Bài tập Toán 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Tóm tắt chuyên đề: Trọn bộ bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Toán 12 (hàm bậc ba, phân thức hữu tỉ, phân thức bậc hai trên bậc nhất) có bài tập trắc nghiệm và lời giải chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Định nghĩa: ①. Tìm tập xác định của hàm số.②. Xét sự biến thiên của hàm số:

• Tìm $y'$, xét dấu $y'$, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

• Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

• Lập bảng biến thiên của hàm số.③. Vẽ đồ thị của hàm số:

• Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm), ...

• Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

• Vẽ đồ thị hàm số.

• Chỉ ra tâm đối xứng và trục đối xứng của đồ thị hàm số (nếu có). Chú ý

2. Khảo sát hàm số

Hàm số bậc ba $y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { a≠0 } \right. )$

• Trường hợp:$y'=0$ vô nghiệm và có nghiệm kép, đồ thị hàm số sẽ ở dạng luôn đơn điệu nhưng trường hợp có nghiệm kép thì đồ thị hàm số có 1 đoạn hơi ngang ngang 1 chút ( nhìn hình vẽ trên) Chú ý

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac { ax+b } { cx+d }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { c≠0,{ \rm{ } }ad-bc≠0 } \right. )$

• ĐTHS có tiệm cận đứng $x=-\frac { d } { c }$, tiệm cận ngang $y=\frac { a } { c }$.

• Các điểm đặc biệt: Giao điểm với $Ox:A\left ( { \frac { -b } { a };0 } \right. )$, Giao điểm với $Oy:B\left ( { 0;\frac { b } { d } } \right. )$. Giao của hai đường tiệm cận $I\left ( { -\frac { d } { c };\frac { a } { c } } \right. )$ là tâm đối xứng. Chú ý

Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y=\frac { ax ^ { 2 } +bx+c } { dx+e }\,\left ( { a≠0 } \right. )$

• Ta luôn tách được $$y=\frac { ax ^ { 2 } +bx+c } { dx+e }=\frac { a } { d }x+f+\frac { m } { dx+e }.$$

• Khi đó đồ thị hàm số có tiện cận đứng $x=-\frac { e } { d }$, Tiệm cận xiên $y=\frac { a } { d }x+f$. Chú ý

• Đồ thị: của hàm số $y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d\left ( { a≠0 } \right. )$ luôn nhận điểm $I\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right. )$ làm tâm đối xứng, trong đó $x_{ 0 }$ là nghiệm của phương trình $y''=0$ và $y_{ 0 } =y\left ( { x_{ 0 } } \right. )$.

• Đồ thị: của hàm số $y=\frac { ax+b } { cx+d }\left ( { c≠0,ad-bc≠0 } \right. )$:(a) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;(b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm trục đối xứng.

• Đồ thị: của hàm số $y=\frac { ax ^ { 2 } +bx+c } { mx+n }\left ( { a≠0,m≠0 } \right. )$:(a) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;(b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm trục đối xứng. Chú ý

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Khảo sát hàm số bậc ba

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d$ $\left ( { a≠0 } \right. )$

• Bước 1: Tập xác định:$D=\mathbb{R}$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

• Giới hạn:

• Với $a>0$ thì $\mathop { lim } \limits_{ x→+\,∞ } y=+∞$ và $\mathop { lim } \limits_{ x→-\,∞ } y=-∞$.

• Với $a < 0$ thì $\mathop { lim } \limits_{ x→+\,∞ } y=-∞$ và $\mathop { lim } \limits_{ x→-\,∞ } y=+∞$.

• Đạo hàm và cực trị:$y'=3ax ^ { 2 } +2bx+c$. Khi đó:

• Hàm số có hai điểm cực trị khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $⇔\Delta '_{ y' } >0$.

• Gọi $A\left ( { x_{ 1 } ;y_{ 1 } } \right. )$;$B\left ( { x_{ 2 } ;y_{ 2 } } \right. )$ là hai điểm cực trị, theo định lý Viet:$\left\{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =\frac { -2b } { 3a }x_{ 1 } x_{ 2 } =\frac { c } { 3a } \end{array} \right.$

• Hàm số không có cực trị khi $y'=0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép $⇔\Delta '_{ y' } ≤0$

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị: hàm số:

• Không có tiệm cận.

