Bài 6. Vectơ trong không gian

Nếu như ở lớp 10, chúng ta đã làm quen với vectơ trên mặt phẳng phẳng hai chiều ($2\text{D}$), thì trong thế giới thực, mọi vật thể – từ máy bay đang bay lượn trên bầu trời, chiếc drone tự hành, cho đến cấu trúc vòm thép của các sân vận động hiện đại – đều chuyển động và chịu lực trong không gian ba chiều ($3\text{D}$).

Để mô tả chính xác hướng bay, lực cản của gió, hay lực căng của các sợi cáp treo cầu, các nhà toán học và kỹ sư sử dụng công cụ mạnh mẽ: Vectơ trong không gian. Mọi quy tắc quen thuộc ở hình học phẳng (như quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành) đều được kế thừa hoàn hảo và mở rộng lên một tầm cao mới với Quy tắc hình hộp và Tính chất đồng phẳng.

I. Định nghĩa và các phép toán vectơ trong không gian

1. Định nghĩa vectơ trong không gian

• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
• Ký hiệu: $\vec{a}, \vec{b}$ hoặc $\vec{AB}$ (điểm $A$ là điểm đầu, điểm $B$ là điểm cuối).
• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối, ký hiệu là $|\vec{a}|$ hoặc $|\vec{AB}| = AB$.
• Vectơ-không (ký hiệu $\vec{0}$) là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (ví dụ: $\vec{AA} = \vec{0}$). Độ dài bằng $0$, hướng tuỳ ý.
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau (ký hiệu $\vec{a} = \vec{b}$) nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Ghi nhớ

Cho trước một điểm $O$ và một vectơ $\vec{a}$. Luôn tồn tại duy nhất một điểm $A$ trong không gian sao cho $\vec{OA} = \vec{a}$.

2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

Các phép toán vectơ trong không gian hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng:

a) Quy tắc ba điểm (Quy tắc tam giác)

Với ba điểm bất kỳ $A, B, C$ trong không gian, ta luôn có:

Quy tắc trừ:

b) Quy tắc hình bình hành

Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì:

c) Quy tắc hình hộp (Đặc trưng cốt lõi của không gian $3\text{D}$)

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Khi đó, vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh $A$ bằng tổng ba vectơ xuất phát từ $A$ nằm trên ba cạnh của hình hộp:

Chứng minh nhanh quy tắc hình hộp:

(Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$, và $AA'C'C$ là hình bình hành nên $\vec{AA'} = \vec{CC'}$).

3. Phép nhân vectơ với một số

Cho số thực $k \ne 0$ và vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$. Tích của số $k$ với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, ký hiệu là $k\vec{a}$, có:

• Độ dài: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Hướng: Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k < 0$.
• Quy ước: $0\vec{a} = \vec{0}$ và $k\vec{0} = \vec{0}$.

Các hệ thức trung điểm và trọng tâm trong không gian:

• Trung điểm đoạn thẳng: $I$ là trung điểm của $AB$ khi và chỉ khi:$$\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0} \iff \vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OI} \quad (\forall O)$$
• Trọng tâm tam giác: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ khi và chỉ khi:$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \iff \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG} \quad (\forall O)$$
• Trọng tâm tứ diện: $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ khi và chỉ khi:$$\mathbf{\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0} \iff \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 4\vec{OG}} \quad (\forall O)$$

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

1. Định nghĩa ba vectơ đồng phẳng

Trong không gian, ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Lưu ý / Cảnh báo

Lưu ý: Ba vectơ có giá cùng đi qua một điểm luôn luôn đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. Nếu các giá chéo nhau nhưng đều song song với cùng một mặt phẳng $(\alpha)$ thì ba vectơ đó vẫn đồng phẳng!

2. Định lý về điều kiện đồng phẳng

Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Khi đó, ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất cặp số thực $(m; n)$ sao cho:

3. Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

Nếu ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng, thì với mọi vectơ $\vec{x}$ bất kỳ trong không gian, luôn tồn tại duy nhất bộ ba số thực $(m; n; p)$ sao cho:

Đây chính là cơ sở toán học để xây dựng Hệ toạ độ không gian $Oxyz$ ở bài sau!

III. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$. Từ một điểm $A$ bất kỳ, dựng $\vec{AB} = \vec{u}$ và $\vec{AC} = \vec{v}$. Khi đó:

• Nếu $(\vec{u}, \vec{v}) = 90^\circ$, ta nói $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau, ký hiệu $\vec{u} \perp \vec{v}$.
• Nếu $\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{v}$ thì $(\vec{u}, \vec{v}) = 0^\circ$.
• Nếu $\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{v}$ thì $(\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ$.

2. Tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian là một số thực, được xác định bởi công thức:

• Bình phương vô hướng: $\vec{u}^2 = |\vec{u}|^2 \implies |\vec{u}| = \sqrt{\vec{u}^2}$.
• Tính góc:$$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$
• Điều kiện vuông góc:$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$

Công cụ trực quan: Mô phỏng góc giữa hai vectơ và Tích vô hướng

Dưới đây là mô phỏng góc $\theta = (\vec{u}, \vec{v})$ và tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Hãy kéo thanh trượt góc $\theta$ hoặc điều chỉnh độ dài $|\vec{u}|, |\vec{v}|$ để quan sát giá trị đại số của tích vô hướng:

IV. Các dạng toán trọng tâm có lời giải chi tiết

Dạng 1: Rút gọn đẳng thức vectơ và vận dụng quy tắc hình hộp

Bài toán 1: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$, $N$ là trung điểm của $DD'$. Chứng minh rằng:

Lời giải: Ta chèn điểm $C'$ và $D'$ vào vectơ $\vec{MN}$:

• Do $M$ là trung điểm của $B'C'$ nên $$\vec{MC'} = \frac{1}{2}\vec{B'C'} = \frac{1}{2}\vec{AD} = -\frac{1}{2}\vec{DA}.$$
• Ta có $\vec{C'D'} = \vec{BA} = -\vec{AB}$.
• Do $N$ là trung điểm của $DD'$ nên $$\vec{D'N} = \frac{1}{2}\vec{D'D} = -\frac{1}{2}\vec{DD'} = -\frac{1}{2}\vec{AA'}.$$

Suy ra:

Đẳng thức được phân tích thành công biểu diễn $\vec{MN}$ theo ba vectơ xuất phát từ đỉnh hình hộp.

Dạng 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng

Bài toán 2: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy các điểm $M, N$ lần lượt trên các cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ và $\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{DC}$. Chứng minh rằng ba vectơ $\vec{MN}, \vec{AC}, \vec{BD}$ đồng phẳng.

Lời giải: Ta phân tích $\vec{MN}$ theo hai con đường:

• Đường 1: $$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN} = -\frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AC} - \frac{2}{3}\vec{CD}.$$
• Đường 2: $$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BD} + \vec{DN} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \vec{BD} + \frac{1}{3}\vec{DC}.$$

Nhân (Đường 1) với $2$ rồi cộng với (Đường 2):

Vì $\vec{MN}$ biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của $\vec{AC}$ và $\vec{BD}$, nên theo định lý về điều kiện đồng phẳng, ba vectơ $\vec{MN}, \vec{AC}, \vec{BD}$ đồng phẳng.

Dạng 3: Tính góc và tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Bài toán 3: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$.

1. Tính tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{A'C'}$.
2. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$.

Lời giải:

1. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{A'C'}$:

   • Vì $A'B'C'D'$ là hình vuông cạnh $a$ và $\vec{A'C'} = \vec{AC}$, ta có:$$\vec{AB} \cdot \vec{A'C'} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\widehat{BAC})$$
   • Ta có $|\vec{AB}| = a$, $|\vec{AC}| = a\sqrt{2}$, và tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $\widehat{BAC} = 45^\circ$.
   • Suy ra:$$\vec{AB} \cdot \vec{A'C'} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2$$

2. Tính góc giữa $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$:

   • Theo quy tắc hình hộp: $\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$.
   • Ta có $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
   • Nhân vô hướng:$$\vec{AC'} \cdot \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB})$$$$= (\vec{AD} + \vec{AB}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB}) + \vec{AA'} \cdot \vec{BD}$$$$= (\vec{AD}^2 - \vec{AB}^2) + \vec{AA'} \cdot \vec{BD}$$
   • Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD = AB = a \implies \vec{AD}^2 - \vec{AB}^2 = a^2 - a^2 = 0$.
   • Vì $AA' \perp (ABCD)$ nên $AA' \perp BD \implies \vec{AA'} \cdot \vec{BD} = 0$.
   • Do đó:$$\vec{AC'} \cdot \vec{BD} = 0 + 0 = 0 \implies \mathbf{(\vec{AC'}, \vec{BD}) = 90^\circ}$$
   • Hai vectơ $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$ vuông góc với nhau!

V. Ứng dụng thực tế: Cân bằng lực của chùm đèn ba dây cáp

Trong kỹ thuật xây dựng và nội thất, một chiếc đèn chùm nặng khối lượng $m = 12\text{ kg}$ (chịu trọng lực $\vec{P}$ có độ lớn $P = mg \approx 12 \times 9.8 = 117.6\text{ N}$) được treo cân bằng dưới trần nhà bằng ba sợi dây cáp $OA, OB, OC$ có chiều dài bằng nhau và cùng tạo với phương thẳng đứng một góc $\alpha = 30^\circ$. Ba điểm treo $A, B, C$ tạo thành tam giác đều trên trần nhà.

Theo định luật I Newton, điều kiện cân bằng của chiếc đèn là tổng hợp lực tác dụng lên điểm $O$ bằng vectơ-không:

Do tính đối xứng của hệ thống ba dây cáp:

• Độ lớn lực căng trên ba sợi dây bằng nhau: $T_A = T_B = T_C = T$.
• Thành phần nằm ngang của ba lực căng triệt tiêu nhau hoàn toàn: $\sum \vec{T}_{\text{ngang}} = \vec{0}$.
• Tổng thành phần hướng thẳng đứng của ba lực cân bằng với trọng lực $\vec{P}$:$$3 \cdot T \cdot \cos(30^\circ) = P \implies T = \frac{P}{3 \cos(30^\circ)} = \frac{117.6}{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 45.26\text{ N}$$Mỗi sợi dây chịu lực căng xấp xỉ $45.3\text{ N}$, cho phép kỹ sư lựa chọn đúng loại cáp có tải trọng an toàn tương ứng!

VI. Trắc nghiệm tự luyện củng cố kiến thức