Bài tập Toán 12: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Tóm tắt chuyên đề: Tổng hợp bài tập Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Toán 12 chương trình GDPT mới gồm lý thuyết trọng tâm, các dạng bài tập tìm max min, trắc nghiệm tự chấm và đáp án chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ xác định trên D Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ trên $D$ nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left ( { x } \right. )≤M;∀x∈D∃x_{ 0 } ∈D:f\left ( { x_{ 0 } } \right. )=M \end{array} \right.,$ ta kí hiệu $M=\mathop { max } \limits_{ x∈D } f\left ( { x } \right. )$ hoặc $M=\mathop { max } \limits_{ D } f\left ( { x } \right. )$. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left ( { x } \right. )≥M;∀x∈D∃x_{ 0 } ∈D:f\left ( { x_{ 0 } } \right. )=M \end{array} \right.,$ ta kí hiệu $m=\mathop { min } \limits_{ x∈D } f\left ( { x } \right. )$ hoặc $m=\mathop { min } \limits_{ D } f\left ( { x } \right. )$.

• Quy ước rằng khi nói GTLN và GTNN của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ (mà không xét “trên tập $D$”) thì ta hiểu đó là GTLN hay GTNN của $y=f\left ( { x } \right. )$ trên tập xác định của hàm số.

• Để tìm GTLN hay GTNN của hàm số trên tập $D$, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $D$ để kết luận. Chú ý

2. Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trên đoạn

Cách tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trên đoạn. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$: Bước 1: Tìm các điểm $x_{ 1 } ;x_{ 2 } ;...;x_{ n }$ thuộc $\left ( { a;b } \right. )$ sao cho $f'\left ( { x } \right. )=0$. Bước 2: Tính $$f\left ( { a } \right. );f\left ( { x_{ 1 } } \right. );f\left ( { x_{ 2 } } \right. );...;f\left ( { x_{ n } } \right. );f\left ( { b } \right. ).$$ Bước 3: Gọi $M$ là số lớn nhất và $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị ở Bước 2. Khi đó $M=\mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right. )$ và $m=\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right. )$.

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$:

• Bước 1: Tìm các điểm $x_{ 1 } ;x_{ 2 } ;...;x_{ n }$ thuộc $\left ( { a;b } \right. )$ sao cho $f'\left ( { x } \right. )=0$.
• Bước 2: Tính $$f\left ( { a } \right. );f\left ( { x_{ 1 } } \right. );f\left ( { x_{ 2 } } \right. );...;f\left ( { x_{ n } } \right. );f\left ( { b } \right. )$$
• Bước 3: Gọi $M$ là số lớn nhất và $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị ở Bước 2. Khi đó $M=\mathop { max } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right. )$ và $m=\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right. )$. Phương pháp

Ví dụ 1.1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } -3x+1$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$.

Lời giải:

Ta có:$$f'\left ( { x } \right. )=0⇔3x ^ { 2 } -3=0⇔\left[ x=1\,\,\left ( { n } \right. )x=-1\,\left ( { n } \right. ) \right.$$

Ta có:$$f\left ( { -2 } \right. )=-1;\,\,f\left ( { -1 } \right. )=3;\,\,f\left ( { 1 } \right. )=-1;\,\,f\left ( { 2 } \right. )=3$$

Vậy $\mathop { max } \limits_{ \left[ -2;2 \right] } f\left ( { x } \right. )=3$ khi $\left[ x=-1x=2 \right.$ và $\mathop { min } \limits_{ \left[ -2;2 \right] } f\left ( { x } \right. )=-1$ khi $\left[ x=-2x=1 \right.$.

Ví dụ 1.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f\left ( { x } \right. )=x\sqrt{ 1-x ^ { 2 } }$

Lời giải:

Điều kiện:$1-x ^ { 2 } ≥0⇔-1≤x≤1$.