• Tâm đối xứng là điểm có hoành độ thỏa mãn $y'$. Phương pháp

Ví dụ 1.1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )=-x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -4$.

Lời giải:

• **Tập xác định:**$D=\mathbb{R}$.

• Sự biến thiên:

Ta có $y'=-3x ^ { 2 } +6x$. Suy ra $y'=0⇔-3x ^ { 2 } +6x=0⇔\left[ x=0x=2 \right.$.

Giới hạn:$\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } y=\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } \left ( { -x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -4 } \right. )=-∞;$$$\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } y=\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } \left ( { -x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -4 } \right. )=+∞.$$

• Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( { 0;2 } \right. )$; nghịch biến trên khoảng $\left ( { -∞;0 } \right. )$ và $\left ( { 2;+∞ } \right. )$.

Hàm số đạt giá trị cực tiểu $y_{ CT } =-4$ tại $x_{ CT } =0$

Hàm số đạt giá trị cực đại $y_{ CÐ } =0$ tại $x_{ CD } =2$

• Đồ thị: đi qua điểm $A\left ( { -1;0 } \right. ),\,B\left ( { 3;-4 } \right. )$ và có tâm đối xứng là $I\left ( { 1;-2 } \right. )$.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy:$\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } y=+∞⇒a>0$; đồ thị hàm số đi qua điểm $\left ( { 0;d } \right. )⇒d < 0$.

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_{ 1 } ,\,\,x_{ 2 }$ dựa vào hình vẽ ta thấy $x_{ 1 } < 0,\,\,x_{ 2 } >0$.

Mặt khác:$y'=3ax ^ { 2 } +2bx+c⇒\left\{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =\frac { -2b } { 3a } < 0\xrightarrow {\mathrm{ a>0 }}b>0x_{ 1 } x_{ 2 } =\frac { c } { 3a } < 0\xrightarrow {\mathrm{ a>0 }}c < 0 \end{array} \right.$.

Vậy $a>0\,,\,\,b>0\,,\,\,c < 0\,,\,\,d < 0$.

Dạng 2. Khảo sát hàm số hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d$ $\left ( { a≠0 } \right. )$

• Bước 1: Tập xác định:$D=\mathbb{R}\left\{ \begin{array}{l} -\frac { d } { c } \end{array} \right\}$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

• Giới hạn: và đường tiệm cận

• $\mathop { lim } \limits_{ x→±∞ } y=\frac { a } { c }$ $⇒y=\frac { a } { c }$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• $\mathop { lim } \limits_{ x→\left ( { -\,\frac { d } { c } } \right. ) ^ { + } } y=+∞$,$\mathop { lim } \limits_{ x→\left ( { -\,\frac { d } { c } } \right. ) ^ { - } } y=-∞$ hoặc $\mathop { lim } \limits_{ x→\left ( { -\,\frac { d } { c } } \right. ) ^ { + } } y=-\,∞$,$\mathop { lim } \limits_{ x→\left ( { -\,\frac { d } { c } } \right. ) ^ { - } } y=+∞$ $⇒x=-\frac { d } { c }$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Đạo hàm $y'=\frac { ad-bc } { \left ( { cx+d } \right. ) ^ { 2 } }$

• Nếu $ad-bc>0$,$∀x∈D$.+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left ( { -∞;\,-\frac { d } { c } } \right. )$ và $\left ( { -\frac { d } { c };\,+∞ } \right. )$.

• Nếu $ad-bc < 0$,$∀x∈D$.+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left ( { -∞;\,-\frac { d } { c } } \right. )$ và $\left ( { -\frac { d } { c };\,+∞ } \right. )$.

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị: hàm số:

• Đồ thị: luôn nhận giao điểm của $2$ đường tiệm cận là tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I\left ( { -\frac { d } { c };\,\frac { a } { c } } \right. )$ Phương pháp

Ví dụ 2.1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac { 2x+1 } { x+1 }$.

Lời giải:

• **Tập xác định:**$D=\mathbb{R}\left\{ \begin{array}{l} -1 \end{array} \right\}$.

