Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

Trong cuộc sống hiện đại, làm thế nào để trạm kiểm soát không lưu tại sân bay Nội Bài hay Tân Sơn Nhất biết chính xác vị trí của một chiếc máy bay đang bay giữa tầng mây mịt mù? Làm thế nào để hệ thống định vị vệ tinh toàn cầu (GPS) chỉ đường cho bạn từng khúc quanh trên phố?

Câu trả lời nằm ở một phát minh vĩ đại của nhà toán học René Descartes: Hệ toạ độ không gian $Oxyz$. Bằng cách thiết lập ba trục vuông góc đôi một, mọi vị trí trong vũ trụ đều được số hoá thành một bộ ba số thực duy nhất $(x; y; z)$ – tương ứng với kinh độ, vĩ độ và độ cao. Bài học này sẽ mở ra cánh cửa đại số hoá toàn bộ hình học không gian, biến những bài toán hình học phức tạp thành các phép tính đại số chuẩn xác.

I. Hệ toạ độ trong không gian

1. Định nghĩa hệ toạ độ $Oxyz$

Trong không gian, chọn một điểm $O$ cố định làm gốc toạ độ và ba trục số $Ox, Oy, Oz$ vuông góc với nhau từng đôi một:

• Trục $Ox$: Trục hoành, có vectơ đơn vị là $\vec{i}$.
• Trục $Oy$: Trục tung, có vectơ đơn vị là $\vec{j}$.
• Trục $Oz$: Trục cao, có vectơ đơn vị là $\vec{k}$.

Hệ ba trục như vậy được gọi là Hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc trong không gian, ký hiệu là $Oxyz$. Các vectơ đơn vị thỏa mãn:

2. Các mặt phẳng toạ độ

Hệ trục toạ độ $Oxyz$ chia không gian thành 8 phần (gọi là 8 góc phần tám) bởi ba mặt phẳng toạ độ:

• Mặt phẳng $(Oxy)$: Đi qua hai trục $Ox$ và $Oy$, có phương trình là $\mathbf{z = 0}$.
• Mặt phẳng $(Oyz)$: Đi qua hai trục $Oy$ và $Oz$, có phương trình là $\mathbf{x = 0}$.
• Mặt phẳng $(Ozx)$: Đi qua hai trục $Oz$ và $Ox$, có phương trình là $\mathbf{y = 0}$.

II. Toạ độ của một điểm và toạ độ của một vectơ

1. Toạ độ của một điểm

Trong không gian $Oxyz$, toạ độ của điểm $M$ chính là toạ độ của vectơ vị trí $\vec{OM}$:

Trong đó:

• $x$ được gọi là hoành độ của điểm $M$.
• $y$ được gọi là tung độ của điểm $M$.
• $z$ được gọi là cao độ của điểm $M$.

Hình chiếu vuông góc của điểm $M(x; y; z)$:

• Lên trục hoành $Ox$: $M_1(x; 0; 0)$.
• Lên trục tung $Oy$: $M_2(0; y; 0)$.
• Lên trục cao $Oz$: $M_3(0; 0; z)$.
• Lên mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$: $M_{xy}(x; y; 0)$.
• Lên mặt phẳng toạ độ $(Oyz)$: $M_{yz}(0; y; z)$.
• Lên mặt phẳng toạ độ $(Ozx)$: $M_{zx}(x; 0; z)$.

Mẹo hay

Quy tắc nhớ nhanh: Chiếu lên cái gì thì giữ lại toạ độ của cái đó, phần còn lại cho bằng $0$!

• Chiếu lên trục $Oz$ $\implies$ Giữ lại $z$, cho $x = y = 0 \implies (0; 0; z)$.
• Chiếu lên mặt phẳng $(Oxy)$ $\implies$ Giữ lại $x, y$, cho $z = 0 \implies (x; y; 0)$.

2. Toạ độ của một vectơ

Trong không gian $Oxyz$, toạ độ của vectơ $\vec{u}$ là bộ ba số thực $(x; y; z)$ duy nhất sao cho:

• Vectơ đơn vị: $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$.
• Vectơ-không: $\vec{0} = (0; 0; 0)$.

Toạ độ vectơ nối hai điểm:

Cho hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$. Toạ độ vectơ $\vec{AB}$ được tính bằng toạ độ điểm sau trừ toạ độ điểm trước:

III. Các công thức toạ độ cơ bản

1. Toạ độ trung điểm và trọng tâm

• Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$:$$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}, \quad z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$$
• Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:$$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \quad z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$$
• Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$:$$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}, \quad z_G = \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}$$

2. Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian

Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ chính là độ dài của vectơ $\vec{AB}$:

Khoảng cách từ điểm $M(x; y; z)$ đến gốc toạ độ $O$:

3. Phương trình mặt cầu trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x; y; z)$ sao cho $IM = R$.

a) Phương trình chính tắc:

b) Phương trình tổng quát:

Khai triển phương trình chính tắc, ta được phương trình có dạng:

Điều kiện để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu là:

Khi đó, mặt cầu có:

• Tâm: $\mathbf{I(a; b; c)}$.
• Bán kính: $\mathbf{R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}}$.

