_{ i } =\frac { a_{ i } +a_{ i+1 } } { 2 }\,;\,i=1,2,3,...,k$.
• Bước 2: tính $n=m_{ 1 } +m_{ 2 } +...+m_{ k }$.
• **Bước 3:**$\bar x=\frac { m_{ 1 } .x_{ 1 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } } { n }$. Phương pháp

Ví dụ 1.1. Chiều cao của $20$ cây giống được cho bởi bảng sau:Chiều cao (cm) $\left [ { 40;44 } \right. )$ $\left [ { 45;49 } \right. )$ $\left [ { 50;54 } \right. )$ $\left [ { 55;59 } \right. )$ $\left [ { 60;64 } \right. )$ $\left [ { 65;69 } \right. )$ Số cây giống253433Tính số trung bình $\bar x$ (làm tròn đến chữ số thứ hai sau dấu phẩy) của bảng nói trên.

Lời giải:

Bảng tần số ghép lớp của bảng nói trên là:

Áp dụng công thức tính số trung bình cho bảng tần số ghép lớp ta có:

$\bar x=\frac { 42.2+47.5+52.3+57.4+62.3+67.3 } { 20 }=54,5$ $\left ( { cm } \right. )$

Ví dụ 1.2. Các bạn học sinh lớp 12A trả lời 40 câu hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau:Số câu trả lời đúng $\left [ { 16;21 } \right. )$ $\left [ { 21;26 } \right. )$ $\left [ { 26;31 } \right. )$ $\left [ { 31;36 } \right. )$ $\left [ { 36;41 } \right. )$ Số học sinh468184Tính giá trị trung bình số câu trả lời đúng.

Lời giải:

Giá trị đại diệm của mỗi nhóm như sau:

Tổng số học sinh là: 40.

Vậy giá trị trung bình là

$\bar x=\frac { m_{ 1 } .x_{ 1 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } } { n }$ $=\frac { 4.18,5+6.23,5+8.28,5+18.33,5+4.38,5 } { 40 }=30$.

Ví dụ 1.3. Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các em học sinh đã tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai nhựa của học sinh ở bảng sau:Số vỏ chai nhựa $\left[ 1;5 \right]$ $\left[ 6;10 \right]$ $\left[ 11;15 \right]$ $\left[ 16;20 \right]$ $\left[ 21;25 \right]$ Số học sinh5382483918Tính giá trị trung bình số câu trả lời đúng.

Lời giải:

Ta hiệu chỉnh bảng số liệu và tính giá trị đại diện, kết quả như bảng sau:

Tổng số học sinh là: 240.

Vậy giá trị trung bình là

$\bar x=\frac { m_{ 1 } .x_{ 1 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } } { n }$ $=\frac { 53.3+82.8+48.13+39.18+18.23 } { 240 }=10,375$.

Dạng 2. Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

• Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:Nhóm $\left [ { a_{ 1 } ;a_{ 2 } } \right. )$ $...$ $\left [ { a_{ i } ;a_{ i+1 } } \right. )$ $...$ $\left [ { a_{ k } ;a_{ k+1 } } \right. )$ Tần số $m_{ 1 }$ $...$ $m_{ i }$ $...$ $m_{ k }$ Phương sai $s ^ { 2 }$ được tính như sau:
• Bước 1: tính giá trị đại diện mỗi nhóm $x_{ i } =\frac { a_{ i } +a_{ i+1 } } { 2 }\,;\,i=1,2,3,...,k$.
• Bước 2: tính $n=m_{ 1 } +m_{ 2 } +...+m_{ k }$.
• **Bước 3:**$\bar x=\frac { m_{ 1 } .x_{ 1 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } } { n }$.
• **Bước 4:**$s ^ { 2 } =\frac { m_{ 1 } .\left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +m_{ 2 } .\left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +...+m_{ k } .\left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { n }$ Hoặc :$s ^ { 2 } =\frac { 1 } { n }\left ( { m_{ 1 } .x_{ 1 } ^ { 2 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } ^ { 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } ^ { 2 } } \right. )-\left ( { \bar x } \right. ) ^ { 2 }$. Phương pháp