• Sự biến thiên: Ta có $y'=\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right. ) ^ { 2 } }>0\,∀x∈D$.

• **Giới hạn:**$\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } y=\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } \left ( { \frac { 2x+1 } { x+1 } } \right. )=2;$$$\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } y=\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } \left ( { \frac { 2x+1 } { x+1 } } \right. )=2.$$

$\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { + } } y=\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { + } } \left ( { \frac { 2x+1 } { x+1 } } \right. )=-∞;$$$\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { - } } y=\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { - } } \left ( { \frac { 2x+1 } { x+1 } } \right. )=+∞$$

• Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( { -∞;-1 } \right. );\left ( { -1;+∞ } \right. )$.

• Đồ thị: đi qua điểm $\left ( { 0;1 } \right. )$ và có tâm đối xứng là $I\left ( { -1\,;\,2 } \right. )$.

Lời giải:

• **Tập xác định:**$D=\mathbb{R}\left\{ \begin{array}{l} -5 \end{array} \right\}$.

• Sự biến thiên: Ta có $y'=\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right. ) ^ { 2 } }>0\,\,∀x∈D$.

• **Giới hạn:**$\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } y=\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } \left ( { \frac { x } { x+1 } } \right. )=1;$$$\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } y=\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } \left ( { \frac { x } { x+1 } } \right. )=1.$$

$\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { + } } y=\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { + } } \left ( { \frac { x } { x+1 } } \right. )=-∞;$$$\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { - } } y=\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { - } } \left ( { \frac { x } { x+1 } } \right. )=+∞$$

• Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( { -∞;\,-1 } \right. )$ và $\left ( { -1;\,+∞ } \right. )$.

• Đồ thị: đi qua điểm $\left ( { 0;1 } \right. )$ và có tâm đối xứng là $I\left ( { -1\,;\,2 } \right. )$.

Dạng 3. Khảo sát hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac { ax ^ { 2 } +bx+c } { dx+e },\,\,\left ( { ad≠0\,\,,\,\,x≠-\frac { e } { d } } \right. )$, tử và mẫu không có nghiệm chung. Viết hàm số dưới dạng $y=αx+β+\frac { γ } { dx+e }$ (bằng cách chia đa thức)

• Bước 1: Tập xác định:$D=\mathbb{R}\left\{ \begin{array}{l} -\frac { e } { d } \end{array} \right\}$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

• Giới hạn: và đường tiệm cận

• $\mathop { lim } \limits_{ x→\left ( { -\,\frac { e } { d } } \right. ) ^ { ± } } y=±∞$ $⇒x=-\frac { e } { d }$ là tiệm cận đứng

• $\mathop { lim } \limits_{ x→±\,∞ } \left[ y-\left ( { αx+β } \right. ) \right]=0$ $⇒y=αx+β$ là đường tiệm cận xiên

• Đạo hàm $y'=\frac { α\left ( { dx+e } \right. ) ^ { 2 } -γd } { \left ( { dx+e } \right. ) ^ { 2 } }$. Dấu của đạo hàm là dấu của $g\left ( { x } \right. )=α\left ( { dx+e } \right. ) ^ { 2 } -γd$.

• Phương trình $y'=0$ vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép thì không có cực trị.

• Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt thì có hai cực trị.

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị: hàm số:

• Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có).

• Đồ thị: hàm số nhận giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.⁂ Nhận xét:

• Đồ thị: hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

• Đồ thị: hàm có cực đại, cực tiểu $⇔y'=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-\frac { e } { d }.$

• Trong trường hợp đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình đường thẳng qua hai cực trị là $y=\frac { 2ax+b } { d }$.

• Mọi tiếp tuyến tại điểm $M∈\left ( { C } \right. )$ cắt hai đường tiệm cận tại $A,B$ thì $M$ là trung điểm $AB$

• Diện tích tam giác $IAB$ không đổi

• Mọi điểm $M∈\left ( { C } \right. )$ có tích khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận là một hằng số

• Nếu từ một điểm $E$ nằm trên một đường tiệm cận của $\left ( { C } \right. )$ thì qua $E$ kẻ duy nhất một tiếp tuyến với $\left ( { C } \right. )$. Phương pháp

Ví dụ 3.1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac { 2x ^ { 2 } +5x+4 } { x+2 }\,\,\,\left ( { H } \right. )$.

