Bài tập Toán 12: Vectơ và các phép toán trong không gian

Tóm tắt chuyên đề: Chuyên đề Vectơ trong không gian môn Toán 12: cộng trừ vectơ, nhân với một số, tích vô hướng của hai vectơ kèm bài tập trắc nghiệm và lời giải chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Khái niệm vectơ trong không gian; hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau; vectơ-không.

Định nghĩa:

• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Kí hiệu:$\left | { a } \right. |$.

• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

• Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là $u,\,v,\,x,\,y,\,....$ Chú ý

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Định nghĩa tổng hai vectơ:Trong không gian, cho hai vectơ $a,\,b$. Lấy một điểm $A$ tùy ý.

• Vẽ $\left. \overrightarrow { AB }=a,\,\overrightarrow { BC }=\,b \right.$. Vectơ $\overrightarrow { AC }$ là tổng của hai vectơ $a,\,b$.

• Ký hiệu là $a+\,b$.

• Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

• Tính chất giao hoán:$a+\,b=\,b+a$.

• Tính chất kết hợp:$\left ( { a+\,b } \right. )+c=a+\,\left ( { b+c } \right. )$.

• Với mọi vectơ $a$, ta luôn có:$a+0=0+\,a$.

Định nghĩa hiệu hai vectơ:Trong không gian, cho hai vectơ $a,\,b$.

• Hiệu của hai vectơ $a;b$ là vectơ $a+\left ( { -b } \right. )$.

• Kí hiệu là $a-b$.

• Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

Các quy tắc Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành:

• Với ba điểm $A,\,B,\,C$ bất kì, ta có $\left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { BC }=\overrightarrow { AC } \right. \right.$ (Quy tắc ba điểm phép cộng).

• NếuABCDlà hình bình hành thì $\left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AD }=\overrightarrow { AC } \right. \right.$ (Quy tắc hình bình hành).

Quy tắc hình hộp:

• NếuABCD.A'B'C'D'là hình hộp thì $\left. \left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AD }+\overrightarrow { AA' }=\overrightarrow { AC' } \right. \right. \right.$.

Quy tắc hiệu:

• Với ba điểm $A,\,B,\,C$ bất kì, ta có $\left. \left. \overrightarrow { AB }-\overrightarrow { AC }=\overrightarrow { CB } \right. \right.$.

3. Tích của một số với một vectơ

Định nghĩa: Trong không gian, cho số $k≠0$ và vectơ $a≠0$.

• Tích của số $k$ với vectơ $a$ là một vectơ.

• Ký hiệu là $ka$.

• Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

• Cùng hướng với $a$ nếu $k>0$,

• Ngược hướng với $a$ nếu $k < 0$

• Có độ dài bằng $\left | { k } \right. |.\left | { a } \right. |$.

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Góc giữa hai vectơ trong không gianTrong không gian, cho $u$ và $v$ là hai vectơ khác $0$.

• Lấy một điểm $A$ bất kì, gọi $B$ và $C$ là hai điểm sao cho $\left. \overrightarrow { AB }=u,\overrightarrow { AC }=v \right.$. Ta gọi $\widehat { BAC }$ là góc giữa hai vectơ $u$ và $v$.

• Kí hiệu là $\left ( { u,v } \right. )$.

Tích vô hướng hai vectơTrong không gian, cho $u$ và $v$ là hai vectơ khác $0$.

• Tích vô hướng của hai vectơ $u$ và $v$ là một số

• Kí hiệu là $u⋅v$. Được xác định bởi công thức:$u⋅v=\left | { u\left | { ⋅ } \right. |v } \right. |⋅{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { u,v } \right. )$

• Trong trường hợp $u=0$ hoặc $v=0$, ta quy ước $u⋅v=0$.

• $$u.u=u ^ { 2 } =\left | { u } \right. | ^ { 2 } ;u ^ { 2 } ≥0,u ^ { 2 } =0⇔u=0$$

• Với hai vectơ $u,v$ khác $0$, ta có ${ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { u,v } \right. )=\frac { u⋅v } { \left | { u\left | { ⋅ } \right. |v } \right. | }$.