Ví dụ 2.1. Cân nặng (kg) của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:Cân nặng (kg) $\left [ { 4;6 } \right. )$ $\left [ { 6;8 } \right. )$ $\left [ { 8;10 } \right. )$ $\left [ { 10;12 } \right. )$ $\left [ { 12;14 } \right. )$ Số cây giống6121994Hãy tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Ta có giá trị đại diện được thể hiện trong bảng sau:

Cỡ mẫu:$n=50$.

Số trung bình $\bar x=\frac { m_{ 1 } .x_{ 1 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } } { n }$ $=\frac { 6.5+12.7+19.9+9.11+4.13 } { 50 }=8,72$.

Phương sai:$s ^ { 2 } =\frac { 1 } { n }\left ( { m_{ 1 } .x_{ 1 } ^ { 2 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } ^ { 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } ^ { 2 } } \right. )-\left ( { \bar x } \right. ) ^ { 2 }$ $=\frac { 1 } { 50 }\left ( { 6.5 ^ { 2 } +12.7 ^ { 2 } +19.9 ^ { 2 } +9.11 ^ { 2 } +4.13 ^ { 2 } } \right. )-\left ( { 8,72 } \right. ) ^ { 2 } =4,8016$.

Ví dụ 2.2. Thống kê điểm trung bình của hai lớp 12A và 12B được cho ở bảng sauĐiểm trung bình $\left [ { 5;6 } \right. )$ $\left [ { 6;7 } \right. )$ $\left [ { 7;8 } \right. )$ $\left [ { 8;9 } \right. )$ $\left [ { 9;10 } \right. )$ Số học sinh lớp 12A1011226Số học sinh lớp 12B0681412Nếu so sánh phương sai thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?

Lời giải:

Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện như sau:

• Xét mẫu số liệu lớp 12A:

Cỡ mẫu:$n_{ 1 } =40$.

Số trung bình:$\bar x=\frac { m_{ 1 } .x_{ 1 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } } { n_{ 1 } }$ $=\frac { 1.5,5+0.6,5+11.7,5+22.8,5+6.9,5 } { 40 }=8,3$.

Phương sai:$s_{ 1 } ^ { 2 } =\frac { 1 } { n_{ 1 } }\left ( { m_{ 1 } .x_{ 1 } ^ { 2 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } ^ { 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } ^ { 2 } } \right. )-\left ( { \bar x } \right. ) ^ { 2 }$ $=\frac { 1 } { 40 }\left ( { 1.5,5 ^ { 2 } +0.6,5 ^ { 2 } +11.7,5 ^ { 2 } +22.8,5 ^ { 2 } +6.9,5 ^ { 2 } } \right. )-\left ( { 8,3 } \right. ) ^ { 2 } =0,61$.

• Xét mẫu số liệu lớp 12B:

Cỡ mẫu:$n_{ 2 } =40$.

Số trung bình:$\bar y=\frac { m_{ 1 } .y_{ 1 } +m_{ 2 } .y_{ 2 } +...+m_{ k } .y_{ k } } { n_{ 2 } }$ $=\frac { 0.5,5+6.6,5+8.7,5+14.8,5+12.9,5 } { 40 }=8,3$.

Phương sai:$s_{ 2 } ^ { 2 } =\frac { 1 } { n_{ 2 } }\left ( { m_{ 1 } .y_{ 1 } ^ { 2 } +m_{ 2 } .y_{ 2 } ^ { 2 } +...+m_{ k } .y_{ k } ^ { 2 } } \right. )- \bar y ^ { 2 }$ $=\frac { 1 } { 40 }\left ( { 0.5,5 ^ { 2 } +6.6,5 ^ { 2 } +8.7,5 ^ { 2 } +14.8,5 ^ { 2 } +12.9,5 ^ { 2 } } \right. )-\left ( { 8,3 } \right. ) ^ { 2 } =1,06$.