Lời giải:

Ta có $y=\frac { 2x ^ { 2 } +5x+4 } { x+2 }=2x+1+\frac { 2 } { x+2 }$.

• **Tập xác định:**$D=\mathbb{R}\left\{ \begin{array}{l} -2 \end{array} \right\}$.

• Giới hạn: và tiệm cận:

$\mathop { lim } \limits_{ x→-2 ^ { + } } y=+∞$ và $\mathop { lim } \limits_{ x→-2 ^ { - } } y=-∞$ nên $x=-2$ là đường tiệm đường cận đứng.

$\mathop { lim } \limits_{ x→±∞ } \left[ y-\left ( { 2x+1 } \right. ) \right]=0$ nên $y=2x+1$ là đường tiệm cận xiên.

• Sự biến thiên: Ta có:$$y'=2-\frac { 2 } { \left ( { x+2 } \right. ) ^ { 2 } }=\frac { 2x ^ { 2 } +8x+6 } { \left ( { x+2 } \right. ) ^ { 2 } }.$$

$\,y'=0⇔2x ^ { 2 } +8x+6=0⇔\left[ x=-1x=-3 \right.$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( { -∞;-3 } \right. )$ và $\left ( { -1;+∞ } \right. )$.

Hàm số nghich biến trên khoảng $\left ( { -3;-2 } \right. )$ và $\left ( { -2;-1 } \right. )$.

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

Giao điểm với trục tung $A\left ( { 0;2 } \right. )$.

Giao điểm với trục hoành: không có.

Lời giải:

Ta có:$y=\frac { x ^ { 2 } +x-2 } { x+1 }=x-\frac { 2 } { x+1 }$.

• Tập xác định: của hàm số:$D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

• Sự biến thiên: Ta có:$y'=1+\frac { 2 } { \left ( { x+1 } \right. ) ^ { 2 } }>0$ với mọi $x≠-1$.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left ( { -∞;-1 } \right. )$ và $\left ( { -1;+∞ } \right. )$.

Hàm số không có cực trị.

• Giới hạn: và đường tiệm cận:

$\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { - } } y=+\,∞$;$\mathop { lim } \limits_{ x→-1 ^ { + } } y=-\,∞$ nên $x=-1$ là đường tiệm đường cận đứng.

$$\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } \left[ y-x \right]=0;\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } \left[ y-x \right]=0$$ nên $y=x$ là đường tiệm cận xiên

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

Giao điểm với trục tung $\left ( { 0;-2 } \right. )$.

Giao điểm với trục hoành là các điểm $\left ( { -2;0 } \right. )$ và $\left ( { 1;0 } \right. )$.

Nhận giao điểm $I\left ( { -1;-1 } \right. )$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Dạng 4. Nhận dạng hàm số khi biết đồ thị - bảng biến thiên

⁂ Hàm số $y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d,\,\,a≠0$ Ta có $y'=3ax ^ { 2 } +2bx+c$ Bảng biến thiênĐồ thị

• TH1:$y'$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{ 1 } ,\,x_{ 2 } \,\,\left ( { x_{ 1 } < x_{ 2 } } \right. )$ $a>0$

  

Phương pháp

⁂ Hàm số $y=\frac { ax+b } { cx+d }\,\,\left ( { c≠0,ad-bc≠0 } \right. )$ có $y'=\frac { ad-bc } { \left ( { cx+d } \right. ) ^ { 2 } }$ và TCĐ:$x=-\frac { d } { c }$ và TCN:$y=\frac { a } { c }$ Bảng biến thiênĐồ thị

• TH1 :$ad-bc>0⇔y'>0\,\,\,∀x≠-\frac { d } { c }$

  

⁂ Hàm số $y=\frac { ax ^ { 2 } +bx+c } { mx+n }\,\,\left ( { \,a≠0,\,m≠0 } \right. )$ có $y=Ax+B+\frac { C } { mx+n }$ $⇒y'=A-\frac { C } { \left ( { mx+n } \right. ) ^ { 2 } }$ và TCĐ:$x=-\frac { n } { m }$ và TCX:$y=Ax+B$ Bảng biến thiênĐồ thị

• TH1:$y'$ có 2 nghiệm phân biệt $A>0$

  

Phương pháp

Ví dụ 4.1. Cho hàm số bậc ba $y=f\left ( { x } \right. )$ có đồ thị như hình bên dưới. Viết công thức của hàm số.