Ta có:$$f'\left ( { x } \right. )=0⇔\sqrt{ 1-x ^ { 2 } }+x.\frac { -x } { \sqrt{ 1-x ^ { 2 } } }=0⇔1-x ^ { 2 } -x ^ { 2 } =0⇔\left[ x=\frac { -\sqrt{ 2 } } { 2 }\,\,\left ( { n } \right. )x=\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 }\,\,\left ( { n } \right. ) \right.$$

Ta có:$$f\left ( { -1 } \right. )=0;\,\,f\left ( { \frac { -\sqrt{ 2 } } { 2 } } \right. )=\frac { -1 } { 2 };\,\,f\left ( { \frac { \sqrt{ 2 } } { 2 } } \right. )=\frac { 1 } { 2 };\,\,f\left ( { 1 } \right. )=0$$

Vậy $\mathop { max } \limits_{ \left[ -1;1 \right] } f\left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { 2 }$ khi $x=\frac { \sqrt{ 2 } } { 2 }$ và $\mathop { min } \limits_{ \left[ -1;1 \right] } f\left ( { x } \right. )=\frac { -1 } { 2 }$ khi $x=\frac { -\sqrt{ 2 } } { 2 }$.

Dạng 2. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left ( { x } \right. )$ trên khoảng $\left ( { a;b } \right. )$

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$.

• $f\left ( { x } \right. )$ không liên tục trên $\left ( { a;b } \right. )$ $⇒$ Không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

• $f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên $\left ( { a;b } \right. )$ $⇒$ Bước tiếp theo

• Bước 2: Tính đạo hàm $y'=f'\left ( { x } \right. )$.

• Bước 3: Tìm các điểm $x_{ 1 } ;x_{ 2 } ;...;x_{ n }$ thuộc $\left ( { a;b } \right. )$ sao cho

• $f'\left ( { x } \right. )=0$, hoặc

• $f'\left ( { x } \right. )$ không xác định.

• Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ trên khoảng $\left ( { a;b } \right. )$ cho trước.

• Bước 5: Xác định điểm “cao nhất” và điểm “thấp nhất” của đồ thị hàm số trên $\left ( { a;b } \right. )$.

• Bước 6: Kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$.⁂ Nhận xét: Nếu đề bài không cho sẵn $\left ( { a;b } \right. )$ thì thường sẽ lấy luôn tập xác định làm khoảng phải xét. Đây là phương pháp tổng quát, tùy vào bài toán sẽ giản lược bớt 1 vài bước. Phương pháp

Ví dụ 2.2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x ^ { 2 } +2x+4$ trên khoảng $\left ( { 0;3 } \right. )$.

Lời giải:

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\left ( { 0;3 } \right. )$.

Ta có:$y'=-2x+2⇒y'=0⇔x=1\,\,\left ( { n } \right. )$

Từ bảng biến thiên, ta có $\mathop { max } \limits_{ \left ( { 0;\,3 } \right. ) } y=5$ tại $x=1$.

Ví dụ 2.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } -3x-4$ trên $\left [ { -3;2 } \right. )$.

Lời giải:

Ta có:$$f'\left ( { x } \right. )=0⇔3x ^ { 2 } -3=0⇔\left[ x=1\,\,\left ( { n } \right. )x=-1\,\left ( { n } \right. ) \right.$$

Vậy $\mathop { max } \limits_{ \left [ { -3;2 } \right. ) } f\left ( { x } \right. )=-2$ khi $x=-1$ và $\mathop { min } \limits_{ \left [ { -3;2 } \right. ) } f\left ( { x } \right. )=-22$ khi $x=-3$.

Ví dụ 2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\frac { 4 } { x }$ trên khoảng $\left ( { 0;+∞ } \right. )$.

Lời giải:

Điều kiện:$x≠0$.

Ta có:$$y'=1-\frac { 4 } { x ^ { 2 } }⇒y'=0⇔\left[ x=2∈\left ( { 0;+∞ } \right. )x=-2∉\left ( { 0;+∞ } \right. ) \right..$$

Vậy:$\mathop { min } \limits_{ \left ( { 0;+∞ } \right. ) } y=y\left ( { 2 } \right. )=4$.