$\left. \rightarrow \right.$ Vì $s_{ 1 } ^ { 2 } < s_{ 2 } ^ { 2 }$ nên điểm trung bình của học sinh lớp 12B phân tán ít hơn điểm trung bình của học sinh lớp 12A.

Ví dụ 2.3. Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:Tuổi thọ (năm) $\left [ { 1,5;2 } \right. )$ $\left [ { 2;2,5 } \right. )$ $\left [ { 2,5;3 } \right. )$ $\left [ { 3;3,5 } \right. )$ $\left [ { 3,5;4 } \right. )$ Số linh kiện của phân xưởng 1491386Số linh kiện của phân xưởng 2282073Tính phương sai của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.

Lời giải:

Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện như sau:

• Xét mẫu số liệu Phân xưởng 1:

Tổng số linh kiện:$4+9+13+8+6=40$

Giá trị trung bình $$\bar x_{ 1 } =\frac { 1,75.4+2,25.9+2,75.13+3,25.8+3,75.6 } { 4+9+13+8+6 }=\frac { 223 } { 80 }$$

Phương sai:$$s_{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 1 } { 40 }\left ( { 1,75 ^ { 2 } .4+2,25 ^ { 2 } .9+2,75 ^ { 2 } .13+3,25 ^ { 2 } .8+3,75 ^ { 2 } .6 } \right. )-\left ( { \frac { 223 } { 80 } } \right. ) ^ { 2 } =\frac { 2271 } { 6400 }≈0,354$$

• Xét mẫu số liệu Phân xưởng 2:

Tổng số linh kiện:$2+8+20+7+3=40$

Giá trị trung bình $$\bar x_{ 2 } =\frac { 1,75.2+2,25.8+2,75.20+3,25.7+3,75.3 } { 2+8+20+7+3 }=\frac { 221 } { 80 }$$

Phương sai:$$s_{ 2 } ^{ 2 }=\frac { 1 } { 40 }\left ( { 1,75 ^ { 2 } .2+2,25 ^ { 2 } .8+2,75 ^ { 2 } .20+3,25 ^ { 2 } .7+3,75 ^ { 2 } .3 } \right. )-\left ( { \frac { 221 } { 80 } } \right. ) ^ { 2 } =\frac { 1399 } { 6400 }≈0,218$$

$\left. \rightarrow \right.$ Vì $s_{ 1 } ^ { 2 } >s_{ 2 } ^ { 2 }$ nên số linh kiện phân xưởng 2 phân tán nhiều hơn số linh kiện phân xưởng 1.

Dạng 3. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm & ý nghĩa

• Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:Nhóm $\left [ { a_{ 1 } ;a_{ 2 } } \right. )$ $...$ $\left [ { a_{ i } ;a_{ i+1 } } \right. )$ $...$ $\left [ { a_{ k } ;a_{ k+1 } } \right. )$ Tần số $m_{ 1 }$ $...$ $m_{ i }$ $...$ $m_{ k }$ Phương sai $s ^ { 2 }$ được tính như sau:
• Bước 1: tính giá trị đại diện mỗi nhóm $x_{ i } =\frac { a_{ i } +a_{ i+1 } } { 2 }\,;\,i=1,2,3,...,k$.
• Bước 2: tính $n=m_{ 1 } +m_{ 2 } +...+m_{ k }$.
• **Bước 3:**$\bar x=\frac { m_{ 1 } .x_{ 1 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } } { n }$.
• Bước 4: Phương sai $s ^ { 2 } =\frac { m_{ 1 } .\left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +m_{ 2 } .\left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +...+m_{ k } .\left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { n }$ Hoặc :$s ^ { 2 } =\frac { 1 } { n }\left ( { m_{ 1 } .x_{ 1 } ^ { 2 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } ^ { 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } ^ { 2 } } \right. )-\left ( { \bar x } \right. ) ^ { 2 }$.
• Bước 5: Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{ S ^ { 2 } }$⁂ Ý nghĩa: Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng xấp xỉ nhau, mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán so với số trung bình cộng của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn. Phương pháp

