Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Toán học không sinh ra trong các trang sách lý thuyết tách rời cuộc sống, mà bắt nguồn từ chính nhu cầu thực tiễn của con người: làm thế nào để tiết kiệm chi phí nhất, vận chuyển nhanh nhất, sản xuất đạt lợi nhuận cao nhất và bảo vệ môi trường an toàn nhất.

Trong toàn bộ chương trình Toán phổ thông, Đạo hàm là công cụ trực tiếp và hiệu quả nhất để giải quyết các bài toán tối ưu hóa thực tế thông qua phương pháp Mô hình hóa toán học (Mathematical Modeling):

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Nếu gọi $R(x)$ là doanh thu và $C(x)$ là chi phí sản xuất $x$ sản phẩm, hàm lợi nhuận $\Pi(x)$ được tính bằng công thức nào?
2. Lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại khi mối liên hệ giữa doanh thu biên $R'(x)$ và chi phí biên $C'(x)$ như thế nào?
3. Một bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích $V = 8\text{ m}^3$. Nếu gọi cạnh đáy là $x$, chiều cao $h$ được tính theo $x$ bằng biểu thức nào?
4. Định lý Fermat trong quang học nói rằng: Tia sáng truyền giữa hai điểm theo con đường nào? (Gợi ý: Thời gian truyền ngắn nhất).
5. Khi giải bài toán thực tế, nếu nghiệm tìm được là $x = -5\text{ mét}$, ta có nhận nghiệm này không? Tại sao?

Mẹo hay

Đáp án nhanh:

1. $\Pi(x) = R(x) - C(x)$ (Lợi nhuận = Doanh thu - Chi phí).
2. $\Pi'(x) = 0 \iff R'(x) = C'(x)$ (Doanh thu biên bằng Chi phí biên).
3. $V = x^2 h = 8 \implies h = \frac{8}{x^2}$.
4. Ánh sáng truyền theo đường đi tốn ít thời gian nhất (Principle of Least Time).
5. Loại ngay, vì độ dài kích thước thực tế luôn phải là số thực dương ($x > 0$).

I. Nhóm 1: Tối ưu hóa trong Kinh tế và Quản trị Kinh doanh

Trong kinh tế học, ba đại lượng then chốt là:

• Hàm doanh thu: $R(x) = x \cdot p(x)$, trong đó $x$ là số lượng sản phẩm tiêu thụ, $p(x)$ là giá bán một sản phẩm (hàm cầu).
• Hàm tổng chi phí: $C(x)$, bao gồm chi phí cố định (nhà xưởng, khấu hao) và chi phí biến đổi (nguyên liệu, nhân công).
• Hàm lợi nhuận:$$\Pi(x) = R(x) - C(x)$$

Quan trọng

Quy luật Tối đa hóa Lợi nhuận: Lợi nhuận của doanh nghiệp đạt giá trị lớn nhất khi:

$$\Pi'(x) = 0 \iff R'(x) - C'(x) = 0 \iff \mathbf{R'(x) = C'(x)}$$

Nghĩa là: Doanh thu biên (Marginal Revenue) bằng Chi phí biên (Marginal Cost)!

II. Nhóm 2: Tối ưu hóa trong Kỹ thuật Xây dựng và Giao thông

Bài toán Vận chuyển & Lắp đặt Đường ống (Pipeline Optimization)

Một bài toán kinh điển trong ngành dầu khí và cấp thoát nước: Cần nối một đường ống dẫn từ một giàn khoan ngoài biển về một nhà máy trên đất liền.

• Chi phí đặt ống dưới biển đắt đỏ hơn nhiều so với đặt ống trên cạn ($c_{biển} > c_{cạn}$).
• Nối thẳng vuông góc vào bờ rồi đi trên cạn: Đoạn dưới biển ngắn nhất nhưng tổng chiều dài ống dài.
• Nối thẳng đường chéo từ giàn khoan tới nhà máy: Chiều dài ống ngắn nhất nhưng toàn bộ dưới biển, chi phí cực cao.
• Giải pháp tối ưu: Nối xiên cập bờ tại một vị trí $M$ thích hợp để tổng chi phí là nhỏ nhất!

Công cụ trực quan: Mô phỏng Bài toán Đường ống dẫn Dầu Tối ưu

Một giàn khoan nằm cách bờ biển $6\text{ km}$, nhà máy lọc dầu nằm cách vị trí đối diện giàn khoan trên bờ $10\text{ km}$.

• Chi phí đặt ống dưới biển: $5$ triệu USD/km.
• Chi phí đặt ống trên đất liền: $3$ triệu USD/km.

Hãy kéo thanh trượt điểm cập bờ $x$ (khoảng cách từ điểm chân vuông góc đến điểm cập bờ, $0 \le x \le 10$) để tìm vị trí cập bờ làm tổng chi phí thấp nhất:

III. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Bài toán kinh tế tối ưu giá bán và doanh thu

Bài toán 1: Một rạp chiếu phim có sức chứa $500$ chỗ ngồi. Qua khảo sát thị trường:

• Nếu bán vé với giá $80.000$ đồng/vé thì trung bình mỗi suất chiếu có $300$ khán giả đến xem.
• Cứ mỗi lần giảm giá vé $5.000$ đồng, rạp sẽ thu hút thêm được $50$ khán giả.

