Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc và khoảng cách trong không gian

Lý thuyết trọng tâm Bài 16 Toán 12 Kết nối tri thức: Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng; Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau kèm mô phỏng 3D tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

#Toán học#Toán 12#Oxyz#Góc trong không gian#Khoảng cách#Điểm đến mặt phẳng#Hai đường thẳng chéo nhau#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết17 mục

Bài 16. Công thức tính góc và khoảng cách trong không gian

Trong hình học không gian cổ điển, việc tính góc giữa hai mặt phẳng hay khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thường là "nỗi ám ảnh" của học sinh vì phải dựng các mặt phẳng phụ, kẻ thêm đường vuông góc và chứng minh hình học thuần túy phức tạp.

Tuy nhiên, với phương pháp toạ độ OxyzOxyz, mọi bài toán góc và khoảng cách đều được quy đổi thành các phép toán đại số thuần túy giữa các vectơ: tích vô hướng, tích có hướng và công thức toạ độ! Bạn chỉ cần lắp số vào công thức là có ngay kết quả chính xác tuyệt đối mà không cần phải đau đầu tưởng tượng dựng hình.

BẢN ĐỒ CÔNG THỨC GÓC & KHOẢNG CÁCH OXYZ

1. Góc giữa 2 đường thẳng

• Hai VTCP u⃗1,u⃗2\vec{u}_1, \vec{u}_2:
cos⁡φ=∣u⃗1⋅u⃗2∣∣u⃗1∣⋅∣u⃗2∣\mathbf{\cos \varphi = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}}.
• Góc 0∘⩽φ⩽90∘0^\circ \le \varphi \le 90^\circ (có trị tuyệt đối ở tử).

2. Góc giữa đường và mặt

• VTCP u⃗\vec{u} và VTPT n⃗\vec{n}:
sin⁡φ=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣\mathbf{\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}}.
• Chú ý dùng hàm SIN (vì góc phụ với góc của n⃗\vec{n}).

3. Góc giữa 2 mặt phẳng

• Hai VTPT n⃗1,n⃗2\vec{n}_1, \vec{n}_2:
cos⁡φ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣⋅∣n⃗2∣\mathbf{\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}}.
• Vuông góc   ⟺  n⃗1⋅n⃗2=0\iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0.

4. Khoảng cách điểm đến mặt

• Từ M0(x0;y0;z0)M_0(x_0; y_0; z_0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0(P): Ax+By+Cz+D=0:
d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\mathbf{d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}.
• Thay toạ độ điểm vào vế trái rồi chia độ dài VTPT.

1. Công thức tính góc trong không gian

Quan trọng

Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc không tù:

0∘⩽φ⩽90∘  ⟹  cos⁡φ⩾0,sin⁡φ⩾00^\circ \le \varphi \le 90^\circ \implies \cos \varphi \ge 0, \quad \sin \varphi \ge 0

Do đó trên tử số của mọi công thức tính góc luôn có dấu giá trị tuyệt đối!

1.1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng Δ1\Delta_1 có VTCP u⃗1=(a1;b1;c1)\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1) và Δ2\Delta_2 có VTCP u⃗2=(a2;b2;c2)\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2).
Gọi φ\varphi là góc giữa Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2:

cos⁡φ=∣u⃗1⋅u⃗2∣∣u⃗1∣⋅∣u⃗2∣=∣a1a2+b1b2+c1c2∣a12+b12+c12⋅a22+b22+c22\cos \varphi = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}

1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng Δ\Delta có VTCP u⃗=(a;b;c)\vec{u} = (a; b; c) và mặt phẳng (α)(\alpha) có VTPT n⃗=(A;B;C)\vec{n} = (A; B; C).
Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng Δ\Delta và mặt phẳng (α)(\alpha) (0∘⩽φ⩽90∘0^\circ \le \varphi \le 90^\circ):

sin⁡φ=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣=∣Aa+Bb+Cc∣a2+b2+c2⋅A2+B2+C2\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Mẹo ghi nhớ: Khi hai đối tượng cùng loại (đường – đường, hoặc mặt – mặt), ta dùng hàm cos⁡\mathbf{\cos}. Khi hai đối tượng khác loại (đường – mặt), ta dùng hàm sin⁡\mathbf{\sin}!