Ví dụ 3.1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của cư dân trong một khu phố. Độ tuổi $\left [ { 20;30 } \right. )$ $\left [ { 30;40 } \right. )$ $\left [ { 40;50 } \right. )$ $\left [ { 50;60 } \right. )$ $\left [ { 60;70 } \right. )$ $\left [ { 70;80 } \right. )$ Giá trị đại diện253545556575Số cư dân25202015146Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Lời giải:

Số trung bình cộng là $\bar x=\frac { n_{ 1 } x_{ 1 } +n_{ 2 } x_{ 2 } +\ldots +n_{ k } x_{ k } } { N }$ $=\frac { 25⋅25+20⋅35+20⋅45+15⋅55+14⋅65+6⋅75 } { 100 }=44,1$ (tuổi).

Phương sai là $S ^ { 2 } =\frac { n_{ 1 } \left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +\ldots +n_{ k } \left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { N }$ $S ^ { 2 } =\frac { 25\left ( { 25- \bar x } \right. ) ^ { 2 } +20\left ( { 35- \bar x } \right. ) ^ { 2 } +20\left ( { 45- \bar x } \right. ) ^ { 2 } +15\left ( { 55- \bar x } \right. ) ^ { 2 } +14\left ( { 65- \bar x } \right. ) ^ { 2 } +6\left ( { 75- \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { 100 }=244,2$.

Độ lệch chuẩn là $S=\sqrt{ S ^ { 2 } }≈15,6$ (tuổi).

Ví dụ 3.2. Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của hai công ty $A$,$B$ (đơn vị là triệu đồng)Bảng thống kê mức lương công ty A(triệu đồng)Bảng thống kê mức lương công ty B(triệu đồng)Mức lươngSố lượng nhân viênMức lươngSố lượng nhân viên $\left [ { 10;15 } \right. )$ 15 $\left [ { 10;15 } \right. )$ 25 $\left [ { 15;20 } \right. )$ 18 $\left [ { 15;20 } \right. )$ 15 $\left [ { 20;25 } \right. )$ 10 $\left [ { 20;25 } \right. )$ 7 $\left [ { 25;30 } \right. )$ 10 $\left [ { 25;30 } \right. )$ 5 $\left [ { 30;35 } \right. )$ 5 $\left [ { 30;35 } \right. )$ 5 $\left [ { 35;40 } \right. )$ 2 $\left [ { 35;40 } \right. )$ 3⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty $A$,$B$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)⑵ Công ty nào có mức lương đồng đều hơn?

Lời giải:

⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty $A$,$B$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

• Xét Mức lương tại công ty A

Số trung bình của công ty $A$ là $$\bar x_{ A } =\frac { n_{ 1 } x_{ 1 } +n_{ 2 } x_{ 2 } +\ldots +n_{ k } x_{ k } } { N }=\frac { 62 } { 3 }≈20,7$$ (triệu đồng).

Phương sai của công ty $A$ là $$S_{ A } ^ { 2 } =\frac { n_{ 1 } \left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +\ldots +n_{ k } \left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { N }=\frac { 1769 } { 36 }.$$

Độ lệch chuẩn của công ty $A$ là $S_{ A } =\sqrt{ S_{ A } ^ { 2 } }≈7$ (triệu đồng).

• Xét Mức lương tại công ty B

Số trung bình của công ty $B$ là $$\bar x_{ B } =\frac { n_{ 1 } x_{ 1 } +n_{ 2 } x_{ 2 } +\ldots +n_{ k } x_{ k } } { N }=\frac { 229 } { 12 }≈19,1$$ (triệu đồng).

