Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian 3 chiều, quỹ đạo chuyển động của một tia laser, đường bay của một chiếc máy bay dân dụng hay một sợi dây cáp treo cầu văng đều là những hình ảnh trực quan của đường thẳng trong không gian.

Khác với trong mặt phẳng $Oxy$ (nơi một đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tổng quát duy nhất $Ax + By + C = 0$), trong không gian $Oxyz$, một đường thẳng được xác định bằng quỹ đạo chuyển động của một điểm qua thời gian theo một phương cho trước. Điều này dẫn đến hai dạng biểu diễn toán học đặc sắc: Phương trình tham số và Phương trình chính tắc.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

::: tip Định nghĩa Vectơ chỉ phương Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$. :::

Nhận xét:

• Nếu $\vec{u}$ là một VTCP của $\Delta$ thì $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) cũng là một VTCP của $\Delta$.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ chỉ phương của nó.
• Nếu đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A, B$ thì nhận vectơ $\vec{AB}$ làm một VTCP.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

::: tip Phương trình tham số Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ $\vec{u} = (a; b; c) \neq \vec{0}$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

:::

• $t$ được gọi là tham số.
• Khi $t$ thay đổi trong $\mathbb{R}$, điểm $M(x_0 + at; \, y_0 + bt; \, z_0 + ct)$ vạch nên toàn bộ đường thẳng $\Delta$.
• Ý nghĩa vật lý: Nếu một hạt chuyển động thẳng đều qua điểm $M_0$ với vận tốc $\vec{v} = (a; b; c)$ thì sau thời gian $t$, vị trí của hạt chính là điểm $M(x; y; z)$ trên.

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nếu cả ba thành phần $a, b, c$ của vectơ chỉ phương $\vec{u}$ đều khác 0 ($a \cdot b \cdot c \neq 0$), ta có thể rút tham số $t$ từ từng phương trình:

::: tip Phương trình chính tắc Phương trình:

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ với $a, b, c \neq 0$. :::

Ghi nhớ

Nếu trong các số $a, b, c$ có một hoặc hai số bằng 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc, mà chỉ có phương trình tham số.
Ví dụ: Nếu $a = 0, b \neq 0, c \neq 0$ thì phương trình tham số là $\begin{cases} x = x_0 \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$.

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng:

• $d_1$ đi qua $M_1(x_1; y_1; z_1)$ có VTCP $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)$.
• $d_2$ đi qua $M_2(x_2; y_2; z_2)$ có VTCP $\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$.

5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ đi qua $M_0$ có VTCP $\vec{u}$ và mặt phẳng $(\alpha)$ có VTPT $\vec{n}$:

1. $d \parallel (\alpha)$: $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ và $M_0 \notin (\alpha)$.
2. $d \subset (\alpha)$ (nằm trong): $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ và $M_0 \in (\alpha)$.
3. $d$ cắt $(\alpha)$: $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$.
4. $d \perp (\alpha)$ (vuông góc): $\vec{u}$ cùng phương $\vec{n} \iff \frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C}$.

6. Mô phỏng 3D tương tác: Điểm chuyển động trên đường thẳng

Dưới đây là mô phỏng đường thẳng $\Delta$ trong không gian $Oxyz$. Hãy kéo thanh trượt tham số $t$ để quan sát điểm $M(t)$ trượt dọc theo phương của vectơ chỉ phương $\vec{u}$:

7. Các ví dụ áp dụng chi tiết

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; -2; 3)$ và $B(3; 0; -1)$.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$.
b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$.

Lời giải:

a) Đường thẳng $AB$ nhận vectơ $\vec{AB}$ làm vectơ chỉ phương:

Rút gọn VTCP: chọn $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AB} = (1; 1; -2)$.
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1; -2; 3)$ có phương trình tham số là:

b) Vì các thành phần của $\vec{u}$ đều khác 0 ($1, 1, -2 \neq 0$), phương trình chính tắc của $AB$ là:

Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2; -1; 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x - 3y + z - 5 = 0$.

Lời giải:

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}_P = (2; -3; 1)$.
Vì đường thẳng $d \perp (P)$ nên vectơ chỉ phương $\vec{u}_d$ của đường thẳng $d$ cùng phương với $\vec{n}_P$.
Chọn $\vec{u}_d = \vec{n}_P = (2; -3; 1)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $M(2; -1; 1)$ có phương trình chính tắc là:

Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Lời giải:

• $d_1$ đi qua $M_1(1; 2; -1)$ có VTCP $\vec{u}_1 = (2; -1; 1)$.
• $d_2$ đi qua $M_2(1; -1; 2)$ có VTCP $\vec{u}_2 = (1; 2; -1)$.
• Xét tỉ số: $\frac{2}{1} \neq \frac{-1}{2} \implies \vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ không cùng phương (loại trường hợp song song và trùng nhau).
• Tính tích có hướng:$$[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = ((-1)(-1) - 1(2); \, 1(1) - 2(-1); \, 2(2) - (-1)(1)) = (-1; 3; 5)$$
• Ta có $\vec{M_1 M_2} = (1 - 1; \, -1 - 2; \, 2 - (-1)) = (0; -3; 3)$.
• Tích hỗn tạp:$$[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} = (-1)(0) + 3(-3) + 5(3) = 0 - 9 + 15 = 6 \neq 0$$
• Vì $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} \neq 0$, ba vectơ không đồng phẳng.
  Kết luận: Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.

8. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (10 câu có đáp án và giải chi tiết)