• Với hai vectơ $u,v$ khác $0$, ta có $u⊥v⇔u⋅v=0$. Chú ý

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Sử dụng các định nghĩa

• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Kí hiệu:$\left | { a } \right. |$.

• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Ví dụ 1.1. Cho hình hộpABCD.A'B'C'D'. Trong các vectơ khác $\overrightarrow { 0 }$, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp. Hãy chỉ ra những vectơ:⑴ Cùng phương với vectơ $\overrightarrow { AB }$;⑵ Bằng vectơ $\overrightarrow { AB }$;⑶ Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow { AA' }$.

Lời giải:

⑴ Cùng phương với vectơ $\overrightarrow { AB }$;

Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow { AB }$ là:$\overrightarrow { BA }$,$\overrightarrow { CD }$,$\overrightarrow { DC }$,$\overrightarrow { A'B' }$,$\overrightarrow { B'A' }$,$\overrightarrow { C'D' }$,$\overrightarrow { D'C' }$.

⑵ Bằng vectơ $\overrightarrow { AB }$;

Các vectơ bằng với $\overrightarrow { AB }$ là:$\overrightarrow { DC }$,$\overrightarrow { A'B' }$,$\overrightarrow { D'C' }$.

⑶ Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow { AA' }$.

Các vectơ ngược hướng với $\overrightarrow { AA' }$ là:$\overrightarrow { A'A }$,$\overrightarrow { B'B }$,$\overrightarrow { C'C }$,$\overrightarrow { D'D }$.

Ví dụ 1.2. Cho hình chóp đềuS.ABCDcó cạnh đáy $a$ và đường cao $h$. Gọi $M,\,N,\,P,\,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA,\,SB,\,SC,\,SD$ và $O,\,H$ lần lượt là tâm của các hình vuông $ABCD,\,MNPQ$. Tính độ dài các vectơ $\left. \left. \overrightarrow { MN },\,\overrightarrow { MP },\,\overrightarrow { MS } \right. \right.$ theo $a$ và $h$.

Lời giải:

Ta có

$\left. \left | { \overrightarrow { MN } } \right. |=MN=\frac { AB } { 2 }=\frac { a } { 2 } \right.$;

$\left. \left | { \overrightarrow { MP } } \right. |=MP=\frac { AC } { 2 }=\frac { a\sqrt{ 2 } } { 2 }=AO \right.$.

Tính $$SA=\sqrt{ OA ^ { 2 } +SO ^ { 2 } }=\sqrt{ \frac { a ^ { 2 } } { 2 }+h ^ { 2 } }.$$ Suy ra $\left. \left | { \overrightarrow { MS } } \right. |=MS=\frac { SA } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }\sqrt{ \frac { a ^ { 2 } } { 2 }+h ^ { 2 } } \right.$.

Dạng 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

⁂ Các quy tắc: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành:

• Với ba điểm $A,\,B,\,C$ bất kì, ta có $\left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { BC }=\overrightarrow { AC } \right. \right.$ (Quy tắc ba điểm phép cộng).

• NếuABCDlà hình bình hành thì $\left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AD }=\overrightarrow { AC } \right. \right.$ (Quy tắc hình bình hành).

Quy tắc hình hộp:

• NếuABCD.A'B'C'D'là hình hộp thì $\left. \left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AD }+\overrightarrow { AA' }=\overrightarrow { AC' } \right. \right. \right.$.

Quy tắc hiệu:

• Với ba điểm $A,\,B,\,C$ bất kì, ta có $\left. \left. \overrightarrow { AB }-\overrightarrow { AC }=\overrightarrow { CB } \right. \right.$.

Phương pháp

Ví dụ 2.1. Cho hình lập phương $ABCD.\,A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2$. Tìm độ dài của các vectơ sau:⑴$\left. \left. \left. a=\overrightarrow { BA }+\overrightarrow { BC }+\overrightarrow { BB' } \right. \right. \right.$;⑵$\left. \left. \left. b=\overrightarrow { BC }-\overrightarrow { BA }+\overrightarrow { C' }A \right. \right. \right.$

Lời giải:

⑴$\left. \left. \left. a=\overrightarrow { BA }+\overrightarrow { BC }+\overrightarrow { BB' } \right. \right. \right.$;

$\left. \left. \left. \left. \left. a=\overrightarrow { BA }+\overrightarrow { BC }+\overrightarrow { BB' }=\overrightarrow { BD' }⇒\,\left | { a } \right. |=\left | { \overrightarrow { BD' } } \right. |=BD'=2\sqrt{ 3 } \right. \right. \right. \right. \right.$.