Ví dụ 2.3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $f\left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { x ^ { 2 } -1 }$ trên $\left ( { -1;-∞ } \right. )$.

Lời giải:

Điều kiện:$x ^ { 2 } -1≠0⇔x≠±1$.

Ta có:$$f'\left ( { x } \right. )=0⇔\frac { -2x } { \left ( { x ^ { 2 } -1 } \right. ) ^ { 2 } }=0⇔x=0\,\,\left ( { n } \right. ).$$

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Dạng 3. Sử dụng cách đánh giá để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

⁂ Sử dụng bất đẳng thức thường gặp:Bất đẳng thức Cô-si:

• Với hai số thực không âm:$a+b≥2\sqrt{ ab }$. Dấu bằng xảy ra $⇔$ $a=b$.

• Với ba số thực không âm:$a+b+c≥3\sqrt[3] { abc }$. Dấu bằng xảy ra $⇔$ $a=b=c$.

• Với $n$ thực không âm:$a_{ 1 } +a_{ 2 } +…+a_{ n } ≥n\sqrt[n] { a_{ 1 } a_{ 2 } …a_{ n } }$. Dấu bằng xảy ra $⇔$ $a_{ 1 } =a_{ 2 } =…=a_{ n }$. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

• Dạng cơ bản:$\left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } \right. )\left ( { c ^ { 2 } +d ^ { 2 } } \right. )≥\left ( { ac+bd } \right. ) ^ { 2 }$. Dấu “$=$” xảy ra $⇔$ $\frac { a } { c }=\frac { b } { d }$.

• Dạng tổng quát: Với hai bộ số $\left ( { a_{ 1 } ,a_{ 2 } ,…,a_{ n } } \right. )$ và $\left ( { b_{ 1 } ,b_{ 2 } ,…,b_{ n } } \right. )$ ta có:$\left ( { a_{ 1 } ^{ 2 }+a_{ 1 } ^{ 2 }+…+a_{ n } ^{ 2 } } \right. )\left ( { b_{ 1 } ^{ 2 }+b_{ 2 } ^{ 2 }+…+b_{ n } ^{ 2 } } \right. )≥\left ( { a_{ 1 } b_{ 1 } +a_{ 2 } b_{ 2 } +…+a_{ n } b_{ n } } \right. ) ^ { 2 }$ Dấu “$=$” xảy ra $⇔$ $$\frac { a_{ 1 } } { b_{ 1 } }=\frac { a_{ 2 } } { b_{ 2 } }=...=\frac { a_{ n } } { b_{ n } }.$$⁂ Sử dụng “Tập giá trị” của hàm số lượng giác:

• Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác:$⇒$ Phương pháp

Ví dụ 3.1. Giả sử $M$ và $m$ lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số $y=2+3sinx$. Tính $M+m$.

Lời giải:

Vì $-1≤sinx≤1,\,∀x∈\mathbb{R}$ nên $-3≤3sinx≤3⇔-1≤2+3sinx≤5$.

$M=5$, đạt được khi $sinx=1⇔x=\frac { π } { 2 }+k2π\,\,\left ( { k∈\mathbb{Z} } \right. )$.

$m=-1$, đạt được khi $sinx=-1⇔x=\frac { -π } { 2 }+k2π\,\,\left ( { k∈\mathbb{Z} } \right. )$.

Suy ra $M+m=4$.

Ví dụ 3.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left ( { x } \right. )=\frac { 386x } { x ^ { 2 } +2x+5 }$ với $x>0$.

