Khi đó:

Lời giải

(a) Xác suất của biến cố $B$ là $P\left ( { B } \right. )=0,5$.

Ta có:$B$ là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên $$P\left ( { B } \right. )=\frac { n\left ( { B } \right. ) } { n\left ( { Ω } \right. ) }=\frac { 5 } { 10 }=0,5.$$

Chọn ĐÚNG.

(b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó $P\left ( { A\|B } \right. )=\frac { 7 } { 11 }$.

Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên $P\left ( { A\|B } \right. )=\frac { 7 } { 11 }$.

Chọn ĐÚNG.

(c) Gọi $\bar B$:“Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì $P\left ( { A\| \bar B } \right. )=\frac { 7 } { 11 }$

Gọi $\bar B$: “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh”

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Khi đó $P\left ( { A\| \bar B } \right. )=\frac { 6 } { 11 }$.

Chọn SAI.

(d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là $P\left ( { A } \right. )=\frac { 13 } { 22 }$.

Ta có:$$P\left ( { \bar B } \right. )=1-P\left ( { B } \right. )=1-0,5=0,5.$$

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

$$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. )+P\left ( { \bar B } \right. ).P\left ( { A\| \bar B } \right. )=0,5.\frac { 7 } { 11 }+0,5.\frac { 6 } { 11 }=\frac { 13 } { 22 }.$$

Chọn ĐÚNG.

Lời giải

Gọi $A$: “Người mua thứ nhất mua được con gà mái”

Và $B$: “Người mua thứ hai mua được con gà trống”

(a) Xác suất để người đó mua được con gà mái là $\frac { 5 } { 7 }$.

Ta có $P\left ( { A } \right. )=\frac { 5 } { 5+2 }=\frac { 5 } { 7 }$

Chọn ĐÚNG.

(b) Xác suất để người đó mua được con gà trống là $\frac { 2 } { 5 }$.

Ta có

Chọn SAI.

(c) Một người thứ hai lại đến mua gà, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con, xác suất để người thứ hai mua được con gà trống khi người thứ nhất mua được con gà mái là $\frac { 1 } { 3 }.$

$P\left ( { B\|A } \right. )=\frac { 2 } { 7-1 }=\frac { 1 } { 3 }$.

Chọn ĐÚNG.

(d) Trong trường hợp người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứ nhất là gà trống hay gà mái. Xác suất để người thứ hai mua được con gà trống bằng $\frac { 3 } { 7 }$.

.

Chọn SAI.

Lời giải

(a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là $30$.

Số viên bi màu đỏ có đánh số là $60\%.50=30$.

Chọn ĐÚNG.

(b) Số viên bi màu vàng không đánh số là $15$.

Số viên bi màu vàng không đánh số là $50\%.30=15$.

Chọn ĐÚNG.

(c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là $\frac { 3 } { 5 }$.

Gọi $A$ là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”

và $B$ là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”,

$⇒ \bar B$ là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”,

Lúc này ta đi tính $P\left ( { A } \right. )$ theo công thức:$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. )+P\left ( { \bar B } \right. ).P\left ( { A\| \bar B } \right. )$

Ta có:

$P\left ( { B } \right. )=\frac { 50 } { 80 }=\frac { 5 } { 8 }$

$$P\left ( { \bar B } \right. )=\frac { 30 } { 80 }=\frac { 3 } { 8 }$$

$P\left ( { A\|B } \right. )=60\%=\frac { 3 } { 5 }$

$P\left ( { A\| \bar B } \right. )=100\%-50\%=\frac { 1 } { 2 }$

Vậy $$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. )+P\left ( { \bar B } \right. ).P\left ( { A\| \bar B } \right. )=\frac { 5 } { 8 }.\frac { 3 } { 5 }+\frac { 3 } { 8 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 9 } { 16 }$$

Chọn SAI.

(d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số $\frac { 7 } { 16 }$.

$A$ là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”

$⇒ \bar A$ là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”

Ta có:$$P\left ( { \bar A } \right. )=1-P\left ( { A } \right. )=1-\frac { 9 } { 16 }=\frac { 7 } { 16 }$$

Chọn ĐÚNG.