Công cụ trực quan: Khám phá toạ độ điểm M(x; y; z) trong không gian 3D

Hãy kéo các thanh trượt $x, y, z$ để quan sát điểm $M$ di chuyển trong không gian, quan sát hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng toạ độ $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ và độ dài khoảng cách $OM$:

IV. Các dạng toán trọng tâm có lời giải chi tiết

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm và vectơ liên quan đến hình hộp, tứ diện

Bài toán 1: Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OABC.O'A'B'C'$ có gốc toạ độ trùng với đỉnh $O$, các đỉnh $A, C, O'$ lần lượt nằm trên các tia $Ox, Oy, Oz$. Biết $OA = 3$, $OC = 4$, $OO' = 5$.

1. Tìm toạ độ tất cả các đỉnh của hình hộp.
2. Tìm toạ độ tâm $I$ của hình hộp.

Lời giải:

1. Dựa vào vị trí các đỉnh trên hệ trục toạ độ $Oxyz$:

   • Đỉnh $O(0; 0; 0)$.
   • Đỉnh $A$ thuộc tia $Ox$ với $OA = 3 \implies A(3; 0; 0)$.
   • Đỉnh $C$ thuộc tia $Oy$ với $OC = 4 \implies C(0; 4; 0)$.
   • Đỉnh $O'$ thuộc tia $Oz$ với $OO' = 5 \implies O'(0; 0; 5)$.
   • Đỉnh $B$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ có $x_B = OA = 3$, $y_B = OC = 4$, $z_B = 0 \implies B(3; 4; 0)$.
   • Đỉnh $A'$ có $x = 3, y = 0, z = 5 \implies A'(3; 0; 5)$.
   • Đỉnh $C'$ có $x = 0, y = 4, z = 5 \implies C'(0; 4; 5)$.
   • Đỉnh $B'$ có $x = 3, y = 4, z = 5 \implies B'(3; 4; 5)$.

2. Tâm $I$ của hình hộp là trung điểm của đường chéo $OB'$:

   $$x_I = \frac{0 + 3}{2} = 1.5, \quad y_I = \frac{0 + 4}{2} = 2, \quad z_I = \frac{0 + 5}{2} = 2.5$$

   Vậy $\mathbf{I(1.5; 2; 2.5)}$.

Dạng 2: Tìm toạ độ điểm thoả mãn hệ thức vectơ (Điểm thẳng hàng, hình bình hành, tứ diện)

Bài toán 2: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; -1)$, $B(2; -1; 3)$, $C(-4; 7; 5)$.

1. Chứng minh ba điểm $A, B, C$ tạo thành một tam giác.
2. Tìm toạ độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải:

1. Chứng minh $A, B, C$ không thẳng hàng:

   • Tính toạ độ các vectơ:$$\vec{AB} = (2 - 1; \, -1 - 2; \, 3 - (-1)) = (1; -3; 4)$$$$\vec{AC} = (-4 - 1; \, 7 - 2; \, 5 - (-1)) = (-5; 5; 6)$$
   • Xét tỷ lệ toạ độ:$$\frac{1}{-5} \ne \frac{-3}{5}$$Suy ra hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương. Do đó ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng và tạo thành một tam giác.

2. Tìm toạ độ điểm $D(x_D; y_D; z_D)$ để $ABCD$ là hình bình hành:

   • Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi:$$\vec{AD} = \vec{BC}$$
   • Ta có:$$\vec{AD} = (x_D - 1; \, y_D - 2; \, z_D - (-1)) = (x_D - 1; \, y_D - 2; \, z_D + 1)$$$$\vec{BC} = (-4 - 2; \, 7 - (-1); \, 5 - 3) = (-6; 8; 2)$$
   • Cho hai vectơ bằng nhau:$$\begin{cases} x_D - 1 = -6 \\ y_D - 2 = 8 \\ z_D + 1 = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = -5 \\ y_D = 10 \\ z_D = 1 \end{cases}$$
   • Vậy điểm cần tìm là $\mathbf{D(-5; 10; 1)}$.

Dạng 3: Bài toán khoảng cách và nhận diện tam giác

Bài toán 3: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 1; -1)$, $B(0; 3; 1)$, $C(4; 5; 1)$.

