Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Khi nghiên cứu các hiện tượng trong tự nhiên, kỹ thuật và đời sống, chúng ta thường quan tâm đến trạng thái của hệ thống trong dài hạn (khi thời gian $t \to +\infty$) hoặc khi đối số tiếp cận những ngưỡng nhạy cảm nguy hiểm (như áp suất tăng vô hạn khi thể tích co về $0$).

Trong hình học giải tích, các hành vi đó thể hiện qua hình ảnh đồ thị hàm số vươn ra xa vô tận nhưng lại ngày càng áp sát đến mức gần như trùng khít vào một đường thẳng cố định. Đường thẳng đặc biệt đó được gọi là Đường tiệm cận (Asymptote).

Chương trình Toán 12 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống) trang bị cho các em đầy đủ 3 loại tiệm cận chuẩn mực: Tiệm cận đứng, Tiệm cận ngang và Tiệm cận xiên.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Tính giới hạn sau: $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 3}$.
2. Khi $x$ tiến dần về $3$ từ bên phải ($x \to 3^+$), giá trị của phân thức $\frac{2x + 1}{x - 3}$ tiến về đâu?
3. Đường thẳng có phương trình $x = 2$ có song song với trục $Oy$ không?
4. Đường thẳng có phương trình $y = -1$ có song song với trục $Ox$ không?
5. Chia đa thức sau: $(x^2 + 2x - 1) : (x + 1)$. Thương số và phần dư là bao nhiêu?

Mẹo hay

Đáp án nhanh:

1. Chia cả tử và mẫu cho $x$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + 1/x}{1 - 3/x} = 2$.
2. Mẫu tiến về $0^+$ (dương), tử tiến về $7 > 0 \implies \lim = +\infty$.
3. Có, $x = 2$ là đường thẳng thẳng đứng song song với trục $Oy$.
4. Có, $y = -1$ là đường thẳng nằm ngang song song với trục $Ox$.
5. $\frac{x^2 + 2x - 1}{x + 1} = x + 1 - \frac{2}{x + 1}$. Thương là $x + 1$, dư $-2$.

I. Đường Tiệm cận đứng

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên một khoảng có đầu mút là $x_0$.

Quan trọng

Định nghĩa Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1. $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$
2. $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$
3. $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$
4. $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$

2. Dấu hiệu nhận biết nhanh cho hàm phân thức

Với hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$:

• Các đường tiệm cận đứng thường xuất phát từ các nghiệm $x_0$ của mẫu số $Q(x) = 0$.
• Nếu $x_0$ là nghiệm của mẫu nhưng không phải là nghiệm của tử số ($P(x_0) \ne 0$), thì đường thẳng $x = x_0$ chắc chắn là tiệm cận đứng.
• Nếu $x_0$ vừa là nghiệm của mẫu vừa là nghiệm của tử, ta phải rút gọn phân thức triệt tiêu nhân tử $(x - x_0)$ trước khi kết luận!

Ví dụ: Hàm số $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$ (với $x \ne 1$). Khi $x \to 1$, $y \to 2$ (hữu hạn), nên đồ thị không có tiệm cận đứng mà chỉ bị "thủng một lỗ" tại điểm $(1; 2)$.

II. Đường Tiệm cận ngang

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; +\infty)$ hoặc $(-\infty; b)$.

Quan trọng

Định nghĩa Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$$

Ghi nhớ

Số lượng tiệm cận ngang: Một đồ thị hàm số có thể có tối đa 2 đường tiệm cận ngang (khi $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ cho ra 2 giá trị hữu hạn khác nhau). Điều này thường xảy ra ở các hàm số chứa căn thức bậc hai $\sqrt{x^2} = |x|$.

2. Dấu hiệu đối với phân thức hữu tỉ

Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (trong đó $P(x)$ có bậc $m$, $Q(x)$ có bậc $n$):

• Nếu $m < n$ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu): Đồ thị luôn có tiệm cận ngang là trục hoành: $y = 0$.
• Nếu $m = n$ (bậc tử bằng bậc mẫu): Đồ thị có tiệm cận ngang là $y = \frac{a_m}{b_n}$ (tỉ số hai hệ số của lũy thừa cao nhất).
• Nếu $m > n$ (bậc tử lớn hơn bậc mẫu): Đồ thị không có tiệm cận ngang.

III. Đường Tiệm cận xiên (Trọng tâm mới trong GDPT 2018)

Khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 bậc, đồ thị không tiến về một đường nằm ngang mà sẽ tiến sát về một đường thẳng nghiêng.