⑵$\left. \left. \left. b=\overrightarrow { BC }-\overrightarrow { BA }+\overrightarrow { C' }A \right. \right. \right.$

$\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. b=\overrightarrow { BC }-\overrightarrow { BA }+\overrightarrow { C'A }=\overrightarrow { AC }+\overrightarrow { C'A }=\overrightarrow { C'C }⇒\,\left | { b } \right. |=\left | { \overrightarrow { C'C } } \right. |=C'C=2 \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$.

Ví dụ 2.2. Cho tứ diệnABCD. Chứng minh $\left. \left. \left. \overrightarrow { AC }+\overrightarrow { BD }=\overrightarrow { AD }+\overrightarrow { BC } \right. \right. \right.$.

Lời giải:

Ta có:

$\left. \left. VT=\overrightarrow { AC }+\overrightarrow { BD } \right. \right.$

$\left. \left. \left. \left. =\overrightarrow { AD }+\overrightarrow { DC }+\overrightarrow { BC }+\overrightarrow { CD } \right. \right. \right. \right.$

Ví dụ 2.3. Cho hình hộp $ABCD.\,EFGH$. Chứng minh rằng $\left. \left. \left. \left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AD }\,+\overrightarrow { AE }+\overrightarrow { GH }+\overrightarrow { GB }=\overrightarrow { 0 } \right. \right. \right. \right. \right.$.

Lời giải:

heo quy tắc hình hộp ta có:$\left. \left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AD }\,+\overrightarrow { AE }=\overrightarrow { AG }\,\,\left ( { 1 } \right. ) \right. \right. \right.$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:$\left. \left. \overrightarrow { GH }+\overrightarrow { GB }=\overrightarrow { GA }\,\left ( { 2 } \right. ) \right. \right.$.

$\xrightarrow {\mathrm{ \left ( { 1 } \right. )\&\left ( { 2 } \right. ) }}$ $\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AD }\,+\overrightarrow { AE }+\overrightarrow { GH }+\overrightarrow { GB }=\overrightarrow { AG }+\overrightarrow { GA }=\overrightarrow { AA }=\overrightarrow { 0 } \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$ (đpcm).

Ví dụ 2.4. Một chất điểm chịu tác động bởi 3 lực $\left. \left. \overrightarrow { F_{ 1 } },\,\overrightarrow { F_{ 2 } },\,\overrightarrow { F_{ 3 } } \right. \right.$ có chung điểm đặt $A$ và có giá vuông góc nhau từng đôi một. Biết cường độ của các lực $\left. \left. \overrightarrow { F_{ 1 } },\,\overrightarrow { F_{ 2 } },\,\overrightarrow { F_{ 3 } } \right. \right.$ lần lượt là $10\,{ \rm{ N } },\,\,8\,{ \rm{ N } }$ và $5\,{ \rm{ N } }$. Xác định hợp lực của 3 lực và tính cường độ của hợp lực (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Tổng hợp lực của 3 lực $\left. \left. \overrightarrow { F_{ 1 } },\,\overrightarrow { F_{ 2 } },\,\overrightarrow { F_{ 3 } } \right. \right.$ là lực $\overrightarrow { F }$ được dựng theo qui tắc hình hộp chữ nhật.

Vậy cường độ tổng hợp lực là $\left. \left | { \overrightarrow { F } } \right. |=\sqrt{ 10 ^ { 2 } +8 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } }=3\sqrt{ 21 }\,N≈14\,{ \rm{ N } } \right.$.

Dạng 3. Tích của một số với một vectơ

Trong không gian, cho số $k≠0$ và vectơ $a≠0$.

• Tích của số $k$ với vectơ $a$ là một vectơ. Ký hiệu là $ka$. Có độ dài bằng $\left | { k } \right. |.\left | { a } \right. |$.