Hỏi ban quản lý rạp chiếu phim nên ấn định giá vé là bao nhiêu để tổng doanh thu của mỗi suất chiếu đạt giá trị lớn nhất? Khi đó doanh thu đạt bao nhiêu?

Lời giải: Gọi $x$ là số lần giảm giá vé ($x \ge 0$).

• Giá vé sau khi giảm là:$$p(x) = 80.000 - 5.000x = 5.000(16 - x) \quad (\text{đồng})$$Điều kiện: $p(x) > 0 \implies 0 \le x < 16$.
• Số lượng khán giả đến rạp là:$$q(x) = 300 + 50x = 50(6 + x)$$Vì rạp có tối đa 500 chỗ nên: $300 + 50x \le 500 \iff 50x \le 200 \iff x \le 4$. Vậy miền xác định thực tế của biến số là: $x \in [0; 4]$.

Tổng doanh thu của suất chiếu là:

Lấy đạo hàm để tìm cực trị:

Nhận xét: Giá trị $x = 5$ nằm ngoài khoảng sức chứa $[0; 4]$ của rạp! Ta xét trên đoạn $[0; 4]$:

• $R'(x) = 250.000(10 - 2x) > 0, \forall x \in [0; 4]$. Do đó hàm doanh thu $R(x)$ là hàm đồng biến liên tục trên đoạn $[0; 4]$. Suy ra doanh thu lớn nhất đạt được tại điểm mút bên phải: $x = 4$ (rạp lấp đầy toàn bộ 500 ghế).

Khi $x = 4$:

• Giá vé tối ưu: $p(4) = 80.000 - 5.000(4) = 60.000\text{ đồng/vé}$.
• Doanh thu cực đại đạt được:$$R(4) = 60.000 \times 500 = 30.000.000\text{ đồng (30 triệu đồng)}$$

Dạng 2: Bài toán tối ưu hóa chi phí lắp đặt đường ống

Bài toán 2: (Giải quyết bài toán mô phỏng đường ống dầu phía trên bằng toán học). Một trạm biến áp đặt tại điểm $A$ cách bờ sông thẳng $6\text{ km}$. Một trang trại nông nghiệp đặt tại điểm $B$ trên bờ sông, cách hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên bờ sông một khoảng $10\text{ km}$. Chi phí lắp đường dây điện ngầm dưới lòng sông là $50$ triệu đồng/km, chi phí lắp trên bờ là $30$ triệu đồng/km. Hỏi cần đưa đường dây ngầm cập bờ tại điểm $M$ cách $H$ bao nhiêu km để tổng chi phí kéo đường điện là nhỏ nhất?

Lời giải: Gọi khoảng cách từ $H$ đến điểm cập bờ $M$ là $x\text{ (km)}$ ($0 \le x \le 10$).

• Khoảng cách trên bờ từ $M$ đến trang trại $B$ là:$$MB = 10 - x\text{ (km)}$$
• Khoảng cách đường dây ngầm dưới nước $AM$ (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $AHM$ vuông tại $H$ với $AH = 6$):$$AM = \sqrt{AH^2 + HM^2} = \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 36}\text{ (km)}$$

Tổng chi phí lắp đặt đường dây (tính bằng triệu đồng) là:

Lấy đạo hàm theo $x$:

Giải phương trình $C'(x) = 0$:

Bình phương hai vế (vì $x \ge 0$):

Vì $x \ge 0 \implies x = \frac{9}{2} = 4.5\text{ km}$.

Tính giá trị chi phí tại các điểm:

• $C(0) = 50\sqrt{36} + 30(10) = 300 + 300 = 600$ triệu đồng.
• $C(10) = 50\sqrt{100 + 36} + 0 = 50\sqrt{136} \approx 583.1$ triệu đồng.
• $$C(4.5) = 50\sqrt{(4.5)^2 + 36} + 30(10 - 4.5) = 50(7.5) + 30(5.5) = 375 + 165 = 540$$ triệu đồng.

Kết luận: Tổng chi phí nhỏ nhất là $540$ triệu đồng khi điểm cập bờ $M$ cách $H$ một khoảng đúng bằng $\mathbf{4.5\text{ km}}$.

Dạng 3: Bài toán tối ưu thể tích lăng trụ trong bao bì thực phẩm

Bài toán 3: Một công ty sữa tươi muốn sản xuất hộp sữa hình hộp chữ nhật có thể tích $V = 500\text{ cm}^3$ ($500\text{ ml}$) với đáy là hình vuông cạnh $x\text{ (cm)}$. Tìm độ dài cạnh đáy $x$ để diện tích giấy làm vỏ hộp là nhỏ nhất (bỏ qua mép dán).

Lời giải: Gọi cạnh đáy của hộp là $x\text{ (cm)}$ ($x > 0$), chiều cao của hộp là $h\text{ (cm)}$. Thể tích hộp:

Diện tích toàn phần vỏ hộp (gồm 2 mặt đáy vuông và 4 mặt bên):

Đạo hàm:

Khi đó:

Vì $S''(x) = 4 + \frac{4000}{x^3} > 0, \forall x > 0$ nên $x = \sqrt[3]{500}$ là điểm đạt GTNN toàn cục. Kết luận: Để tốn ít giấy nhất, hộp sữa phải có hình dạng khối lập phương ($x = h = \sqrt[3]{500} \approx 7.94\text{ cm}$).

IV. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)