Lời giải

Gọi $A$: “Lấy được vật phẩm được sản xuất bởi máy I”.

Theo bài ra ta có: .

Gọi $B$: “Lấy được vật phẩm bị lỗi”. Theo bài ra ta có:

.

.

(a) Nếu vật phẩm được sản xuất bởi máy I thì xác suất sản phẩm đó bị lỗi là $0,04$.

Có $4{ \rm{ \% } }$ mặt hàng do Máy I sản xuất bị lỗi.

Suy ra nếu vật phẩm được sản xuất bởi máy I thì xác suất sản phẩm đó bị lỗi là $0,04$.

Chọn ĐÚNG.

(b) Xác suất để vật lấy ra được tạo bởi máy II và không bị lỗi là $0,384$.

Biến cố “Vật lấy ra được tạo bởi máy II và không bị lỗi” là biến cố .

.

Chọn SAI.

(c) Xác suất để vật lấy ra không bị lỗi là $0,046$.

Xác suất để vật lấy ra không bị lỗi là:

.

Chọn SAI.

(d) Nếu vật được rút ra bị lỗi, xác suất để vật đó được tạo ra bởi Máy II bằng $\frac { 15 } { 23 }$.

“Nếu vật được rút ra bị lỗi, xác suất để vật đó được tạo ra bởi Máy II” là .

.

Chọn ĐÚNG.

Các khẳng định sau đúng hay sai?

Lời giải

Gọi $B_{ 1 }$ là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”

Gọi $B_{ 2 }$ là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”

(a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng $\frac { 5 } { 8 }.$

Gọi $A$ là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”

Ta có:$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { B_{ 1 } } \right. ).P\left ( { A\|B_{ 1 } } \right. )+P\left ( { B_{ 2 } } \right. ).P\left ( { A\|B_{ 2 } } \right. )$

Mà $P\left ( { B_{ 1 } } \right. )=\frac { 1 } { 2 }$,$P\left ( { B_{ 2 } } \right. )=\frac { 1 } { 2 }$,$$P\left ( { A\|B_{ 1 } } \right. )=\frac { 15 } { 20 }=\frac { 3 } { 4 },$$$$P\left ( { A\|B_{ 2 } } \right. )=\frac { 10 } { 20 }=\frac { 1 } { 2 }.$$

Vậy $$P\left ( { A } \right. )=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 3 } { 4 }+\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 5 } { 8 }.$$

Chọn ĐÚNG.

(b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng $\frac { 3 } { 8 }.$

Ta có:$$P\left ( { A } \right. )=\frac { 5 } { 8 }⇒P\left ( { \bar A } \right. )=1-P\left ( { A } \right. )=1-\frac { 5 } { 8 }=\frac { 3 } { 8 }.$$

Chọn ĐÚNG.

(c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt . Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng $\frac { 2 } { 5 }.$

Ta có:$P\left ( { B_{ 2 } } \right. )=\frac { 1 } { 2 }$,$$P\left ( { A\|B_{ 2 } } \right. )=\frac { 10 } { 20 }=\frac { 1 } { 2 },P\left ( { A } \right. )=\frac { 5 } { 8 }$$

Vậy $$P\left ( { B_{ 2 } \|A } \right. )=\frac { P\left ( { B_{ 2 } } \right. ).P\left ( { A\|B_{ 2 } } \right. ) } { P\left ( { A } \right. ) }=\frac { 0,5.0,5 } { \frac { 5 } { 8 } }=\frac { 2 } { 5 }.$$

Chọn ĐÚNG.

(d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm . Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng $\frac { 1 } { 2 }.$

Ta có:$$P\left ( { A } \right. )=\frac { 5 } { 8 }⇒P\left ( { \bar A } \right. )=1-P\left ( { A } \right. )=1-\frac { 5 } { 8 }=\frac { 3 } { 8 }$$ $P\left ( { B_{ 1 } } \right. )=\frac { 1 } { 2 }$,

.