1. Tính chu vi tam giác $ABC$.
2. Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác vuông và tính diện tích của nó.

Lời giải:

1. Tính độ dài ba cạnh:

   • $$AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (3 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.$$
   • $$BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (5 - 3)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$$
   • $$CA = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 - 5)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.$$
   • Chu vi tam giác $ABC$:$$\mathcal{P} = AB + BC + CA = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$$

2. Nhận dạng tam giác:

   • Ta có:$$AB^2 = 12, \quad BC^2 = 20, \quad CA^2 = 24$$Nhận thấy $AB^2 + BC^2 = 12 + 20 = 32 \ne 24$ (không vuông tại $B$).
   • Tuy nhiên kiểm tra lại tích vô hướng: $\vec{AB} = (-2; 2; 2)$, $$\vec{CB} = (-4; -2; 0) \implies \vec{AB} \cdot \vec{CB} = 8 - 4 + 0 = 4.$$
   • Kiểm tra toạ độ trung điểm $M$ của $BC$: $M(2; 4; 1) \implies AM = \sqrt{(2-2)^2 + (4-1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
   • Tam giác $ABC$ là tam giác nhọn thường với diện tích tính theo công thức Heron:$$p = \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{6} \implies S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{35} \approx 5.92$$

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu và xác định tâm, bán kính

Bài toán 4: Trong không gian $Oxyz$:

1. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ với $A(1; 3; -2)$ và $B(3; -1; 4)$.
2. Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu có phương trình:$$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 2 = 0$$

Lời giải:

1. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$:

   • Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng $AB$:$$x_I = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_I = \frac{3 + (-1)}{2} = 1, \quad z_I = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \implies I(2; 1; 1)$$
   • Độ dài đường kính $AB$:$$AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-1 - 3)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$$
   • Bán kính mặt cầu: $R = \frac{AB}{2} = \sqrt{14}$.
   • Phương trình mặt cầu $(S)$:$$\mathbf{(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 14}$$

2. Xác định tâm và bán kính:

   • Phương trình: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.
   • Đồng nhất hệ số:$$-2a = -4 \implies a = 2$$$$-2b = 6 \implies b = -3$$$$-2c = -2 \implies c = 1$$$$d = -2$$
   • Kiểm tra điều kiện:$$a^2 + b^2 + c^2 - d = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 - (-2) = 4 + 9 + 1 + 2 = 16 > 0$$
   • Vậy mặt cầu có:
     • Tâm: $\mathbf{I(2; -3; 1)}$.
     • Bán kính: $\mathbf{R = \sqrt{16} = 4}$.

V. Ứng dụng thực tế: Định vị không gian trong kiểm soát không lưu

Trong ngành hàng không dân dụng, mỗi sân bay được trang bị một đài radar kiểm soát không lưu đặt tại gốc toạ độ $O(0; 0; 0)$ trên mặt đất. Mặt phẳng $(Oxy)$ đại diện cho mặt đất nằm ngang (với trục $Ox$ hướng về phía Đông, trục $Oy$ hướng về phía Bắc), còn trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời chỉ độ cao tính theo kilômét ($\text{km}$).

Giả sử tại một thời điểm:

• Máy bay $A$ của Vietnam Airlines đang ở toạ độ $A(30; 40; 10)$ (cách trạm $30\text{ km}$ về phía Đông, $40\text{ km}$ về phía Bắc, ở độ cao $10\text{ km}$).
• Máy bay $B$ của Bamboo Airways đang ở toạ độ $B(54; 72; 10)$ cùng độ cao $10\text{ km}$.

1. Khoảng cách giữa hai máy bay:

   $$d = AB = \sqrt{(54 - 30)^2 + (72 - 40)^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{24^2 + 32^2 + 0} = \sqrt{576 + 1024} = \sqrt{1600} = 40\text{ km}$$

   Hai máy bay đang cách nhau $40\text{ km}$, đảm bảo khoảng cách an toàn hàng không tối thiểu ($9.3\text{ km}$ hay $5$ hải lý).

2. Vùng cảnh báo an toàn quanh máy bay: Để tránh va chạm trên không, hệ thống máy tính lập trình một vùng đệm an toàn hình cầu bán kính $R = 10\text{ km}$ quanh máy bay $A$. Phương trình không gian bảo vệ máy bay $A$ là:

   $$(x - 30)^2 + (y - 40)^2 + (z - 10)^2 \le 100$$

   Bất kỳ mục tiêu nào xâm nhập vào khối cầu này sẽ ngay lập tức kích hoạt chuông cảnh báo khẩn cấp TCAS (Traffic Collision Avoidance System) cho phi công!

VI. Trắc nghiệm tự luyện củng cố kiến thức