Phương sai của công ty $B$ là $$S_{ A } ^ { 2 } =\frac { n_{ 1 } \left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +\ldots +n_{ k } \left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { N }=\frac { 8339 } { 144 }.$$

Độ lệch chuẩn của công ty $B$ là $S_{ B } =\sqrt{ S_{ B } ^ { 2 } }≈7,6$ (triệu đồng).

⑵ Công ty nào có mức lương đồng đều hơn?

Vì độ lệch chuẩn của công ty $A$ nhỏ hơn độ lệch chuẩn của công ty $B$ và lương bình quân của cả hai công ty xấp xỉ nhau nên công ty $A$ có mức lương đồng đều hơn.

Dạng 4. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro

• Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:Nhóm $\left [ { a_{ 1 } ;a_{ 2 } } \right. )$ $...$ $\left [ { a_{ i } ;a_{ i+1 } } \right. )$ $...$ $\left [ { a_{ k } ;a_{ k+1 } } \right. )$ Tần số $m_{ 1 }$ $...$ $m_{ i }$ $...$ $m_{ k }$ Phương sai $s ^ { 2 }$ được tính như sau:
• Bước 1: tính giá trị đại diện mỗi nhóm $x_{ i } =\frac { a_{ i } +a_{ i+1 } } { 2 }\,;\,i=1,2,3,...,k$.
• Bước 2: tính $n=m_{ 1 } +m_{ 2 } +...+m_{ k }$.
• **Bước 3:**$\bar x=\frac { m_{ 1 } .x_{ 1 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } } { n }$.
• Bước 4: Phương sai $s ^ { 2 } =\frac { m_{ 1 } .\left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +m_{ 2 } .\left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +...+m_{ k } .\left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { n }$ Hoặc :$s ^ { 2 } =\frac { 1 } { n }\left ( { m_{ 1 } .x_{ 1 } ^ { 2 } +m_{ 2 } .x_{ 2 } ^ { 2 } +...+m_{ k } .x_{ k } ^ { 2 } } \right. )-\left ( { \bar x } \right. ) ^ { 2 }$.
• Bước 5: Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{ S ^ { 2 } }$⁂ Ý nghĩa: Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng xấp xỉ nhau, mẫu số liệu nào có phương sai và độ lệch chuẩn cao hơn thì mức độ rủi ro lớn hơn. Phương pháp

Ví dụ 4.1. Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng của (đơn vị là nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu $A$ và $B$ trong $50$ ngày giao dịch liên tiếp. Giá đóng cửa $\left [ { 120;122 } \right. )$ $\left [ { 122;124 } \right. )$ $\left [ { 124;126 } \right. )$ $\left [ { 126;128 } \right. )$ $\left [ { 128;130 } \right. )$ Cổ phiếu A9811139Cổ phiếu B1465205⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mã cổ phiếu $A$,$B$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)⑵ So sánh độ rủi ro của cố phiếu $A$ và $B$?

Lời giải:

⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mã cổ phiếu $A$,$B$.

Số trung bình của cổ phiếu $A$ là $$\bar x_{ A } =\frac { n_{ 1 } x_{ 1 } +n_{ 2 } x_{ 2 } +\ldots +n_{ k } x_{ k } } { N }=125,2.$$

Phương sai của cổ phiếu $A$ là $$S_{ A } ^{ 2 }=\frac { n_{ 1 } \left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +\ldots +n_{ k } \left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { N }=7,4.$$

Độ lệch chuẩn của cổ phiếu $A$ là $S_{ A } =\sqrt{ S_{ A } ^{2} }≈2,7$.

Số trung bình của cổ phiếu $B$ là $$\bar x_{ B } =\frac { n_{ 1 } x_{ 1 } +n_{ 2 } x_{ 2 } +\ldots +n_{ k } x_{ k } } { N }=124,8.$$

Phương sai của cổ phiếu $B$ là $$S_{ B } ^{ 2 }=\frac { n_{ 1 } \left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +\ldots +n_{ k } \left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { N }=8,1.$$

Độ lệch chuẩn của cổ phiếu $B$ là $S_{ B } =\sqrt{ S_{ B } ^{ 2 } }≈2,9$.