Lời giải:

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:$x+\frac { 5 } { x }≥2\sqrt{ 5 }$ $⇒x+\frac { 5 } { x }+2≥2\sqrt{ 5 }+2$

$⇒\frac { 386 } { x+\frac { 5 } { x }+2 }≤\frac { 386 } { 2\sqrt{ 5 }+2 }$ $⇒f\left ( { x } \right. )=\frac { 386x } { x ^ { 2 } +2x+5 }≤\frac { 386 } { 2\sqrt{ 5 }+2 }$

Dấu $''=''$ xảy ra $⇔x=\frac { 5 } { x }$ $⇔x ^ { 2 } =5$ $⇔x=\sqrt{ 5 }$ (vì $x>0$)

Dạng 4. Ứng dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

Bài toán bất phương trình

• Bước 1: Chuyển bất phương trình đã cho về dạng $f\left ( { x } \right. )-g\left ( { x } \right. )≥0$ và tìm điều kiện tồn tại của bất phương trình
• Bước 2: Đặt hàm số $$y=h\left ( { x } \right. )=f\left ( { x } \right. )-g\left ( { x } \right. ),$$ Xét tính đơn điệu của $y=h\left ( { x } \right. )$ trên điều kiện xác định.
• Bước 3: Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bài toán bất phương trình chứa tham sốTa đưa bất phương trình đề bài cho về một trong các dạng sau
• $m≥f\left ( { x } \right. )$ nghiệm đúng với mọi $x∈D$ thì $m≥\mathop { max } \limits_{ D } f\left ( { x } \right. )$
• $m≤f\left ( { x } \right. )$ nghiệm đúng với mọi $x∈D$ thì $m≤\mathop { min } \limits_{ D } f\left ( { x } \right. )$
• $m≥f\left ( { x } \right. )$ có nghiệm $x∈D$ thì $m≥\mathop { min } \limits_{ D } f\left ( { x } \right. )$
• $m≥f\left ( { x } \right. )$ có nghiệm $x∈D$ thì $m≥\mathop { min } \limits_{ D } f\left ( { x } \right. )$⁂ Nhận xét: Nếu $y=f\left ( { x } \right. )$: đồng biến trên $\left[ a;b \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l} \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { a } \right. )\mathop { { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } } } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { b } \right. ) \end{array} \right.$. nghịch biến trên $\left[ a;b \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l} \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { b } \right. )\mathop { { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } } } \limits_{ \left[ a;b \right] } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { a } \right. ) \end{array} \right.$

  

Phương pháp

Ví dụ 4.1. Tìm $m$ bất để phương trình $x ^ { 3 } -3x-m>0$ có nghiệm $x∈\left[ 0;2 \right]$?

Lời giải:

$x ^ { 3 } -3x-m=0⇔x ^ { 3 } -3x>m\left ( { 1 } \right. )$.

Xét hàm số $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } -3x$ trên $\left[ 0;2 \right]$ có $$f'\left ( { x } \right. )=3x ^ { 2 } -3⇒f'\left ( { x } \right. )=0⇔\left[ x=1∈\left[ 0;2 \right]x=-1∉\left[ 0;2 \right] \right.$$

Ta có $f\left ( { 0 } \right. )=0$;$f\left ( { 1 } \right. )=-2$;$f\left ( { 2 } \right. )=2$.

Suy ra $\mathop { { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } } } \limits_{ \left[ 1;2 \right] } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { 2 } \right. )=2$.

Để bất phương trình $\left ( { 1 } \right. )$ có nghiệm $x∈\left[ 0;2 \right]$ thì $m≤\mathop { { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } } } \limits_{ \left[ 0;2 \right] } f\left ( { x } \right. )=2$

Ví dụ 4.2. Giải bất phương trình:$\sqrt{ 5x-1 }+\sqrt{ x+3 }≥4$

Lời giải:

Điều kiện:$x≥\frac { 1 } { 5 }$.

$\sqrt{ 5x-1 }+\sqrt{ x+3 }≥4⇔\sqrt{ 5x-1 }+\sqrt{ x+3 }-4≥0$.

Xét hàm số:$y=f\left ( { x } \right. )=\sqrt{ 5x-1 }+\sqrt{ x+3 }-4$ liên tục trên nửa khoảng $\left [ { \frac { 1 } { 5 };+∞ } \right. )$.

Ta có:$f'\left ( { x } \right. )=\frac { 5 } { 2\sqrt{ 5x-1 } }+\frac { 1 } { 2\sqrt{ x+3 } }>0,∀x>\frac { 1 } { 5 }$

$⇒f\left ( { x } \right. )$ đồng biến trên $\left [ { \frac { 1 } { 5 };+∞ } \right. )$.