Lời giải:

• Ta thấy đồ thị có hai cực trị, nên hàm số của đồ thị đã cho có dạng:$y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d$
• Mà đồ thị giao với trục tung tại điểm có tung độ bằng $1$ nên $d=1.$
• Mặt khác $y'=3ax ^ { 2 } +2bx+c$ có hai nghiệm là $x=1\,\,$ và $x=-1$ nên

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left ( { 1 } \right. )=0y'\left ( { -1 } \right. )=0 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} 3a+2b+c=03a-2b+c=0 \end{array} \right.⇔4b=0⇔b=0$

• Theo Viet thì $1.\left ( { -1 } \right. )=\frac { c } { 3a }⇔c=-3a$

Suy ra hàm số có dạng $y=ax ^ { 3 } -3ax+1$

• Mặt khác đồ thị đi qua điểm $\left ( { 1;-1 } \right. )$ nên

$y\left ( { 1 } \right. )=-1⇔a-3a+1=-1⇔-2a=-2⇔a=1⇒c=-3$

Vậy hàm số cần tìm là $y=x ^ { 3 } -3x+1.$

Ví dụ 4.2. Cho hàm số $y=\frac { ax-1 } { 2x+b }$ có bảng biến thiên như hình bên dưới. Xác định $a,\,\,b$.

Lời giải:

• Đồ thị: có đường tiệm cận đứng $x=-1$ nên $x=-1$ là nghiệm của $2x+b=0$

Suy ra $2\left ( { -1 } \right. )+b=0⇔b=2$

• Mặt khác đồ thị có đường tiệm cận ngang $y=-1$ nên $\frac { a } { 2 }=-1⇔a=-2$

Vậy hàm số đã cho có $a=-2,\,\,\,b=2.$

Ví dụ 4.3. Cho hàm số hữu tỉ $y=\frac { 2x ^ { 2 } +ax+b } { cx-2 }$ có đồ thị như hình bên. Viết công thức của hàm số.

Lời giải:

• Đồ thị: có đường tiệm cận đứng $x=2$ nên $x=2$ là nghiệm của $cx-2=0$ $⇔c.2-2=0⇔c=1$

Suy ra hàm số có dạng $y=\frac { 2x ^ { 2 } +ax+b } { x-2 }$

• Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm $\left ( { 1;-1 } \right. )$ và $\left ( { 3;7 } \right. )$ nên

$\left\{ \begin{array}{l} y\left ( { 1 } \right. )=-1y\left ( { 3 } \right. )=7 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} \frac { 2+a+b } { 1-2 }=-1\frac { 18+3a+b } { 3-2 }=7 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} a+b=-13a+b=-11 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} a=-5b=4 \end{array} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac { 2x ^ { 2 } -5x+4 } { x-2 }.$

Dạng 5. Nhận dạng đồ thị - bảng biến thiên khi biết hàm số

Vận dụng các kiến thức liên quan: Đơn điệu, Cực trị, Đường tiệm cận

• Bước 1: Tập xác định.

• Bước 2: Sự biến thiên

• Chiều biến thiên.

• Cực trị: .

• Đường tiệm cận.

• Điểm đi qua.

• Bước 3: Kết luận đồ thịPhương pháp

Ví dụ 5.1. Xác định bảng biến thiên của hàm số $y=-x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +9x-9.$

Lời giải:

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

• **Sự biến thiên:**$y'=-3x ^ { 2 } -6x+9,\,\,y'=0⇔\left[ x=1x=-3 \right.$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( { -3;1 } \right. )$, nghịch biến trên khoảng $\left ( { -∞;-3 } \right. )$ và $\left ( { 1;+∞ } \right. ).$

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và $y_{\text{CĐ}} = -4$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-3$ và $y_{\text{CT}} = -36$

• Các giới hạn: $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$

• Bảng biến thiên:

Ví dụ 5.2. Xác định đồ thị của hàm số hữu tỉ $y=\frac{x^2+3}{x+1}$.

