Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Nếu ở bài trước, chúng ta đã biết cách "đặt tên và gắn địa chỉ" cho mỗi điểm và mỗi vectơ trong không gian thông qua bộ ba toạ độ $(x; y; z)$, thì ở bài học này, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính đại số trên những toạ độ đó.

Nhờ các biểu thức toạ độ, việc cộng hai vectơ, tính độ dài, xác định góc hay kiểm tra hai hướng chuyển động có vuông góc với nhau hay không không còn đòi hỏi phải vẽ hình không gian phức tạp. Tất cả được đơn giản hóa thành các phép cộng, trừ, nhân số học cực kỳ nhanh chóng và chính xác. Đây chính là nền tảng cốt lõi của lập trình đồ hoạ máy tính 3D, game engine (như Unity, Unreal) và thuật toán bay của tên lửa hành trình.

I. Biểu thức toạ độ của phép cộng, trừ vectơ và nhân vectơ với một số

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)$, $\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)$ và một số thực $k \in \mathbb{R}$.

1. Các quy tắc toạ độ cơ bản

• Phép cộng hai vectơ:$$\mathbf{\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2; \, y_1 + y_2; \, z_1 + z_2)}$$
• Phép trừ hai vectơ:$$\mathbf{\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2; \, y_1 - y_2; \, z_1 - z_2)}$$
• Phép nhân vectơ với một số:$$\mathbf{k\vec{u} = (kx_1; \, ky_1; \, kz_1)}$$

2. Hai vectơ bằng nhau và cùng phương

• Hai vectơ bằng nhau:$$\vec{u} = \vec{v} \iff \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \\ z_1 = z_2 \end{cases}$$
• Hai vectơ cùng phương: Vectơ $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{v} \ne \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{u} = k\vec{v}$, tức là:$$\begin{cases} x_1 = kx_2 \\ y_1 = ky_2 \\ z_1 = kz_2 \end{cases}$$Nếu $x_2, y_2, z_2$ đều khác $0$, điều kiện tương đương với tỷ lệ thức:$$\mathbf{\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}}$$

II. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

1. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)$ được tính theo công thức:

Chứng minh: Ta có $\vec{u} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}$ và $\vec{v} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}$. Vì $\vec{i}^2 = \vec{j}^2 = \vec{k}^2 = 1$ và $$\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0,$$ nhân phân phối hai đa thức ta thu được:

2. Độ dài của một vectơ

Độ dài của vectơ $\vec{u} = (x; y; z)$ là:

3. Góc giữa hai vectơ

Góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)$ (khác $\vec{0}$) có cosin được xác định bởi:

4. Điều kiện vuông góc của hai vectơ

Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$:

Công cụ trực quan: Máy tính Vectơ Không gian 3D tương tác

Nhập hoặc chọn toạ độ của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ để tính toán tự động tất cả các phép toán toạ độ: tổng $\vec{u} + \vec{v}$, hiệu $\vec{u} - \vec{v}$, độ dài $|\vec{u}|, |\vec{v}|$, tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ và góc $(\vec{u}, \vec{v})$ theo thời gian thực:

III. Các dạng toán trọng tâm có lời giải chi tiết

Dạng 1: Các phép toán toạ độ và phân tích vectơ

Bài toán 1: Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{a} = (1; 2; -3)$, $\vec{b} = (-2; 0; 4)$, $\vec{c} = (3; -1; 1)$.

1. Tìm toạ độ của vectơ $\vec{u} = 2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}$.
2. Phân tích vectơ $\vec{d} = (0; 5; -1)$ theo ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Lời giải:

1. Tính toạ độ vectơ $\vec{u}$:

   • $2\vec{a} = (2 \cdot 1; 2 \cdot 2; 2 \cdot (-3)) = (2; 4; -6)$.
   • $-3\vec{b} = (-3 \cdot (-2); -3 \cdot 0; -3 \cdot 4) = (6; 0; -12)$.
   • $\vec{c} = (3; -1; 1)$.
   • Cộng từng thành phần toạ độ:$$\begin{cases} x_u = 2 + 6 + 3 = 11 \\ y_u = 4 + 0 + (-1) = 3 \\ z_u = -6 - 12 + 1 = -17 \end{cases}$$
   • Vậy $\mathbf{\vec{u} = (11; 3; -17)}$.

2. Phân tích $\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$:

   • Ta có hệ phương trình đại số:$$\begin{cases} 1x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + 0y - 1z = 5 \\ -3x + 4y + 1z = -1 \end{cases}$$
   • Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn bằng máy tính cầm tay:$$x = 2, \quad y = 1, \quad z = -1$$
   • Vậy biểu diễn cần tìm là:$$\mathbf{\vec{d} = 2\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}}$$

Dạng 2: Hai vectơ cùng phương và ba điểm thẳng hàng

Bài toán 2: Trong không gian $Oxyz$:

1. Tìm $m$ và $n$ để vectơ $\vec{u} = (m; 2; -3)$ cùng phương với vectơ $\vec{v} = (4; n; 6)$.
2. Cho ba điểm $A(1; 1; 1)$, $B(2; 3; 4)$, $C(m; 5; n)$. Tìm $m$ và $n$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

Lời giải:

1. Điều kiện để $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương:

   • Ta có $\vec{u}$ cùng phương $\vec{v} \iff \frac{m}{4} = \frac{2}{n} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
   • Suy ra:$$\frac{m}{4} = -\frac{1}{2} \implies m = -2$$$$\frac{2}{n} = -\frac{1}{2} \implies n = -4$$
   • Vậy $\mathbf{m = -2, \, n = -4}$.

2. Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng:

   • Tính toạ độ các vectơ:$$\vec{AB} = (2 - 1; \, 3 - 1; \, 4 - 1) = (1; 2; 3)$$$$\vec{AC} = (m - 1; \, 5 - 1; \, n - 1) = (m - 1; \, 4; \, n - 1)$$
   • Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương:$$\frac{m - 1}{1} = \frac{4}{2} = \frac{n - 1}{3}$$
   • Ta có tỷ số chung bằng $2$:$$m - 1 = 2 \implies m = 3$$$$\frac{n - 1}{3} = 2 \implies n - 1 = 6 \implies n = 7$$
   • Vậy $\mathbf{m = 3, \, n = 7}$.

Dạng 3: Tích vô hướng, góc và điều kiện vuông góc

Bài toán 3: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 0; -2)$, $B(2; 1; -1)$, $C(1; -2; 2)$.

1. Tính tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
2. Tính góc $\widehat{BAC}$ của tam giác $ABC$.
3. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc trục $Ox$ sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $B$.

Lời giải:

1. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$:

   • $\vec{AB} = (2 - 1; \, 1 - 0; \, -1 - (-2)) = (1; 1; 1)$.
   • $\vec{AC} = (1 - 1; \, -2 - 0; \, 2 - (-2)) = (0; -2; 4)$.
   • $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 0 - 2 + 4 = 2.$$

2. Tính góc $\widehat{BAC}$:

   • Độ dài:$$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$$$|\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$
   • Cosin của góc $\widehat{BAC}$:$$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.258$$
   • Suy ra góc $\widehat{BAC} \approx \arccos(0.258) \approx 75^\circ 2^\prime$.

3. Tìm điểm $M \in Ox$ để $\triangle ABM$ vuông tại $B$:

   • Điểm $M$ thuộc trục $Ox \implies M(x; 0; 0)$.
   • Vectơ $\vec{BA} = -\vec{AB} = (-1; -1; -1)$.
   • Vectơ $\vec{BM} = (x - 2; \, 0 - 1; \, 0 - (-1)) = (x - 2; \, -1; \, 1)$.
   • Tam giác vuông tại $B \iff \vec{BA} \perp \vec{BM} \iff \vec{BA} \cdot \vec{BM} = 0$:$$(-1)(x - 2) + (-1)(-1) + (-1)(1) = 0$$$$-x + 2 + 1 - 1 = 0 \iff -x + 2 = 0 \iff x = 2$$
   • Vậy điểm cần tìm là $\mathbf{M(2; 0; 0)}$.

IV. Ứng dụng thực tế: Tính công cơ học và góc đón nắng mặt trời

1. Tính công cơ học của lực trong không gian ($A = \vec{F} \cdot \vec{d}$)

Trong cơ học cổ điển, công $A$ sinh ra bởi một lực không đổi $\vec{F}$ khi làm một vật dịch chuyển theo vectơ độ dời $\vec{d}$ được tính bằng tích vô hướng:

• Giả sử một chiếc cẩu tháp tác dụng lực $\vec{F} = (200; 300; 1500)\text{ N}$ để nâng và dịch chuyển một khối bê tông từ vị trí $A(1; 2; 0)$ đến vị trí $B(4; 6; 8)$ (đơn vị mét):
  • Vectơ độ dời: $\vec{d} = \vec{AB} = (4 - 1; 6 - 2; 8 - 0) = (3; 4; 8)\text{ m}$.
  • Công sinh ra:$$A = \vec{F} \cdot \vec{d} = 200(3) + 300(4) + 1500(8) = 600 + 1200 + 12000 = 13800\text{ J} = 13.8\text{ kJ}$$

2. Tối ưu góc đón ánh nắng của tấm pin mặt trời

Tấm pin năng lượng mặt trời thu được nhiều năng lượng nhất khi các tia sáng mặt trời chiếu vuông góc với bề mặt tấm pin, tức là vectơ hướng tia sáng $\vec{s}$ song song ngược chiều với vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của tấm pin. Góc tạo bởi tia sáng và tấm pin bằng $90^\circ - \theta$, trong đó $\cos\theta = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}$. Việc tính toán toạ độ cho phép hệ thống pin tự động xoay động cơ theo trục hai chiều để đạt hiệu suất chuyển đổi điện năng tối đa suốt cả ngày.

V. Trắc nghiệm tự luyện củng cố kiến thức