1.3. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (α1)(\alpha_1) có VTPT n⃗1=(A1;B1;C1)\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1) và (α2)(\alpha_2) có VTPT n⃗2=(A2;B2;C2)\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2).
Gọi φ\varphi là góc giữa (α1)(\alpha_1) và (α2)(\alpha_2):

cos⁡φ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣⋅∣n⃗2∣=∣A1A2+B1B2+C1C2∣A12+B12+C12⋅A22+B22+C22\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}

2. Công thức tính khoảng cách

2.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

::: tip Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong không gian OxyzOxyz, khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0)M_0(x_0; y_0; z_0) đến mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng:

d(M0,(α))=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d(M_0, (\alpha)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

:::

2.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song:

(α):Ax+By+Cz+D1=0vaˋ(β):Ax+By+Cz+D2=0(\alpha): Ax + By + Cz + D_1 = 0 \quad \text{và} \quad (\beta): Ax + By + Cz + D_2 = 0

Khoảng cách giữa (α)(\alpha) và (β)(\beta) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ M0∈(α)M_0 \in (\alpha) đến (β)(\beta):

d((α),(β))=∣D1−D2∣A2+B2+C2d((\alpha), (\beta)) = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

2.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M0M_0 đến đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm AA và có VTCP u⃗\vec{u}:

d(M0,Δ)=∣[AM0⃗,u⃗]∣∣u⃗∣d(M_0, \Delta) = \frac{|[\vec{AM_0}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}

2.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau:

  • Δ1\Delta_1 đi qua M1M_1 có VTCP u⃗1\vec{u}_1.
  • Δ2\Delta_2 đi qua M2M_2 có VTCP u⃗2\vec{u}_2.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là:

d(Δ1,Δ2)=∣[u⃗1,u⃗2]⋅M1M2⃗∣∣[u⃗1,u⃗2]∣d(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}|}{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2]|}

3. Mô phỏng 3D tương tác: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Dưới đây là mô phỏng điểm M0M_0 hạ đường vuông góc xuống mặt phẳng (α)(\alpha) tại hình chiếu HH. Hãy kéo thanh trượt để thay đổi cao độ của điểm M0M_0 và quan sát khoảng cách d(M0,(α))d(M_0, (\alpha)) thay đổi tương ứng:


Đoạn vuông góc M0HM_0H: d=d = 4.00 đơn vị
Đoạn thẳng vuông góc M0HM_0H chính là khoảng cách ngắn nhất từ điểm M0M_0 đến mọi điểm bất kì nằm trên mặt phẳng (α)(\alpha).

4. Các ví dụ áp dụng chi tiết

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian OxyzOxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

d1:x−11=y+2−2=z1vaˋd2:x2=y−11=z+32d_1: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{1} \quad \text{và} \quad d_2: \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{2}

Lời giải:

  • VTCP của d1d_1 là u⃗1=(1;−2;1)  ⟹  ∣u⃗1∣=12+(−2)2+12=6.\vec{u}_1 = (1; -2; 1) \implies |\vec{u}_1| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}.
  • VTCP của d2d_2 là u⃗2=(2;1;2)  ⟹  ∣u⃗2∣=22+12+22=9=3.\vec{u}_2 = (2; 1; 2) \implies |\vec{u}_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3.
  • Tích vô hướng:u⃗1⋅u⃗2=1(2)+(−2)(1)+1(2)=2−2+2=2\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1(2) + (-2)(1) + 1(2) = 2 - 2 + 2 = 2
  • Áp dụng công thức:cos⁡(d1,d2)=∣u⃗1⋅u⃗2∣∣u⃗1∣⋅∣u⃗2∣=∣2∣6⋅3=236=69\cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|2|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{9}Do đó góc giữa hai đường thẳng là φ=arccos⁡(69)≈74.2∘\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right) \approx 74.2^\circ.

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từ điểm A(2;−1;3)A(2; -1; 3) đến mặt phẳng (P):2x−2y+z−5=0(P): 2x - 2y + z - 5 = 0.

Lời giải:

Áp dụng trực tiếp công thức khoảng cách:

d(A,(P))=∣2(2)−2(−1)+1(3)−5∣22+(−2)2+12=∣4+2+3−5∣4+4+1=∣4∣9=43d(A, (P)) = \frac{|2(2) - 2(-1) + 1(3) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 2 + 3 - 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|4|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Viết phương trình mặt cầu (S)(S) có tâm I(1;2;−1)I(1; 2; -1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):2x−y+2z−5=0(P): 2x - y + 2z - 5 = 0.

Lời giải:

Mặt cầu (S)(S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)(P) khi và chỉ khi bán kính RR bằng khoảng cách từ tâm II đến mặt phẳng (P)(P):

R=d(I,(P))=∣2(1)−1(2)+2(−1)−5∣22+(−1)2+22=∣2−2−2−5∣9=∣−7∣3=73R = d(I, (P)) = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(-1) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 - 2 - 5|}{\sqrt{9}} = \frac{|-7|}{3} = \frac{7}{3}

Phương trình mặt cầu (S)(S) tâm I(1;2;−1)I(1; 2; -1) bán kính R=73R = \frac{7}{3} là:

(x−1)2+(y−2)2+(z+1)2=(73)2=499(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}

5. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (10 câu có đáp án và giải chi tiết)

NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.