Lời giải:

• Tập xác định: $D=\mathbb{R} \setminus \{-1\}$

• Sự biến thiên:

Ta có $y=\frac{x^2+3}{x+1}=x-1+\frac{4}{x+1}$

Đạo hàm $y'=1-\frac{4}{(x+1)^2}$, $y'=0 \Leftrightarrow (x+1)^2-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+1=2 \\ x+1=-2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-3 \end{array} \right.$

Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -3)$ và $(1; +\infty)$.

Hàm số nghịch biến trên $(-3; -1)$ và $(-1; 1)$.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và $y_{\text{CĐ}} = -6$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và $y_{\text{CT}} = 2$

• Các giới hạn:

Ta có $$\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } y=+∞; \mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } y=-∞$$

Và $\mathop { lim } \limits_{ x→-∞ } \left[ y-\left ( { x-1 } \right. ) \right]=0;\mathop { lim } \limits_{ x→+∞ } \left[ y-\left ( { x-1 } \right. ) \right]=0$ $⇒$ đồ thị có đường tiệm cận xiên là $y=x-1$

Mặt khác $\mathop { lim } \limits_{ x→\left ( { -1 } \right. ) ^ { + } } y=+∞; \mathop { lim } \limits_{ x→\left ( { -1 } \right. ) ^ { - } } y=-∞$ $⇒$ đồ thị có đường tiệm cận đứng là $x=-1$

• Đồ thị:

Dạng 6. Xác định dấu – giá trị các hệ số

• Loại 1: Hàm đa thức bậc ba $$y=f\left ( { x } \right. )=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d\,\,\left ( { a≠0 } \right. )$$

• Bước 1: Nhìn vào nhánh ngoài cùng của đồ thị Xác định dấu của hệ số $a$.

• Bước 2: Điểm cắt trục tung: xác định dấu hệ số $d$.

• Bước 3: Nhìn vào hai điểm cực trị (nếu có):

• Phương trình $y'=0⇔3ax ^ { 2 } +2bx+c=0$.

• Nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị $⇒\Delta '=b ^ { 2 } -3ac≤0$.

• Nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: Các điểm cực trị $x_{ 1 } \,,x_{ 2 }$ của hàm số là hai nghiệm của phương trình $y'=0$. Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =-\frac { 2b } { 3a }x_{ 1 } x_{ 2 } =\frac { c } { 3a } \end{array} \right.$ (Vi-ét). Dựa vào vị trí của $x_{ 1 } \,,x_{ 2 }$ để suy luận các phép tính $x_{ 1 } +x_{ 2 }$ và $x_{ 1 } x_{ 2 }$ mang dấu gì. Nếu không cho tọa độ rõ ràng, ước lượng khoảng cách từ $O$ tới các điểm $x_{ 1 } ,x_{ 2 }$.

• Bước 4: Xác định tọa độ các điểm đã cho.

• Bước 5: Dựa vào điểm uốn $U$

• Là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

• $x_{ U }$ là nghiệm của phương trình $y''=0$.

• Điểm $U$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị.⁂ Nhận xét: Bảng biến thiên mô phỏng đồ thị hàm số. Cách đọc bảng biến thiên giống như cách đọc đồ thị.

• Loại 2: Hàm phân thức $y=\frac { ax+b } { cx+d }$ và $y=\frac { ax ^ { 2 } +bx+c } { dx+e }$.

• Bước 1: Xác định các đường tiệm cận. Dùng công thức tính nhanh định nghĩa) để tìm mối quan hệ giữa các hệ số. Lưu ý: Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

• Bước 2: Xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số: giao với các trục tọa độ, cực trị.

• Bước 3: Từ hình dáng đồ thị (bảng biến thiên), xác định dấu của đạo hàm dựa vào các khoảng đồng biến/nghịch biến. Từ đó xác định dấu của các hệ số. Phương pháp

Ví dụ 6.1. Cho hàm số bậc ba $y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d$ có đồ thị như hình bên dưới. Trong các hệ số $a,\,b,\,c,\,d$ có bao nhiêu giá trị dương?

