Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trong cuộc sống hàng ngày và mọi lĩnh vực sản xuất kỹ thuật, con người luôn khao khát đạt được sự hoàn hảo và hiệu quả cao nhất:

• Một doanh nghiệp muốn sản xuất sao cho lợi nhuận là lớn nhất nhưng chi phí là nhỏ nhất.
• Một kiến trúc sư muốn thiết kế một tòa nhà hay bể chứa nước sao cho dung tích chứa là lớn nhất với diện tích vật liệu xây dựng ít tốn kém nhất.
• Một kỹ sư giao thông muốn chọn tuyến đường nối hai thành phố sao cho thời gian di chuyển là ngắn nhất.

Về mặt toán học, tất cả những bài toán tối ưu hóa vĩ đại đó đều quy về bài toán tìm Giá trị lớn nhất (GTLN - Max) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN - Min) của một hàm số. Đạo hàm chính là chiếc la bàn dẫn đường chuẩn xác nhất để tìm ra các giá trị tối ưu này.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Xét hàm số $f(x) = \sin x$ trên toàn trục số $\mathbb{R}$. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng bao nhiêu? Đạt được tại những điểm nào?
2. Cho hàm số $f(x) = x^2$ trên đoạn $[-2; 3]$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là bao nhiêu? Giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
3. Nếu hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên đoạn $[1; 5]$, thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nằm ở đâu?
4. Liệu một hàm số có thể có cực đại nhưng KHÔNG có giá trị lớn nhất trên tập xác định không?
5. Một hình chữ nhật có chu vi cố định là $20\text{ m}$. Diện tích của nó lớn nhất khi hình chữ nhật đó là hình gì?

Mẹo hay

Đáp án nhanh:

1. $\max = 1$ (tại $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$), $\min = -1$ (tại $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$).
2. Đỉnh parabol tại $x = 0 \in [-2; 3] \implies \min = f(0) = 0$. Tại hai mút: $f(-2) = 4, f(3) = 9 \implies \max = 9$.
3. Vì hàm đồng biến nên $\min = f(1)$ và $\max = f(5)$.
4. Hoàn toàn có thể! Ví dụ $y = x^3 - 3x$ có cực đại tại $x = -1$ ($y_{CĐ} = 2$), nhưng khi $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$ nên không có GTLN trên $\mathbb{R}$.
5. Là hình vuông cạnh $5\text{ m}$ (diện tích cực đại $25\text{ m}^2$).

I. Định nghĩa Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập hợp $D \subset \mathbb{R}$.

Quan trọng

Định nghĩa Giá trị lớn nhất (GTLN): Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên tập $D$ nếu:

1. $f(x) \le M$ với mọi $x \in D$.
2. Tồn tại ít nhất một điểm $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$.

Kí hiệu: $M = \max_{x \in D} f(x)$ hoặc $\max_D f(x)$.

Quan trọng

Định nghĩa Giá trị nhỏ nhất (GTNN): Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên tập $D$ nếu:

1. $f(x) \ge m$ với mọi $x \in D$.
2. Tồn tại ít nhất một điểm $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$.

Kí hiệu: $m = \min_{x \in D} f(x)$ hoặc $\min_D f(x)$.

Lưu ý / Cảnh báo

Điểm mấu chốt bắt buộc: Bắt buộc phải có điểm $x_0 \in D$ để dấu bằng xảy ra ($f(x_0) = M$ hoặc $f(x_0) = m$). Ví dụ: Hàm số $y = \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ luôn dương ($y > 0$), nhưng không có GTNN vì không tồn tại bất kỳ số $x > 0$ nào để $\frac{1}{x} = 0$!