⑵ So sánh độ rủi ro của cố phiếu $A$ và $B$?

Vì độ lệch chuẩn về giá của cổ phiếu $A$ nhỏ hơn độ lệch chuẩn về giá của cổ phiếu $B$ nên cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$.

Ví dụ 4.2. Chỉ số P/B (viết tắt của từ Price to book ratio) là một chỉ số tài chính quan trọng, được sử dụng để so sánh giữa giá của cổ phiếu với giá trị ghi sổ của cổ phiếu đó. Khi chỉ số P/B cao, nghĩa là thị trường đang có nhiều kỳ vọng đối với cổ phiếu này, doanh nghiệp có tiềm năng phát triển tốt trong tương lai. Bảng sau thống kê chỉ số P/B của hai mã cổ phiếu $A$ và $B$ trong $10$ năm giao dịch liên tiếp. Giá đóng cửa $\left [ { 0;2 } \right. )$ $\left [ { 2;4 } \right. )$ $\left [ { 4;6 } \right. )$ $\left [ { 6;8 } \right. )$ $\left [ { 8;10 } \right. )$ $\left [ { 10;12 } \right. )$ Cổ phiếu A104221Cổ phiếu B121231⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mã cổ phiếu $A$,$B$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)⑵ So sánh độ rủi ro của cố phiếu $A$ và $B$? Biết rằng các chỉ số tài chính còn lại của hai cổ phiếu đó là xấp xỉ nhau.

Lời giải:

⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mã cổ phiếu $A$,$B$.

Số trung bình của cổ phiếu $A$ là $$\bar x_{ A } =\frac { n_{ 1 } x_{ 1 } +n_{ 2 } x_{ 2 } +\ldots +n_{ k } x_{ k } } { N }=6,4.$$

Phương sai của cổ phiếu $A$ là $$S_{ A } ^{ 2 }=\frac { n_{ 1 } \left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +\ldots +n_{ k } \left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { N }=7,2.$$

Độ lệch chuẩn của cổ phiếu $A$ là $S_{ A } =\sqrt{ S_{ A } ^{ 2 } }≈2,7$.

Số trung bình của cổ phiếu $B$ là $$\bar x_{ B } =\frac { n_{ 1 } x_{ 1 } +n_{ 2 } x_{ 2 } +\ldots +n_{ k } x_{ k } } { N }=6,4.$$

Phương sai của cổ phiếu $B$ là $$S_{ B } ^{ 2 }=\frac { n_{ 1 } \left ( { x_{ 1 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +n_{ 2 } \left ( { x_{ 2 } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } +\ldots +n_{ k } \left ( { x_{ k } - \bar x } \right. ) ^ { 2 } } { N }=9,6.$$

Độ lệch chuẩn của cổ phiếu $B$ là $S_{ B } =\sqrt{ S_{ B } ^{ 2 } }≈3,1$.

⑵ So sánh độ rủi ro của cố phiếu $A$ và $B$?

Vì độ lệch chuẩn về chỉ số P/B của cổ phiếu $A$ nhỏ hơn độ lệch chuẩn của cổ phiếu $B$ nên cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$.

III. Bài tập trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Tự luyện tương tác)

Học sinh làm bài trực tiếp trên hệ thống để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết tức thì.

IV. Bài tập trắc nghiệm Đúng / Sai (Cấu trúc mới GDPT 2018)

Thí sinh trả lời từ câu hỏi dưới đây. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1: Số khách hàng mua bảo hiểm ở từng độ tuổi được thống kê trong bảng số liệu ghép nhóm sau:

Câu 2: Xét mẫu dữ liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau với $n=n_{ 1 } +n_{ 2 } +\cdots +n_{ k }$.