Lời giải:

• Ta có $y'=3ax ^ { 2 } +2bx+c$

• Đồ thị: có nhánh cuối cùng đi lên nên $a>0$

• Đồ thị: giao với trục $Oy$ tại điểm có tung độ lớn hơn $0$ nên $d>0$

• Từ đồ thị ta thấy hàm số có 1 điểm cực trị bằng $0$ nên $c=0$ và một điểm cực trị dương nên $-\frac { 2b } { 3a }>0⇒b < 0$

Vậy trong các hệ số $a,\,b,\,c,\,d$ có 2 giá trị dương là $a$ và $d.$

Ví dụ 6.2. Cho hàm số hữu tỉ $y=ax+2+\frac { b } { x+c }$ có đồ thị như hình bên. Tính $P=a+b+c.$

Lời giải:

Ta có $y=ax+2+\frac { b } { x+c }$

• Nên đồ thị của hàm số có đường tiệm cận xiên là $y=ax+2$, mà như hình vẽ đường tiệm cận xiên đi qua điểm $\left ( { 1;1 } \right. )$ suy ra $1=a.1+2⇔a=-1$

• Đồ thị: của hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$ nên $1+c=0⇔c=-1$

Khi đó hàm số đã cho có dạng $y=-x+2+\frac { b } { x-1 }$

• Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm $\left ( { 0;3 } \right. )$ nên $-0+2+\frac { b } { 0-1 }=3⇔2-b=3⇔b=-1$

Vậy $P=a+b+c=-1+\left ( { -1 } \right. )+\left ( { -1 } \right. )=-3.$

Dạng 7. Đọc đồ thị của đạo hàm

Xác định tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$,$g\left ( { x } \right. )=f\left ( { u\left ( { x } \right. ) } \right. )$,$g\left ( { x } \right. )=g\left ( { f\left ( { x } \right. ) } \right. )$ khi biết đồ thị (bảng biến thiên) của đồ thị đạo hàm $y=f'\left ( { x } \right. )$ hoặc $y=f'\left ( { u\left ( { x } \right. ) } \right. )$

• Bước 1: Tính $g'\left ( { x } \right. )$ (chú ý hàm hợp dạng $g\left ( { x } \right. )=f\left ( { u\left ( { x } \right. ) } \right. )$ $⇒g'\left ( { x } \right. )=u'\left ( { x } \right. ).f'\left ( { u\left ( { x } \right. ) } \right. )$)
• Bước 2: Giải $g'\left ( { x } \right. )=0$ ta được $x_{ 1 } ;x_{ 2 } ...;x_{ i }$ là các điểm mà tại đó $g'\left ( { x } \right. )=0$ hoặc $g'\left ( { x } \right. )$ không xác định.
• Bước 3: Lập bảng xét dấu của $g'\left ( { x } \right. )→$ lập được bảng biến thiên của hàm số $y=g\left ( { x } \right. )$. Dựa vào bảng biến thiên xét các tính chất đơn điệu, cực trị, min, max…Phương pháp

Ví dụ 7.1. Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên $\mathbb{R}$,$y=f'\left ( { x } \right. )$ có đồ thị trong hình dưới đây. Lập bảng xét dấu của $y=f'\left ( { x } \right. )$?

Lời giải:

• Từ đồ thị của $y=f'\left ( { x } \right. )$ ta có,$f'\left ( { x } \right. )=0⇔\left[ x=-2x=1 \right.$
• Bảng xét dấu của $y=f'\left ( { x } \right. )$:

Lời giải:

Từ đồ thị của $f'\left ( { x } \right. )$ ta có,$f'\left ( { x } \right. )=0⇔\left[ x=x_{ 1 } x=1x=3 \right.\,\,\,\left ( { x_{ 1 } < 0 } \right. )$

Bảng biến thiên của $y=f\left ( { x } \right. )$:

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$.