• Cùng hướng với $a$ nếu $k>0$,

• Ngược hướng với $a$ nếu $k < 0$⁂ Với hai vectơ $a$ và $b$ bất kì, với mọi số $h$ và $k$, ta luôn có⑴$k\left ( { a+b } \right. )=ka+kb$⑵$\left ( { h+k } \right. )a=ha+ka$⑶$h\left ( { ka } \right. )=\left ( { hk } \right. )a$⑷$1⋅a=a$⑸$\left ( { -1 } \right. )⋅a=-a$⑹ Hai vectơ $a$ và $b$ $\left ( { b≠0 } \right. )$ cùng phương khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $a=kb$.⑺ Ba điểm phân biệt $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k≠0$ để $\left. \overrightarrow { AB }=k\overrightarrow { AC } \right.$..⁂ Hệ quả:⑴$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ $\left. \left. ⇔\overrightarrow { IA }+\overrightarrow { IB }=0 \right. \right.$ $\left. \left. \left. ⇔2\overrightarrow { OI }=\overrightarrow { OA }+\overrightarrow { OB } \right. \right. \right.$, với mọi điểm $O$.⑵$G$ là trọng tâmtam giác $ABC$ $\left. \left. \left. ⇔\overrightarrow { GA }+\overrightarrow { GB }+\overrightarrow { GC }=0 \right. \right. \right.$ $\left. \left. \left. \left. ⇔3\overrightarrow { OG }=\overrightarrow { OA }+\overrightarrow { OB }+\overrightarrow { OC } \right. \right. \right. \right.$, với mọi điểm $O$. Phương pháp

Ví dụ 3.1. Cho tứ diệnABCD. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ và $O$ là trung điểm đoạn thẳng $AG$. Chứng minh rằng:⑴$\left. \left. \left. \left. 3\overrightarrow { OA }+\overrightarrow { OB }+\overrightarrow { OC }+\overrightarrow { OD }=0 \right. \right. \right. \right.$;⑵$\left. \left. \left. \left. \left. 3\overrightarrow { MA }+\overrightarrow { MB }+\overrightarrow { MC }+\overrightarrow { MD }=6\overrightarrow { MO } \right. \right. \right. \right. \right.$ ($M$ là điểm bất kì trong không gian).

Lời giải:

⑴$\left. \left. \left. \left. 3\overrightarrow { OA }+\overrightarrow { OB }+\overrightarrow { OC }+\overrightarrow { OD }=0 \right. \right. \right. \right.$;

Vì $G$ là trọng tâm củaΔBCDnên $\left. \left. \left. \left. 3\overrightarrow { OG }=\overrightarrow { OB }+\overrightarrow { OC }+\overrightarrow { OD } \right. \right. \right. \right.$.

Vì $O$ là trung điểm đoạn thẳng $AG$ nên $\left. \overrightarrow { OA }+\overrightarrow { OG }=0 \right.$.

Do đó:$\left. \left. \left. \left. \left. \left. 3\overrightarrow { OA }+\overrightarrow { OB }+\overrightarrow { OC }+\overrightarrow { OD }=3\left ( { \overrightarrow { OA }+\overrightarrow { OG } } \right. )=0 \right. \right. \right. \right. \right. \right.$.

⑵$\left. \left. \left. \left. \left. 3\overrightarrow { MA }+\overrightarrow { MB }+\overrightarrow { MC }+\overrightarrow { MD }=6\overrightarrow { MO } \right. \right. \right. \right. \right.$ ($M$ là điểm bất kì trong không gian).

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

$\left. \left. \left. \left. 3\overrightarrow { MA }+\overrightarrow { MB }+\overrightarrow { MC }+\overrightarrow { MD } \right. \right. \right. \right.$

$\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. =3\left ( { \overrightarrow { MO }+\overrightarrow { OA } } \right. )+\overrightarrow { MO }+\overrightarrow { OB }+\overrightarrow { MO }+\overrightarrow { OC }+\overrightarrow { MO }+\overrightarrow { OD } \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$ $\left. \left. \left. \left. \left. \left. =6\overrightarrow { MO }+3\overrightarrow { OA }+\overrightarrow { OB }+\overrightarrow { OC }+\overrightarrow { OD }=6\overrightarrow { MO } \right. \right. \right. \right. \right. \right.$

Ngoài ra, có thể giải cách khác:

Do $G$ là trọng tâm $\vartriangle BCD$ nên $\left. \left. \left. \overrightarrow { MB }+\overrightarrow { MC }+\overrightarrow { MD }=3\overrightarrow { MG } \right. \right. \right.$.