Chọn SAI.

Lời giải

(a) Số cách chọn được 2 sản phẩm tốt trong hộp loại I là $78$ cách.

Chọn 2 sản phẩm tốt từ 13 sản phẩm tốt trong hộp loại I là $C_{ 13 } ^{ 2 }=78$ cách.

Chọn ĐÚNG.

(b) Xác suất chọn được 2 phế phẩm trong hộp loại II là $\frac { 12 } { 15 }$.

Số cách chọn 2 phế phẩm từ 4 phế phẩm trong hộp loại II là $C_{ 4 } ^{ 2 }=6$ cách.

Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm (6 tốt và 4 phế phẩm) trong hộp II là $C_{ 10 } ^{ 2 }=45$ cách.

Vậy xác suất chọn được 2 phế phẩm là $\frac { 6 } { 45 }=\frac { 2 } { 15 }.$

Chọn SAI.

(c) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, xác suất để hai sản phẩm này đều tốt là $\frac { 87 } { 175 }.$

Gọi $A$: “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.

Và $B$: “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.

Xác suất chọn hộp loại I là $P\left ( { A } \right. )=\frac { 2 } { 5 }$ và xác suất chọn hộp loại II là $P\left ( { B } \right. )=\frac { 3 } { 5 }.$

Gọi $C$ là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là $$P\left ( { C\left | { A } \right. . } \right. )=\frac { C_{ 13 } ^{ 2 } } { C_{ 15 } ^{ 2 } }=\frac { 26 } { 35 }.$$

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là $$P\left ( { C\left | { B } \right. . } \right. )=\frac { C_{ 6 } ^{ 2 } } { C_{ 10 } ^{ 2 } }=\frac { 1 } { 3 }.$$

Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là

$$P\left ( { C } \right. )=P\left ( { C\left | { A } \right. . } \right. ).P\left ( { A } \right. )+P\left ( { C\left | { B } \right. . } \right. ).P\left ( { B } \right. )=\frac { 26 } { 35 }.\frac { 2 } { 5 }+\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3 } { 5 }=\frac { 87 } { 175 }.$$

Chọn ĐÚNG.

(d) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, giả sử hai sản phẩm đó đều tốt thì xác suất để hai sản phẩm đó thuộc hộp loại I là $\frac { 52 } { 87 }.$

Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là

Công thức Bayes:$$P\left ( { A\left | { C } \right. . } \right. )=\frac { P\left ( { C\left | { A } \right. . } \right. ).P\left ( { A } \right. ) } { P\left ( { C } \right. ) }=\frac { \frac { 26 } { 35 }.\frac { 2 } { 5 } } { \frac { 87 } { 125 } }=\frac { 52 } { 87 }.$$

Chọn ĐÚNG.

Lời giải

(a) Xác suất email nhận được một email rác là $0,05.$

Gọi $A$: “Email nhận được là email rác”.

Và $B$: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.

Vì $5\%$ email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là $P\left ( { A } \right. )=5\%=0,05$

Chọn ĐÚNG.

(b) Xác suất bị lọc của email rác là $0,93.$

Xác suất email bị lọc của email rác là $P\left ( { \left | { B } \right. .A } \right. )=95\%=0,95.$

Chọn SAI.

(c) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc bất kể có là rác hay không là $0,1425.$

Xác suất email nhận được không phải rác là .

Xác suất email bị lọc của email không phải rác là

Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là

Chọn ĐÚNG.

(d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là $\frac { 7 } { 19 }.$

Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là

Công thức Bayes:$$P\left ( { A∣B } \right. )=\frac { P\left ( { B∣A } \right. ).P\left ( { A } \right. ) } { P\left ( { B } \right. ) }=\frac { 0,95.0,05 } { 0,1425 }=\frac { 1 } { 3 }.$$

Chọn SAI.

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

và $B$ là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”,

$⇒ \bar B$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”

(a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $\frac { 3 } { 7 }$.

Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $P\left ( { B } \right. )=\frac { 70 } { 100 }=\frac { 7 } { 10 }$

Chọn SAI.