II. Phương pháp tìm GTLN và GTNN

1. Quy tắc tìm GTLN và GTNN trên một đoạn $[a; b]$ (Quy tắc 3 bước nhanh)

Mọi hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn luôn đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó (Định lý Weierstrass). Ta tìm được mà không cần lập bảng biến thiên:

Mẹo hay

Quy trình 3 bước tính nhanh trên $[a; b]$:

• Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm tất cả các điểm $x_1, x_2, \dots, x_k$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
• Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các điểm vừa tìm được:$$f(a), \quad f(b), \quad f(x_1), \quad f(x_2), \quad \dots, \quad f(x_k)$$
• Bước 3: So sánh các số tìm được:$$\max_{[a; b]} f(x) = \max\{f(a), f(b), f(x_1), \dots, f(x_k)\}$$$$\min_{[a; b]} f(x) = \min\{f(a), f(b), f(x_1), \dots, f(x_k)\}$$

2. Tìm GTLN và GTNN trên một khoảng $(a; b)$ hoặc nửa khoảng

Đối với khoảng $(a; b)$, hàm số có thể không đạt GTLN hoặc GTNN (ví dụ khi đồ thị tiến ra vô cực tại đầu mút). Phương pháp giải:

1. Tính $f'(x)$ và tìm nghiệm thuộc khoảng $(a; b)$.
2. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $(a; b)$.
3. Tính các giới hạn tại hai đầu mút: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ và $\lim_{x \to b^-} f(x)$.
4. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận hàm số có đạt GTLN, GTNN hay không và chỉ ra giá trị đó.

Công cụ trực quan: Bài toán Tối ưu Thể tích Hộp Cắt Góc

Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $12\text{ cm}$, người ta cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ cạnh $x\text{ (cm)}$ ở 4 góc, sau đó gập các mép lại để tạo thành một chiếc hộp chữ nhật không nắp có thể tích:

Hãy kéo thanh trượt cạnh cắt $x$ để quan sát đồ thị thể tích $V(x)$ và tìm kích thước cắt tạo ra chiếc hộp có dung tích chứa lớn nhất:

III. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN trên một đoạn $[a; b]$

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35$ trên đoạn $[-4; 4]$.
b) $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ trên đoạn $[0; 4]$.
c) $f(x) = x + \sqrt{4 - x^2}$ trên tập xác định của nó.

Lời giải: a) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35$ trên $[-4; 4]$:

• Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3)$.
• Nghiệm: $f'(x) = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = 3$ (cả hai nghiệm đều thuộc $(-4; 4)$).
• Tính giá trị tại các điểm nghi ngờ và hai đầu mút:
  • $f(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) + 35 = -64 - 48 + 36 + 35 = -41$.
  • $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 35 = -1 - 3 + 9 + 35 = 40$.
  • $f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 35 = 27 - 27 - 27 + 35 = 8$.
  • $f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 35 = 64 - 48 - 36 + 35 = 15$.
• So sánh các kết quả:$$\max_{[-4; 4]} f(x) = f(-1) = 40$$$$\min_{[-4; 4]} f(x) = f(-4) = -41$$

b) $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ trên $[0; 4]$:

• Đạo hàm: $f'(x) = \frac{1(2) - (-1)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2} > 0, \forall x \in [0; 4]$.
• Vì hàm số đồng biến liên tục trên $[0; 4]$ nên:$$\min_{[0; 4]} f(x) = f(0) = \frac{0 - 1}{0 + 2} = -\frac{1}{2}$$$$\max_{[0; 4]} f(x) = f(4) = \frac{4 - 1}{4 + 2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

c) $f(x) = x + \sqrt{4 - x^2}$:

• Tập xác định: $4 - x^2 \ge 0 \iff x \in [-2; 2]$.
• Đạo hàm trên $(-2; 2)$:$$f'(x) = 1 - \frac{2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{\sqrt{4 - x^2} - x}{\sqrt{4 - x^2}}$$
• $f'(x) = 0 \iff \sqrt{4 - x^2} = x \iff \left\{\begin{array}{l} x \ge 0 \\ 4 - x^2 = x^2 \end{array}\right. \iff 2x^2 = 4 \iff x = \sqrt{2} \in (-2; 2)$.
• Tính các giá trị:
  • $f(-2) = -2 + \sqrt{0} = -2$.
  • $f(2) = 2 + \sqrt{0} = 2$.
  • $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$.
• So sánh:$$\max_{[-2; 2]} f(x) = f(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \approx 2.828$$$$\min_{[-2; 2]} f(x) = f(-2) = -2$$

Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN trên một khoảng (dùng Bảng biến thiên)

Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Lời giải:

• Tập xác định đang xét: $D = (0; +\infty)$.
• Đạo hàm:$$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$$
• Nghiệm trên $(0; +\infty)$:$$f'(x) = 0 \iff x^2 - 4 = 0 \iff x = 2 \quad (\text{loại } x = -2)$$
• Bảng biến thiên trên $(0; +\infty)$:

(Giải thích giới hạn: Khi $x \to 0^+ \implies \frac{4}{x} \to +\infty \implies f(x) \to +\infty$; khi $x \to +\infty \implies f(x) \to +\infty$).

• Dựa vào bảng biến thiên:$$\min_{(0; +\infty)} f(x) = f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$$Hàm số không có giá trị lớn nhất trên $(0; +\infty)$.
  (Cách khác: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương $x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$, dấu bằng khi $x = 2$).

Dạng 3: Bài toán tối ưu hóa hình học trong thực tế

Bài toán 3: Một bác nông dân có một cuộn lưới thép dài $60\text{ m}$ muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật sát một bờ tường thẳng có sẵn (bờ tường không cần rào). Hỏi kích thước các cạnh của mảnh vườn là bao nhiêu để diện tích được rào là lớn nhất? Diện tích lớn nhất đó bằng bao nhiêu?

Lời giải: Gọi $x$ (mét) là chiều rộng của mảnh vườn vuông góc với bờ tường ($0 < x < 30$). Vì một cạnh dài đã có bờ tường chắn nên bác nông dân chỉ cần rào 2 cạnh chiều rộng và 1 cạnh chiều dài song song với tường. Độ dài cạnh chiều dài song song với tường là:

Diện tích mảnh vườn là một hàm số theo $x$:

Đạo hàm:

Vì $S''(x) = -4 < 0$ nên $x = 15$ là điểm cực đại và cũng là điểm đạt GTLN trên khoảng $(0; 30)$.

• Chiều rộng: $x = 15\text{ m}$.
• Chiều dài: $y = 60 - 2(15) = 30\text{ m}$.
• Diện tích lớn nhất của mảnh vườn là:$$S_{max} = 15 \times 30 = 450\text{ m}^2$$

IV. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)

V. Ứng dụng Thực tế: Thiết kế Lon Nước Ngọt Tiết kiệm Chi phí Kim loại

Một bài toán tối ưu kinh điển của các tập đoàn nước giải khát toàn cầu (như Coca-Cola hay Pepsi):

Mẹo hay

Giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm:

1. Thể tích hình trụ: $V = \pi r^2 h = 330 \implies h = \frac{330}{\pi r^2}$.
2. Diện tích toàn phần của lon (gồm 2 đáy và diện tích xung quanh):$$S_{tp}(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{330}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{660}{r} \quad (r > 0)$$
3. Lấy đạo hàm tìm điểm cực tiểu:$$S'_{tp}(r) = 4\pi r - \frac{660}{r^2} = \frac{4\pi r^3 - 660}{r^2}$$$$S'_{tp}(r) = 0 \iff 4\pi r^3 = 660 \iff 2\pi r^3 = 330$$
4. So sánh với công thức thể tích ban đầu $330 = \pi r^2 h$:$$2\pi r^3 = \pi r^2 h \iff h = 2r = d$$Kết luận ngoạn mục: Vỏ lon sẽ tốn ít nhôm nhất khi chiều cao lon bằng đúng đường kính đáy ($h = 2r$)!