Do đó:$\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. 3\overrightarrow { MA }+\overrightarrow { MB }+\overrightarrow { MC }+\overrightarrow { MD }=3\overrightarrow { MA }+3\overrightarrow { MG }=3\left ( { \overrightarrow { MA }+\overrightarrow { MG } } \right. )=3.2\overrightarrow { MO }=6\overrightarrow { MO } \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$.

Ví dụ 3.2. Cho hình hộpABCD.A'B'C'D'. Giả sử điểm $M$ thuộc $AC$, điểm $N$ thuộc $DC'$ và $\left. \left. \left. \overrightarrow { AM }=x\overrightarrow { AC },\,\,\overrightarrow { DN }=y\overrightarrow { DC' } \right. \right. \right.$⑴ Biểu diễn các vectơ $\left. \overrightarrow { BD' },\,\,\overrightarrow { MN } \right.$ theo $\left. \left. \overrightarrow { BA }=a,\,\,\overrightarrow { BC }=b,\,\,\overrightarrow { BB' }=c \right. \right.$.;⑵ Tìm $x$ và $y$ sao cho $MN{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }BD'$, khi đó tính tỉ số $\frac { MN } { BD' }$.

Lời giải:

⑴ Biểu diễn các vectơ $\left. \overrightarrow { BD' },\,\,\overrightarrow { MN } \right.$ theo $\left. \left. \overrightarrow { BA }=a,\,\,\overrightarrow { BC }=b,\,\,\overrightarrow { BB' }=c \right. \right.$.;

Ta có:$\left. \left. \overrightarrow { BA }=a,\,\,\overrightarrow { BC }=b,\,\,\overrightarrow { BB' }=c \right. \right.$.

Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có:$\overrightarrow { BD' }=a+b+c$.

Ta có:$\left. \left. \overrightarrow { MN }=\overrightarrow { BN }-\overrightarrow { BM } \right. \right.$.

Từ $\left. \overrightarrow { DN }=y\overrightarrow { DC' } \right.$, ta có $\left. \left. \left. \overrightarrow { BN }-\overrightarrow { BD }=y\left ( { \overrightarrow { BC' }-\overrightarrow { BD } } \right. ) \right. \right. \right.$, suy ra:

$\overrightarrow { BN }-\left ( { a+b } \right. )=y\left ( { b+c-a-b } \right. )$.

$\overrightarrow { BN }=\left ( { 1-y } \right. )a+b+yc$.

Từ $\left. \overrightarrow { AM }=x\overrightarrow { AC } \right.$, suy ra $\left. \left. \left. \overrightarrow { BM }-\overrightarrow { BA }=x\left ( { \overrightarrow { BC }-\overrightarrow { BA } } \right. ) \right. \right. \right.$.

Vậy $\left. \overrightarrow { BM }-a=x\left ( { b-a } \right. )⇒\overrightarrow { BM }=\left ( { 1-x } \right. )a+xb \right.$.

Do đó:$\left. \left. \overrightarrow { MN }=\overrightarrow { BN }-\overrightarrow { BM }=\left ( { 1-y } \right. )a+b+yc-\left ( { 1-x } \right. )a-xb=\left ( { x-y } \right. )a+\left ( { 1-x } \right. )b+yc. \right. \right.$

⑵ Tìm $x$ và $y$ sao cho $MN{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }BD'$, khi đó tính tỉ số $\frac { MN } { BD' }$.