Mặt khác:$f\left ( { 1 } \right. )=0$. Khi đó bất phương trình đã cho $⇔f\left ( { x } \right. )≥f\left ( { 1 } \right. )=0\,$.

Vậy nghiệm bất phương trình là :$x≥1$.

Ví dụ 4.3. Giải bất phương trình:$\sqrt{ 2x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } +6x+16 }-\sqrt{ 4-x }≥2\sqrt{ 3 }$

Lời giải:

Điều kiện:$-2≤x≤4$.

Xét $f\left ( { x } \right. )=\sqrt{ 2x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } +6x+16 }-\sqrt{ 4-x }-2\sqrt{ 3 }$ trên $\left[ -2;4 \right]$.

Có $f'\left ( { x } \right. )=\frac { 3\left ( { x ^ { 2 } +x+1 } \right. ) } { \sqrt{ 2x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } +6x+16 } }+\frac { 1 } { 2\sqrt{ 4-x } }>0,\,∀x∈\left ( { -2;4 } \right. )$.

Do đó hàm số đồng biến trên $\left[ -2;4 \right]$

Mặt khác:$f\left ( { 1 } \right. )=0$. Khi đó bất phương trình đã cho $⇔f\left ( { x } \right. )≥f\left ( { 1 } \right. )=2\sqrt{ 3 }⇔x≥1$.

So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là $\left[ 1;4 \right]$.

Ví dụ 4.4. Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$. Hàm số $y=f'\left ( { x } \right. )$ có bảng biến thiên như sau:

Biết bất phương trình $f\left ( { x } \right. )>logx-m$ nghiệm đúng $∀x∈\left ( { 1;6 } \right. )⇔m≥loga-f\left ( { a } \right. )$. Tính $a-b$.

Lời giải:

Ta có:$f\left ( { x } \right. )>logx-m,∀x∈\left ( { 1;6 } \right. )$ $⇔m>logx-f\left ( { x } \right. ),{ \rm{ } }∀x∈\left ( { 1;6 } \right. )$.

Xét hàm số:$h\left ( { x } \right. )=logx-f\left ( { x } \right. )$ trên khoảng $\left ( { 1;6 } \right. )$.

Có $h'\left ( { x } \right. )=\frac { 1 } { xln10 }-f'\left ( { x } \right. )$.

Từ bảng biến thiên suy ra:$f'\left ( { x } \right. ) < 0,∀x∈\left ( { 1;6 } \right. )$ và $\frac { 1 } { xln10 }>0,∀x∈\left ( { 1;6 } \right. )$

$⇒h'\left ( { x } \right. )>0$,$∀x∈\left ( { 1;6 } \right. ).$

Ta có bảng biến thiên của $h\left ( { x } \right. )$:

Từ bảng biến thiên suy ra để bất phương trình:$m>logx-f\left ( { x } \right. )$,$∀x∈\left ( { 1;6 } \right. )$.$⇔m≥log6-f\left ( { 6 } \right. )$.

Suy ra $a=6;b=6$. Nên $a-b=0$.

Dạng 5. Bài toán thực tế áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

• Bước 1: Gọi ẩn và xác định điều kiện cho ẩn.
• Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết.
• Bước 3: Xét hàm số biểu thị đại lượng mà đề bài yêu cầu. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đó trên điều kiện của ẩn.
• Bước 4: Kết luận. Phương pháp

Ví dụ 5.1. Tính diện tích lớn nhất $S_{ max }$ của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $R=6 { \rm{ c } }{ \rm{ m } }$ nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

Lời giải:

• Cách 1:

Gọi chiều dài $AD=2x\left ( { 0 < x < 6 } \right. )$ $⇒AB=\sqrt{ 36-x ^ { 2 } }{ \rm{ . } }{ \rm{ } }$

Diện tích hình chữ nhật là $S=2x\sqrt{ 36-x ^ { 2 } }$.