Ví dụ 7.3. Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f'\left ( { x } \right. )$ có đồ thị như hình vẽ. Xác định giá trị lớn nhất của hàm số $g\left ( { x } \right. )=f\left ( { 2x-1 } \right. )-2x+1$ trên $\left[ 0;1 \right]$

Lời giải:

Ta có $g'\left ( { x } \right. )=2f'\left ( { 2x-1 } \right. )-2$

Cho $g'\left ( { x } \right. )≥0⇔2f'\left ( { 2x-1 } \right. )-2≥0⇔f'\left ( { 2x-1 } \right. )≥1$

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left ( { x } \right. )$ ta thấy trên $\left[ 0;1 \right]$:

• Đường thẳng $y=1$ cắt $y=f'\left ( { x } \right. )$ tại $x=0$.
• $y=f'\left ( { x } \right. )$ nằm phía trên $y=1$ khi $x < 0$
• $y=f'\left ( { x } \right. )$ nằm phía dưới $y=1$ khi $x>0$

Do đó $f'\left ( { 2x-1 } \right. )≥1⇔2x-1≤0⇔x≤\frac { 1 } { 2 }$

Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số $g\left ( { x } \right. )$ như sau

Từ BBT giá trị lớn nhất của hàm số $y=g\left ( { x } \right. )$ trên đoạn $\left[ 0\,;\,1 \right]$ là $f\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right. )$

Dạng 8. Sự tương giao

Các hàm số $y=f\left ( { x } \right. ),\,\,\,y=g\left ( { x } \right. )$ có đồ thị lần lượt là các đường $\left ( { C_{ 1 } } \right. ),\,\,\left ( { C_{ 2 } } \right. )$, khi đó:

• Số nghiệm của phương trình $f\left ( { x } \right. )=g\left ( { x } \right. )$ chính là số giao điểm của các đồ thị $\left ( { C_{ 1 } } \right. ),\,\,\left ( { C_{ 2 } } \right. )$.

• Số giao điểm của các đường $\left ( { C_{ 1 } } \right. ),\,\,\left ( { C_{ 2 } } \right. )$ chính là số nghiệm của phương trình $f\left ( { x } \right. )=g\left ( { x } \right. )$. Phương pháp

Ví dụ 8.1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để đồ thị của hàm số $y=3x ^ { 3 } -9x+3\left ( { m-1 } \right. )$ giao với trục hoành tại hai điểm phân biệt?

Lời giải:

• Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=3x ^ { 3 } -9x+3\left ( { m-1 } \right. )$ với trục hoành là:$$3x ^ { 3 } -9x+3\left ( { m-1 } \right. )=0⇔-x ^ { 3 } +3x=m-1\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right. )$$
• Xét hàm số $f\left ( { x } \right. )=-x ^ { 3 } +3x\,\,\,\,(C)$ có $f'\left ( { x } \right. )=-3x ^ { 2 } +3=0⇔\left[ x=1x=-1 \right.$

Vậy chỉ có một giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 8.2. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $y=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +\left ( { 2m ^ { 2 } +1 } \right. )x+m-3$ và parabol $y=2x ^ { 2 } +x-m-2$ có hai giao điểm phân biệt và tổng hoành độ hai giao điểm đó là ?

Lời giải:

• Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là:

$x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +\left ( { 2m ^ { 2 } +1 } \right. )x+m-3=2x ^ { 2 } +x-m-2⇔x ^ { 3 } -5x ^ { 2 } +2m ^ { 2 } x+2m-1=0\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right. )$

Ycbt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{ 1 } ;\,\,x_{ 2 }$ (trong đó có một nghiệm đơn và một nghiệm kép). Không mất tính tổng quát giả sử nghiệm kép là $x_{ 1 }$.

• Theo Vi - et:$x_{ 1 } +x_{ 2 } =5$.
• Theo đề bài:$x_{ 1 } +x_{ 2 } =3$. Do đó $x_{ 1 } =2,\,\,x_{ 2 } =1$. PT (1) nhận $x_{ 1 } =2,\,\,x_{ 2 } =1$ làm nghiệm nên

$\left\{ \begin{array}{l} 8-20+4m ^ { 2 } +2m-1=01-5+2m ^ { 2 } +2m-1=0 \end{array} \right.$ (vô nghiệm). Không tồn tại giá trị $m$ thỏa mãn.