Điều kiện để $MN{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }BD'$ là $\left. \overrightarrow { MN }=k\overrightarrow { BD' } \right.$ hay

$\left ( { x-y } \right. )a+\left ( { 1-x } \right. )b+yc=k\left ( { a+b+c } \right. )$

$\left ( { x-y } \right. )a+\left ( { 1-x } \right. )b+yc=ka+kb+kc\,\,\,\,\,(*)$

Do $a,b,c$ không cùng phương nên từ (*) suy ra:$\left\{ \begin{array}{l} k=x-yk=1-xk=y \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} x-2y=0x+y=1k=y \end{array} \right.⇔\left ( { x;y;k } \right. )=\left ( { \frac { 2 } { 3 };\frac { 1 } { 3 };\frac { 1 } { 3 } } \right. )$.

Vậy $M$ và $N$ được xác định bởi bởi $\left. \left. \left. \overrightarrow { AM }=\frac { 2 } { 3 }\overrightarrow { AC },\,\,\overrightarrow { DN }=\frac { 1 } { 3 }\overrightarrow { DC' } \right. \right. \right.$ và $\left. \overrightarrow { MN }=\left ( { \frac { 2 } { 3 }-\frac { 1 } { 3 } } \right. )a+\left ( { 1-\frac { 2 } { 3 } } \right. )b+\frac { 1 } { 3 }c=\frac { 1 } { 3 }\left ( { a+b+c } \right. )=\frac { 1 } { 3 }\overrightarrow { BD' } \right.$.

Lúc này $\frac { MN } { BD' }=\left | { k } \right. |=\frac { 1 } { 3 }$.

Dạng 4. Tích vô hướng và góc của hai vectơ

⁂ Góc giữa hai vectơ:Trong không gian, cho $u$ và $v$ là hai vectơ khác $0$.

• Lấy một điểm $A$ bất kì, Gọi $B$ và $C$ là hai điểm sao cho $\left. \overrightarrow { AB }=u,\overrightarrow { AC }=v \right.$. Ta gọi $\widehat { BAC }$ là góc giữa hai vectơ $u$ và $v$. Kí hiệu là $\left ( { u,v } \right. )$.⁂ Tích vô hướng hai vectơ:Trong không gian, cho $u$ và $v$ là hai vectơ khác $0$.

• Tích vô hướng của hai vectơ $u$ và $v$ là một số. Kí hiệu là $u⋅v$. Được xác định bởi công thức:$u⋅v=\left | { u\left | { ⋅ } \right. |v } \right. |⋅{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { u,v } \right. )$⁂ Chú ý:⑴$0°≤\left ( { u,v } \right. )≤180°$⑵ Nếu $\left ( { u,v } \right. )=90°$ thì ta nói $u$ và $v$ vuông góc với nhau, kí hiệu $u⊥v$.⑶ Khi $u$ và $v$ cùng hướng thì $\left ( { u,v } \right. )=0°$.⑷ Khi $u$ và $v$ ngược hướng thì $\left ( { u,v } \right. )=180°$.⑸$$u.u=u ^ { 2 } =\left | { u } \right. | ^ { 2 } ;u ^ { 2 } ≥0,u ^ { 2 } =0⇔u=0$$ Phương pháp

Lời giải:

⑴$\left. \left. \left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { A'D' } } \right. ) \right. \right.$

Ta có $\left. \overrightarrow { AD }=\overrightarrow { A'D' } \right.$, suy ra $\left. \left. \left. \left. \left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { A'D' } } \right. )=\left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AD } } \right. )= \widehat { BAD }=90° \right. \right. \right. \right.$.

⑵$\left. \left. \left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { A'C' } } \right. ) \right. \right.$

Ta có $\left. \overrightarrow { A'C' }=\overrightarrow { AC } \right.$, suy ra $\left. \left. \left. \left. \left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { A'C' } } \right. )=\left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } } \right. )= \widehat { BAC }=45° \right. \right. \right. \right.$.

⑶$\left. \left. \left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { D'C' } } \right. ) \right. \right.$

Ta có $\left. \left. \overrightarrow { D'C' }=\overrightarrow { DC }=\overrightarrow { AB } \right. \right.$, suy ra $\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { D'C' } } \right. )=\left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { DC } } \right. )=\left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AB } } \right. )=0° \right. \right. \right. \right. \right. \right.$.