Xét $f\left ( { x } \right. )=x\sqrt{ 36-x ^ { 2 } }$ trên $\left ( { 0;6 } \right. )$, ta có $$f'\left ( { x } \right. )=\sqrt{ 36-x ^ { 2 } }-\frac { x ^ { 2 } } { \sqrt{ 36-x ^ { 2 } } }=0⇔x=±3\sqrt{ 2 }.$$

Vây giá tri lớn nhất của diện tích hình chữ nhậtABCDlà $36 { \rm{ c } }{ \rm{ m } } ^ { 2 }$.

• Cách 2:

Đặt $AB=CD=2x\left ( { 0 < x < 6 } \right. )$. Khi đó $AD=\sqrt{ DO ^ { 2 } -AO ^ { 2 } }=\sqrt{ 36-x ^ { 2 } }$.

Suy ra $S_{ ABCD } =2x\sqrt{ 36-x ^ { 2 } }≤2⋅\frac { x ^ { 2 } +36-x ^ { 2 } } { 2 }=36.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=\sqrt{ 36-x ^ { 2 } }$ hay $x=3\sqrt{ 2 }$.

Vây giá tri lớn nhất của diện tích hình chữ nhâtABCDlà $36 { \rm{ c } }{ \rm{ m } } ^ { 2 }$.

Ví dụ 5.2. Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy $A$ và $B$. Máy $A$ làm việc trong $x$ ngày và cho số tiền lãi là $x ^ { 3 } +2x$ (triệu đồng), máy $B$ làm việc trong $y$ ngày và cho số tiền lãi là $326y-27y ^ { 3 }$ (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng máy $A$ trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy $A$ và $B$ không đồng thời làm việc, máy $B$ làm việc không quá 6 ngày).

Lời giải:

Theo giả thiết :

• Thời gian làm việc của máy $A$ là $x$ ngày.
• Thời gian làm việc của máy $B$ là $y$ ngày.

Nên ta có $x+y=10⇔y=10-x \left ( { * } \right. )$.

Và $0 < y≤6⇒4≤x < 10$.

Số tiền lãi $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } +2x+326\left ( { 10-x } \right. )-27\left ( { 10-x } \right. ) ^ { 3 }$ (thay $\left ( { * } \right. )$ vào).

$⇔f\left ( { x } \right. )=28x ^ { 3 } -810x ^ { 2 } +7776x-23740$ với $x∈\left [ { 4;10 } \right. )$.

Ta có $f'\left ( { x } \right. )=84x ^ { 2 } -1620x+7776$.

$$f'\left ( { x } \right. )=0⇔84x ^ { 2 } -1620x+7776=0⇔x=9∨x=\frac { 72 } { 7 }\left ( { l } \right. ).$$

Bảng biến thiên.

Từ BBT ta có $x=9$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 5.3. Một mảnh đất hình chữ nhậtABCDcó chiều dài $AB=25\,{ \rm{ m } }$, chiều rộng $AD=20\,{ \rm{ m } }$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $MN$ ($M,\,N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AD$). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $MN$, biết khi làm đường trên miềnABMNmỗi giờ làm

được 15m và khi làm trong miềnCDNMmỗi giờ làm được $30\,{ \rm{ m } }$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.

Lời giải:

• Cách 1:

Do cần thời gian xây là ngắn nhất nên con đường làm trên mỗi miền phải là những đường thẳng.

Gọi $AE$ và $EC$ lần lượt là đoạn đường cần làm. Với $NE=x\,\left ( { { \rm{ m } } } \right. )$ (với $0≤x≤25$).

$⇒EM=25-x\,\left ( { { \rm{ m } } } \right. )$.

$⇒$ Thời gian để làm đoạn đường từ $A$ đến $C$ là:

$$t\left ( { x } \right. )=\frac { AE } { 15 }+\frac { EC } { 30 }=\frac { \sqrt{ 100+x ^ { 2 } } } { 15 }+\frac { \sqrt{ \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +100 } } { 30 }\,\,\left ( { { \rm{ h } } } \right. )$$ (Với $0≤x≤25$)

$⇒t'\left ( { x } \right. )=\frac { x } { 15\sqrt{ 100+x ^ { 2 } } }-\frac { 25-x } { 30.\sqrt{ \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +100 } }$.