(b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là

Ta có:$P\left ( { B } \right. )=\frac { 70 } { 100 }=\frac { 7 } { 10 }$ $$⇒P\left ( { \bar B } \right. )=\frac { 30 } { 100 }=\frac { 3 } { 10 }$$

$$P\left ( { A\|B } \right. )=\frac { P\left ( { A∩B } \right. ) } { P\left ( { B } \right. ) }=\frac { n\left ( { A∩B } \right. ) } { n\left ( { B } \right. ) }=\frac { 70.69 } { 70.99 }=\frac { 23 } { 33 }$$

$$P\left ( { A\| \bar B } \right. )=\frac { P\left ( { A∩ \bar B } \right. ) } { P\left ( { \bar B } \right. ) }=\frac { n\left ( { A∩ \bar B } \right. ) } { n\left ( { \bar B } \right. ) }=\frac { 30.70 } { 30.99 }=\frac { 70 } { 99 }.$$

Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là

Chọn SAI.

(c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là $\frac { 191 } { 330 }$.

Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là

$$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. )+P\left ( { \bar B } \right. ).P\left ( { A\| \bar B } \right. )=\frac { 7 } { 10 }.\frac { 23 } { 33 }+\frac { 3 } { 10 }.\frac { 70 } { 99 }=\frac { 7 } { 10 }$$

Chọn SAI.

(d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là $\frac { 139 } { 330 }$.

Gọi $A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

$⇒ \bar A$ là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”

Ta có:$$P\left ( { \bar A } \right. )=1-P\left ( { A } \right. )=1-\frac { 7 } { 10 }=\frac { 3 } { 10 }$$

Chọn ĐÚNG.

An: Nếu trời không mưa, An có 70% khả năng đi xem bóng đá. Nếu trời mưa, khả năng này giảm xuống còn 40%. Theo dự báo thời tiết, khả năng trời mưa trong ngày diễn ra trận đấu là 30%. Việc An đi xem bóng đá hoàn toàn phụ thuộc vào thời tiết.

Bảo: Việc Bảo đi xem bóng đá hoàn toàn phụ thuộc vào việc An có đi hay không. Nếu An đi, Bảo có 80% khả năng đi. Nếu An không đi, Bảo chắc chắn sẽ không đi.

Châu: Châu là một người rất độc lập. Khả năng Châu đi xem bóng đá không phụ thuộc vào việc An và Bảo có đi hay không. Châu có 60% khả năng đi xem bóng đá.

Khi đó:

Lời giải

Gọi $D$ là biến cố: “Trời mưa”.

Gọi $A$ là biến cố: “An đi xem bóng đá ”.

Gọi $B$ là biến cố: “Bảo đi xem bóng đá ”.

Gọi $C$ là biến cố: “Châu đi xem bóng đá ”.

(a) Nếu trời không mưa, khả năng An không đi xem đá bóng là 30%.

Nếu trời không mưa, An có 70% khả năng đi xem bóng đá nghĩa là .

Nếu trời không mưa, khả năng An không đi xem đá bóng là

Chọn ĐÚNG.

(b) Xác suất An đi xem đá bóng là 0, 61.

Ta có: .

Xác suất An đi xem bóng đá ông là:

Chọn ĐÚNG.

(c) Xác suất Bảo không đi xem đá bóng là 0, 51.

Nếu An đi, Bảo có 80% khả năng đi nghĩa là $P\left ( { B\|A } \right. )=0,8$. Nếu An không đi, Bảo chắc chắn sẽ không đi . Do đó xác suất Bảo không đi xem đá bóng là:

$=0,61.\left ( { 1-0,8 } \right. )+\left ( { 1-0,61 } \right. ).\left ( { 1-0 } \right. )=0,512$

Chọn SAI.

(d) Xác suất để ít nhất hai trong ba người bạn cùng đi xem trận bóng đá là 0, 5612.

Châu có 60% khả năng đi xem bóng đá nghĩa là $P\left ( { C } \right. )=0,6$.

Vì khả năng Châu đi xem bóng đá không phụ thuộc vào việc An và Bảo có đi hay không nên

Gọi $E$ là biến cố: “ít nhất hai trong ba người bạn cùng đi xem trận bóng đá “

Trường hợp 1: An, Bình đi xem bóng đá, Châu không xem bóng đá:

Ta có:

Trường hợp 2: An, Châu đi xem bóng đá, Bình không xem bóng đá:

Ta có:

Trường hợp 3: An, Bình, Châu đi xem bóng đá:

$$P\left ( { ABC } \right. )=P\left ( { AB } \right. )P\left ( { C } \right. )=P\left ( { A } \right. ).P\left ( { B\|A } \right. ).P\left ( { C } \right. )=0,61.0,8.0,6=0,2928.$$

Chọn ĐÚNG.

Đáp số: 4

(1) $P\left ( { A∩B } \right. )+P\left ( { A∩ \bar B } \right. )=P\left ( { A } \right. )$ (2) $P\left ( { B\|A } \right. )=\frac { P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. ) } { P\left ( { A } \right. ) }$ (3) $P\left ( { B\|A } \right. )=\frac { P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. ) } { P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. )+P\left ( { \bar B } \right. ).P\left ( { A\| \bar B } \right. ) }$ (4) $$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { A∩B } \right. )+P\left ( { A∩ \bar B } \right. )=P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. )+P\left ( { \bar B } \right. ).P\left ( { A\| \bar B } \right. )$$ (5) Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P\left ( { B } \right. )=0,8$,$P\left ( { A\|B } \right. )=0,7$,$P\left ( { A\| \bar B } \right. )=0,45$. Khi đó $P\left ( { A } \right. )=0,5$ Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? Các khẳng định (1) (2) (3) (4) là các khẳng định đúng Khẳng định (5) sai. Thật vậy ta có $$P\left ( { \bar B } \right. )=1-P\left ( { B } \right. )=1-0,8=0,2$$ Áp dụng công thức xác suất toàn phần $$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { B } \right. ).P\left ( { A\|B } \right. )+P\left ( { \bar B } \right. ).P\left ( { A\| \bar B } \right. )=0,8.0,7+0,2.0,45=0,65$$

Đáp số: 0,26

Gọi $A$: “người nghiện thuốc lá”, suy ra $\bar A$ là biến cố “người không nghiện thuốc lá” Và $B$: “người bị bệnh phổi” Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá Ta cần tính $P\left ( { B } \right. )$ Với $P\left ( { B } \right. )=P\left ( { A } \right. ).P\left ( { B\|A } \right. )+P\left ( { \bar A } \right. ).P\left ( { B\| \bar A } \right. )$ Ta có $P\left ( { A } \right. )=0,2$,$P\left ( { B\|A } \right. )=0,7$,$P\left ( { \bar A } \right. )=0,8$,$P\left ( { B\| \bar A } \right. )=0,15$. Vậy $$P\left ( { B } \right. )=P\left ( { A } \right. ).P\left ( { B\|A } \right. )+P\left ( { \bar A } \right. ).P\left ( { B\| \bar A } \right. )=0,2.0,7+0,8.0,15=0,26$$

Đáp số: 0,74

Gọi $A$: “viên đạn trúng đích” $B_{ 1 }$: “chọn xạ thủ loại I bắn”; $B_{ 2 }$: “chọn xạ thủ loại II bắn” $$P\left ( { B_{ 1 } } \right. )=\frac { 2 } { 10 }=0,2;P\left ( { A\|B_{ 1 } } \right. )=0,9$$ $$P\left ( { B_{ 2 } } \right. )=\frac { 8 } { 10 }=0,8;P\left ( { A\|B_{ 2 } } \right. )=0,7$$ Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: $$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { B_{ 1 } } \right. ).P\left ( { A\|B_{ 1 } } \right. )+P\left ( { B_{ 2 } } \right. ).P\left ( { A\|B_{ 2 } } \right. )=0,2.0,9+0,8.0,7=0,74$$

Đáp số: 0,25