⑷$\left. \left. \left ( { \overrightarrow { AD },\overrightarrow { C'B' } } \right. ) \right. \right.$

Ta có $\left. \left. \overrightarrow { C'B' }=\overrightarrow { CB }=\overrightarrow { DA } \right. \right.$, suy ra $\left. \left. \left. \left. \left ( { \overrightarrow { AD },\overrightarrow { C'B' } } \right. )=\left ( { \overrightarrow { AD },\overrightarrow { DA } } \right. )=180° \right. \right. \right. \right.$ (do $\overrightarrow { AD }$ và $\overrightarrow { DA }$ đối nhau nên ngược hướng).

Ví dụ 4.2. Cho tứ diện đềuABCDcó $H$ là trung điểm của $AB$. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ⑴$\overrightarrow { AB }$ và $\overrightarrow { BC }$⑵$\overrightarrow { CH }$ và $\overrightarrow { AC }$

Lời giải:

⑴$\overrightarrow { AB }$ và $\overrightarrow { BC }$.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$

$\left. \left. \left. \left. ⇒\left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { BC } } \right. )=\left ( { \overrightarrow { BA' },\overrightarrow { AC } } \right. )= \widehat { CBA' } \right. \right. \right. \right.$

Ta cóΔABCđều $\left. \left. ⇒ \widehat { ABC }=60°⇒ \widehat { A'BC }=120°⇒\left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { BC } } \right. )=120° \right. \right.$.

⑵$\overrightarrow { CH }$ và $\overrightarrow { AC }$.

Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $A$

$\left. \left. \left. \left. ⇒\left ( { \overrightarrow { AC },\overrightarrow { CH } } \right. )=\left ( { \overrightarrow { CM },\overrightarrow { CH } } \right. )= \widehat { MCH } \right. \right. \right. \right.$

Ta cóΔABCđều $\left. \left. ⇒ \widehat { ACH }=30°⇒ \widehat { MCH }=150°⇒\left ( { \overrightarrow { AC },\overrightarrow { CH } } \right. )=150° \right. \right.$.

Ví dụ 4.3. Cho tứ diệnABCDcó $AC$ và $BD$ cùng vuông góc với $AB$. Gọi $I,\,J$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AB,\,\,CD$. Chứng minh rằng $IJ⊥AB$.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có $\left. \overrightarrow { AB }.\overrightarrow { AC } \right.$ $\left. \left. =\overrightarrow { AB }.\overrightarrow { BD }=0 \right. \right.$.

$I$ là trung điểm của $AB$ nên $\left. \left. \overrightarrow { IA }+\overrightarrow { IB }=\overrightarrow { 0 } \right. \right.$

$J$ là trung điểm của $CD$ nên $\left. \left. \overrightarrow { CJ }+\overrightarrow { DJ }=\overrightarrow { 0 } \right. \right.$

Ta lại có:

$\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \overrightarrow { IJ }=\overrightarrow { IA }+\overrightarrow { AC }+\overrightarrow { CJ }\overrightarrow { IJ }=\overrightarrow { IB }+\overrightarrow { BD }+\overrightarrow { DJ } \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$

Suy ra $\left. \left. \left. 2\overrightarrow { IJ }=\overrightarrow { AC }+\overrightarrow { BD } \right. \right. \right.$ hay $\left. \left. \overrightarrow { IJ }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overrightarrow { AC }+\overrightarrow { BD } } \right. ) \right. \right.$

Do đó,$\left. \overrightarrow { IJ }.\overrightarrow { AB } \right.$ $\left. \left. \left. =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overrightarrow { AC }+\overrightarrow { BD } } \right. ).\overrightarrow { AB } \right. \right. \right.$ $\left. \left. \left. \left. =\frac { 1 } { 2 }\overrightarrow { AC }.\overrightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overrightarrow { BD }.\overrightarrow { AB } \right. \right. \right. \right.$ $=0$

Suy ra $\left. \overrightarrow { IJ }⊥\overrightarrow { AB } \right.$ hay $IJ⊥AB$.

III. Bài tập trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Tự luyện tương tác)

Học sinh làm bài trực tiếp trên hệ thống để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết tức thì.