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; +\infty)$ hoặc $(-\infty; b)$.

Quan trọng

Định nghĩa Đường tiệm cận xiên: Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \ne 0$) được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:

$$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$$

2. Phương pháp tìm tiệm cận xiên

Cách 1: Chia đa thức (áp dụng cho hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1)

Cho hàm số:

Bằng phép chia đa thức tử cho mẫu, ta luôn biểu diễn được:

Vì $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{r}{px + q} = 0$, nên đường thẳng:

chính là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số!

Cách 2: Công thức giới hạn tổng quát

Nếu không chia đa thức được trực tiếp, ta tính hệ số $a$ và $b$ bằng giới hạn:

Công cụ trực quan: Bộ Mô phỏng Tiệm cận Đứng, Ngang và Xiên

Hãy bấm chọn chuyển đổi giữa hai hàm số mẫu kinh điển bên dưới để quan sát cách các đường tiệm cận (nét đứt màu đỏ/xanh) định hình khung xương của đồ thị:

IV. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Tìm tiệm cận của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Bài toán 1: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

Lời giải: Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

1. Tìm tiệm cận đứng: Xét tại điểm kỳ dị $x = 2$:

   $$\lim_{x \to 2^+} \frac{3x + 1}{2 - x} = -\infty \quad (\text{vì tử } \to 7 > 0 \text{ và mẫu } 2 - x \to 0^- < 0)$$$$\lim_{x \to 2^-} \frac{3x + 1}{2 - x} = +\infty \quad (\text{vì tử } \to 7 > 0 \text{ và mẫu } 2 - x \to 0^+ > 0)$$

   Vậy đường thẳng $\mathbf{x = 2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Tìm tiệm cận ngang: Xét giới hạn tại vô cực:

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{2 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{\frac{2}{x} - 1} = \frac{3}{-1} = -3$$$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x + 1}{2 - x} = -3$$

   Vậy đường thẳng $\mathbf{y = -3}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Dạng 2: Tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Bài toán 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:

Lời giải: Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

1. Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu là $x = 1$. Thay $x = 1$ vào tử: $2(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 \ne 0$.

   $$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1} = +\infty; \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1} = -\infty$$

   Do đó đường thẳng $\mathbf{x = 1}$ là tiệm cận đứng.

2. Tiệm cận xiên: Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu:

   $$2x^2 - 3x + 2 = 2x(x - 1) - (x - 1) + 1 = (2x - 1)(x - 1) + 1$$

   Suy ra:

   $$f(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x - 1}$$

   Xét hiệu:

   $$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (2x - 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x - 1} = 0$$

   Vậy đường thẳng $\mathbf{y = 2x - 1}$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Dạng 3: Tìm tiệm cận của hàm số chứa căn thức

Bài toán 3: Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

Lời giải: Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Xét các giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$:

1. Khi $x \to +\infty$ ($x > 0 \implies \sqrt{x^2 + 1} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$):

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - 2x}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - 2}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1 - 2}{1} = -1$$

   Vậy đường thẳng $\mathbf{y = -1}$ là một tiệm cận ngang.

2. Khi $x \to -\infty$ ($x < 0 \implies \sqrt{x^2 + 1} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$):

   $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - 2x}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - 2}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{-1 - 2}{1} = -3$$

   Vậy đường thẳng $\mathbf{y = -3}$ là một tiệm cận ngang thứ hai.

Kết luận: Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận ngang phân biệt là $\mathbf{y = -1}$ và $\mathbf{y = -3}$.

V. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)

VI. Ứng dụng Thực tế: Nồng độ Thuốc Dược phẩm và Đường cong Học tập

Khái niệm đường tiệm cận xuất hiện tự nhiên trong y dược học và tâm lý học nhận thức:

Mẹo hay

Giải pháp phân tích y khoa:

1. Tại thời điểm $t = 0$:$$C(0) = \frac{15(0) + 2}{3(0) + 4} = \frac{2}{4} = 0.5\text{ mg/L}$$
2. Khi $t \to +\infty$:$$\lim_{t \to +\infty} C(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{15t + 2}{3t + 4} = \frac{15}{3} = 5\text{ mg/L}$$Đường thẳng $C = 5$ chính là đường tiệm cận ngang của đồ thị nồng độ thuốc.
   Ý nghĩa lâm sàng: Dù truyền thuốc trong bao lâu, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cũng sẽ không bao giờ vượt quá ngưỡng an toàn $5\text{ mg/L}$, bảo vệ bệnh nhân khỏi nguy cơ ngộ độc kháng sinh!