Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Nếu như trong hình học phẳng hai chiều ($Oxy$), đối tượng cơ bản nhất là đường thẳng với phương trình bậc nhất $Ax + By + C = 0$, thì khi bước lên không gian ba chiều ($Oxyz$), phương trình bậc nhất ba ẩn:

lại đại diện cho một đối tượng nền tảng mới: Mặt phẳng!

Mặt phẳng xuất hiện khắp nơi trong đời sống và kỹ nghệ: từ mặt bàn, sàn nhà, các bức tường phòng thí nghiệm đến bề mặt phẳng của cánh quạt tua-bin gió hay tấm pin năng lượng mặt trời. Để lập được phương trình toán học của một mặt phẳng trong không gian, ta chỉ cần hai yếu tố cốt lõi: một điểm mà nó đi qua và một vectơ định hướng vuông góc với nó – gọi là Vectơ pháp tuyến.

1. Vectơ pháp tuyến và Tích có hướng của hai vectơ

1.1. Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng

::: tip Định nghĩa VTPT Cho mặt phẳng $(\alpha)$. Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ nếu giá của nó vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$. :::

Các tính chất cơ bản:

• Nếu $\vec{n}$ là một VTPT của $(\alpha)$ thì $k\vec{n}$ ($k \neq 0$) cũng là một VTPT của $(\alpha)$. Một mặt phẳng có vô số VTPT cùng phương.
• Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ (gọi là cặp vectơ chỉ phương của $(\alpha)$) thì một VTPT của $(\alpha)$ là:$$\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$$

1.2. Công thức tọa độ của tích có hướng

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$.
Tích có hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $[\vec{a}, \vec{b}]$ (hoặc $\vec{a} \times \vec{b}$), là một vectơ vuông góc với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$, có toạ độ xác định bởi:

Khẩu quyết tính toạ độ tích có hướng: "Nhị-tam, tam-nhất, nhất-nhị" (23 - 31 - 12).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

::: tip Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT cho trước Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ $\vec{n} = (A; B; C) \neq \vec{0}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

:::

Khai triển và rút gọn, ta được phương trình dạng:

::: tip Định lý về phương trình tổng quát

• Mọi mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ đều có phương trình dạng:$$Ax + By + Cz + D = 0$$với các hệ số $A, B, C$ không đồng thời bằng 0 ($A^2 + B^2 + C^2 > 0$).
• Ngược lại, mọi phương trình bậc nhất ba ẩn $Ax + By + Cz + D = 0$ đều xác định một mặt phẳng nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm một vectơ pháp tuyến. :::

3. Các trường hợp riêng & Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

3.1. Các trường hợp đặc biệt của $Ax + By + Cz + D = 0$

• Ba mặt phẳng toạ độ có phương trình cực kì đơn giản:
  • Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình: $\mathbf{z = 0}$.
  • Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình: $\mathbf{x = 0}$.
  • Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình: $\mathbf{y = 0}$.

3.2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

::: tip Phương trình theo đoạn chắn Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ cắt ba trục toạ độ $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại ba điểm $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c)$ với $a, b, c \neq 0$ thì phương trình của $(\alpha)$ là:

:::

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $(\alpha_1)$ và $(\alpha_2)$ có phương trình:

1. $(\alpha_1) \parallel (\alpha_2)$ (song song):$$\vec{n}_1 \text{ cùng phương } \vec{n}_2 \text{ và } D_1 \neq k D_2 \iff \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$$
2. $(\alpha_1) \equiv (\alpha_2)$ (trùng nhau):$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$$
3. $(\alpha_1)$ cắt $(\alpha_2)$:$$\vec{n}_1 \text{ không cùng phương } \vec{n}_2 \iff \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} \text{ hoặc } \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$$
4. $(\alpha_1) \perp (\alpha_2)$ (vuông góc nhau):$$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$$

5. Mô phỏng 3D tương tác: Mặt phẳng và Vectơ pháp tuyến

Dưới đây là mô phỏng 3D không gian $Oxyz$ hiển thị mặt phẳng $(\alpha)$ cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}$. Hãy kéo thanh trượt để thay đổi độ nghiêng và độ cao của mặt phẳng để quan sát hướng của vectơ pháp tuyến:

6. Các ví dụ áp dụng chi tiết

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và biết VTPT

Trong không gian $Oxyz$, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(1; -2; 3)$ và nhận vectơ $\vec{n} = (2; -1; 4)$ làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải:

Mặt phẳng $(\alpha)$ có VTPT $\vec{n} = (2; -1; 4)$ và đi qua $A(1; -2; 3)$ có phương trình là:

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Cho ba điểm $A(2; 0; 0)$, $B(0; -1; 0)$, $C(0; 0; 3)$.
a) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo đoạn chắn.
b) Đưa phương trình mặt phẳng $(ABC)$ về dạng tổng quát.

Lời giải:

a) Ba điểm $A, B, C$ nằm lần lượt trên 3 trục toạ độ $Ox, Oy, Oz$. Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

b) Quy đồng mẫu số chung là $6$:

Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Cho hai điểm $A(1; 3; -2)$ và $B(3; -1; 4)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực $(\beta)$ của đoạn thẳng $AB$.

Lời giải:

Mặt phẳng trung trực $(\beta)$ của đoạn thẳng $AB$ là mặt phẳng đi qua trung điểm $I$ của $AB$ và vuông góc với đường thẳng $AB$.

• Toạ độ trung điểm $I$ của $AB$:$$x_I = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_I = \frac{3 + (-1)}{2} = 1, \quad z_I = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \implies I(2; 1; 1)$$
• Vectơ pháp tuyến của $(\beta)$: Vì $(\beta) \perp AB$ nên nhận vectơ $\vec{AB}$ làm VTPT:$$\vec{AB} = (3 - 1; \, -1 - 3; \, 4 - (-2)) = (2; -4; 6)$$Rút gọn VTPT: chọn $\vec{n} = \frac{1}{2}\vec{AB} = (1; -2; 3)$.
• Phương trình mặt phẳng $(\beta)$:$$1(x - 2) - 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 \iff x - 2y + 3z - 3 = 0$$

7. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (10 câu có đáp án và giải chi tiết)