Xét $$t'\left ( { x } \right. )=0⇔\frac { x } { 15\sqrt{ 100+x ^ { 2 } } }-\frac { 25-x } { 30.\sqrt{ \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +100 } }=0$$

$⇔2x\sqrt{ \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +100 }=\left ( { 25-x } \right. )\sqrt{ 100+x ^ { 2 } }$

$⇔4x ^ { 2 } \left ( { \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +100 } \right. )=\left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } \left ( { 100+x ^ { 2 } } \right. )$

$⇔4x ^ { 2 } \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +400x ^ { 2 } -100\left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } -\left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } x ^ { 2 } =0$.

$⇔4\left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } -25 } \right. )+x ^ { 2 } \left ( { 20 ^ { 2 } -\left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } } \right. )=0$

$⇔\left ( { x-5 } \right. )\left ( { 4\left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } \left ( { x+5 } \right. )+x ^ { 2 } \left ( { 45-x } \right. ) } \right. )=0$ $⇔x=5$

Vậy thời gian ngắn nhất làm được con đường đi từ $A$ đến $C$ là $\frac { 2\sqrt{ 5 } } { 3 }\,\left ( { { \rm{ h } } } \right. )$.

• Cách 2:

Xét $$t\left ( { x } \right. )=\frac { \sqrt{ 10 ^ { 2 } +x ^ { 2 } } } { 15 }+\frac { \sqrt{ \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +10 ^ { 2 } } } { 30 }=\frac { \sqrt{ 20 ^ { 2 } +\left ( { 2x } \right. ) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +10 ^ { 2 } } } { 30 }$$ (Với $0≤x≤25$).

Lại có $\sqrt{ 20 ^ { 2 } +\left ( { 2x } \right. ) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +10 ^ { 2 } }≥\sqrt{ \left ( { 45-x } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 2x+10 } \right. ) ^ { 2 } }$ $\left. \left. \left. \left. \left ( { { \rm{ d } }{ \rm{ o } }\,\,\left | { \overrightarrow { u } } \right. |+\left | { \overrightarrow { v } } \right. |≥\left | { \overrightarrow { u }+\overrightarrow { v } } \right. | } \right. ) \right. \right. \right. \right.$.

$⇔\sqrt{ 20 ^ { 2 } +\left ( { 2x } \right. ) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left ( { 25-x } \right. ) ^ { 2 } +10 ^ { 2 } }≥\sqrt{ 5\left ( { x-5 } \right. ) ^ { 2 } +2000 }$.

Do đó $t\left ( { x } \right. )≥\frac { \sqrt{ 5\left ( { x-5 } \right. ) ^ { 2 } +2000 } } { 30 }≥\frac { \sqrt{ 2000 } } { 30 }=\frac { 2\sqrt{ 5 } } { 3 }$.

Vậy $t\left ( { x } \right. )_{ min } =\frac { 2\sqrt{ 5 } } { 3 }\,\,\left ( { { \rm{ h } } } \right. )$ khi và chỉ khi $x=5\,\,\left ( { { \rm{ m } } } \right. )$.

Vậy thời gian ngắn nhất làm được con đường đi từ $A$ đến $C$ là $\frac { 2\sqrt{ 5 } } { 3 }\,\left ( { { \rm{ h } } } \right. )$.

III. Bài tập trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Tự luyện tương tác)

Học sinh làm bài trực tiếp trên hệ thống để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết tức thì.

IV. Bài tập trắc nghiệm Đúng / Sai (Cấu trúc mới GDPT 2018)

Thí sinh trả lời từ câu hỏi dưới đây. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1: Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ trên $\left[ a;b \right]$ lần lượt là $m$ và $M$. Xét tính đúng sai của mệnh đề sau.

Câu 2: Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:

Câu 3: Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có bảng biến thiên như hình sau: