Bài 18. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Trong khoa học dữ liệu, trí tuệ nhân tạo (Machine Learning) và y học hiện đại, có hai công cụ xác suất được coi là "kinh điển" và có tầm ảnh hưởng sâu rộng nhất: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes.

Giả sử một bệnh viện sử dụng một bộ kít xét nghiệm có độ chính xác lên đến $99\%$. Một người đi xét nghiệm và nhận kết quả Dương tính (+). Liệu có phải người đó chắc chắn $99\%$ đã mắc bệnh hiểm nghèo? Hoàn toàn không! Nếu căn bệnh đó rất hiếm trong cộng đồng (chỉ $1$ trên $1000$ người mắc), thì xác suất thực sự người đó bị bệnh có khi chỉ chưa đầy $9\%$! Nghịch lý kinh điển này sẽ được giải thích sáng tỏ và toán học hóa một cách chính xác tuyệt đối thông qua bài học hôm nay.

1. Nhóm biến cố đầy đủ (Hệ đầy đủ các biến cố)

::: tip Định nghĩa nhóm biến cố đầy đủ Các biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ được gọi là một nhóm biến cố đầy đủ (hay hệ đầy đủ) nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện:

1. Đôi một xung khắc: $A_i \cap A_j = \emptyset$ với mọi $i \neq j$.
2. Hợp của chúng là không gian mẫu: $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega$. :::

Hệ quả quan trọng: Khi tiến hành phép thử, chắc chắn có một và chỉ một biến cố trong nhóm $A_1, A_2, \dots, A_n$ xảy ra.
Do đó:

$$P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n) = 1$$

Trường hợp đặc biệt thường gặp nhất là $n = 2$: Với mọi biến cố $A$, hai biến cố $A$ và biến cố đối $\bar{A}$ luôn tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ vì $A \cap \bar{A} = \emptyset$ và $A \cup \bar{A} = \Omega$.

2. Công thức xác suất toàn phần

Giả sử biến cố $B$ có thể xảy ra cùng với một trong các biến cố của nhóm đầy đủ $A_1, A_2, \dots, A_n$. Vì các biến cố $A_i$ phủ kín $\Omega$, ta có thể phân tích $B$ thành các mảnh rời nhau:

Vì các $A_i$ đôi một xung khắc nên các giao $(B \cap A_i)$ cũng đôi một xung khắc. Lấy xác suất và áp dụng công thức nhân:

::: tip Công thức xác suất toàn phần Cho $A_1, A_2, \dots, A_n$ là một nhóm biến cố đầy đủ với $P(A_i) > 0$. Với một biến cố $B$ bất kì, ta có:

:::

::: tip Dạng 2 biến cố đối nhau (phổ biến nhất) Nếu $A$ và $\bar{A}$ là hai biến cố đối nhau thì với biến cố $B$ bất kì:

:::

3. Công thức Bayes

Nhà toán học kiêm mục sư người Anh Thomas Bayes (1701 – 1761) đã đặt câu hỏi ngược lại:
Nếu biến cố $B$ đã xảy ra, xác suất để nó bắt nguồn từ nguyên nhân cụ thể $A_k$ là bao nhiêu?

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện:

Thay $P(A_k \cap B) = P(A_k) \cdot P(B|A_k)$ ở tử số, và thay $P(B)$ bằng công thức xác suất toàn phần ở mẫu số, ta thu được:

::: tip Công thức Bayes Cho $A_1, A_2, \dots, A_n$ là một nhóm biến cố đầy đủ và $B$ là biến cố có $P(B) > 0$. Khi đó với mỗi $k \in \{1, 2, \dots, n\}$:

:::

::: tip Dạng hai biến cố đối nhau

:::

4. Mô phỏng tương tác: Nghịch lý xét nghiệm y tế và Định lý Bayes

Xét một căn bệnh có tỷ lệ mắc trong cộng đồng là $P(\text{Bệnh})$ (tiền nghiệm).
Một xét nghiệm có độ nhạy $P(+|\text{Bệnh}) = 99\%$ (người bệnh xét nghiệm đúng dương tính) và độ đặc hiệu $P(-|\text{Khỏe}) = 98\%$ (người khỏe cho âm tính, tức có $2\%$ dương tính giả).

Hãy kéo thanh trượt tỷ lệ người mắc bệnh trong cộng đồng để quan sát xác suất thực sự một người bị bệnh khi đã nhận kết quả Dương tính $P(\text{Bệnh}|+)$:

5. Các ví dụ minh họa áp dụng chi tiết

Ví dụ 1: Quản lý chất lượng sản phẩm từ nhiều phân xưởng (Xác suất toàn phần)

Một công ty may mặc nhập sản phẩm áo sơ mi từ hai phân xưởng I và II.

• Phân xưởng I cung cấp $60\%$ tổng số áo của công ty, tỷ lệ phế phẩm là $3\%$.
• Phân xưởng II cung cấp $40\%$ tổng số áo của công ty, tỷ lệ phế phẩm là $5\%$.
  Chọn ngẫu nhiên một chiếc áo từ kho của công ty. Tính xác suất để chiếc áo được chọn là phế phẩm.

Lời giải:

• Gọi $A_1$ là biến cố: "Áo do phân xưởng I sản xuất" $\implies P(A_1) = 0.6$.
• Gọi $A_2$ là biến cố: "Áo do phân xưởng II sản xuất" $\implies P(A_2) = 0.4$.
  Rõ ràng $\{A_1, A_2\}$ là một nhóm biến cố đầy đủ ($0.6 + 0.4 = 1$).
• Gọi $B$ là biến cố: "Chiếc áo được chọn là phế phẩm".
  Theo đề bài:
  • Tỷ lệ phế phẩm của xưởng I: $P(B|A_1) = 0.03$.
  • Tỷ lệ phế phẩm của xưởng II: $P(B|A_2) = 0.05$.
• Áp dụng công thức xác suất toàn phần:$$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) = 0.6 \cdot 0.03 + 0.4 \cdot 0.05 = 0.018 + 0.020 = 0.038 = 3.8\%$$

Ví dụ 2: Truy tìm nguồn gốc phế phẩm (Áp dụng công thức Bayes)

Vẫn với công ty may mặc ở Ví dụ 1, giả sử nhân viên kiểm tra chọn ngẫu nhiên một chiếc áo và phát hiện nó bị lỗi (phế phẩm).
Hỏi khả năng chiếc áo lỗi này do phân xưởng I sản xuất là bao nhiêu?

Lời giải:

Yêu cầu tính xác suất chiếc áo do xưởng I sản xuất khi biết nó là phế phẩm, tức là $P(A_1|B)$.
Áp dụng công thức Bayes:

(Tương tự, xác suất nó thuộc về xưởng II là $P(A_2|B) = \frac{0.020}{0.038} = \frac{10}{19} \approx 52.63\%$).

6. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (10 câu có đáp án và giải chi tiết)