Bài tập cuối chương 6: Xác suất có điều kiện

Chương 6 là chương cuối cùng của chương trình Toán lớp 12, đồng thời cũng là đỉnh cao của mạch kiến thức Xác suất trong chương trình Giáo dục phổ thông mới. Bằng việc làm quen với Xác suất có điều kiện, Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes, học sinh được trang bị phương pháp tư duy cập nhật niềm tin và đánh giá rủi ro hiện đại – nền tảng then chốt cho Trí tuệ nhân tạo, Khoa học dữ liệu, Y sinh học và Tài chính định lượng.

Bài học tổng kết này cung cấp:

1. Bảng tổng hợp toàn bộ công thức cốt lõi Chương 6.
2. Đề kiểm tra ôn tập chuẩn ma trận cấu trúc đề thi Tốt nghiệp THPT mới từ năm 2025:
   • Phần I: 12 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3.0 điểm).
   • Phần II: 4 câu trắc nghiệm Đúng / Sai (4.0 điểm, 16 ý hỏi).
   • Phần III: 6 câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3.0 điểm).
3. Lời giải chi tiết từng bước và hệ thống bài làm trực tuyến tự động chấm điểm.

I. Bảng tổng hợp công thức trọng tâm Chương 6

II. Đề ôn tập chuẩn cấu trúc thi tốt nghiệp THPT 2025

PHẦN I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (12 câu - 3.0 điểm)

Câu 1: Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
B. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
C. $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$.
D. $P(A|B) = P(A) \cdot P(B)$.

Câu 2: Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ với $P(A) = 0.5$ và $P(B) = 0.6$. Giá trị của $P(A|B)$ là:
A. 0.3.
B. 0.5.
C. 0.6.
D. 0.1.

Câu 3: Cho $P(A) = 0.4$, $P(B|A) = 0.75$. Xác suất của biến cố giao $A \cap B$ bằng:
A. 0.3.
B. 0.35.
C. 0.15.
D. 0.5.

Câu 4: Gieo một con súc sắc cân đối một lần. Biết rằng số chấm xuất hiện là số chẵn, xác suất để số chấm xuất hiện là 6 bằng:
A. $\frac{1}{6}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{2}{3}$.

Câu 5: Cho hai biến cố đối nhau $A$ và $\bar{A}$. Với biến cố $B$ bất kỳ thỏa mãn $P(A) = 0.6, P(B|A) = 0.2, P(B|\bar{A}) = 0.4$. Xác suất $P(B)$ bằng:
A. 0.28.
B. 0.32.
C. 0.24.
D. 0.16.

Câu 6: Với giả thiết ở Câu 5, xác suất có điều kiện $P(A|B)$ bằng:
A. $\frac{3}{7}$.
B. $\frac{4}{7}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{2}{3}$.

Câu 7: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 bạn (không hoàn lại). Xác suất để bạn thứ hai là nữ, biết bạn thứ nhất là nam là:
A. $\frac{15}{39}$.
B. $\frac{15}{40}$.
C. $\frac{14}{39}$.
D. $\frac{24}{39}$.

Câu 8: Trong một hòm phiếu có 7 phiếu trắng và 3 phiếu đỏ. Người thứ nhất rút ngẫu nhiên 1 phiếu, sau đó người thứ hai rút 1 phiếu. Xác suất để cả hai người cùng rút được phiếu đỏ là:
A. $\frac{1}{15}$.
B. $\frac{3}{10}$.
C. $\frac{9}{100}$.
D. $\frac{1}{10}$.

Câu 9: Cho $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc với $P(B) > 0$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $P(A|B) = 0$.
B. $P(A|B) = 1$.
C. $P(A|B) = P(A)$.
D. $P(A|B) = P(B)$.

Câu 10: Cho $A_1, A_2, A_3$ là một nhóm biến cố đầy đủ. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \Omega$.
B. $$A_1 \cap A_2 = \emptyset, A_2 \cap A_3 = \emptyset, A_1 \cap A_3 = \emptyset.$$
C. $P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = 1$.
D. $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3)$.

Câu 11: Trong công thức Bayes $P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)}$, đại lượng $P(A_k)$ được gọi là:
A. Xác suất tiền nghiệm (Prior probability).
B. Xác suất hậu nghiệm (Posterior probability).
C. Xác suất điều kiện hoàn toàn.
D. Tỷ số khả dĩ (Likelihood ratio).

Câu 12: Cho $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$, $P(B|A) = 0.6$. Giá trị của $P(A|B)$ bằng:
A. 0.75.
B. 0.30.
C. 0.50.
D. 0.24.

PHẦN II: Câu trắc nghiệm Đúng / Sai (4 câu - 4.0 điểm)

Câu 1: Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ và 4 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả bóng không hoàn lại. Gọi $A$ là biến cố "Quả thứ nhất màu đỏ", $B$ là biến cố "Quả thứ hai màu xanh".
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Xác suất $P(A) = \frac{3}{5}$.
b) Xác suất $P(B|A) = \frac{4}{9}$.
c) Xác suất để quả thứ nhất màu đỏ và quả thứ hai màu xanh là $P(A \cap B) = \frac{4}{15}$.
d) Hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.

Câu 2: Tỷ lệ người dân mắc một bệnh truyền nhiễm là $1\%$. Một xét nghiệm chẩn đoán bệnh có:

• Độ nhạy: người có bệnh cho kết quả dương tính (+) với xác suất $95\%$.
• Độ đặc hiệu: người không có bệnh cho kết quả âm tính (-) với xác suất $90\%$ (tức có $10\%$ dương tính giả). Chọn ngẫu nhiên một người trong dân số và cho làm xét nghiệm.
  Các mệnh đề sau đúng hay sai?
  a) Tỷ lệ người khỏe mạnh trong dân số là $99\%$.
  b) Xác suất để một người được chọn ngẫu nhiên có kết quả xét nghiệm dương tính (+) là $10.85\%$.
  c) Xác suất một người có kết quả xét nghiệm âm tính nhưng thực tế lại mắc bệnh là $0.05\%$.
  d) Nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính (+), xác suất người đó thực sự mắc bệnh lớn hơn $50\%$.

Câu 3: Ba xưởng cơ khí I, II, III cùng sản xuất một loại bulông:

• Xưởng I sản xuất $50\%$ tổng số sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm là $2\%$.
• Xưởng II sản xuất $30\%$ tổng số sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm là $3\%$.
• Xưởng III sản xuất $20\%$ tổng số sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm là $5\%$.
  Lấy ngẫu nhiên một chiếc bulông từ kho chung.
  Các mệnh đề sau đúng hay sai?
  a) Ba biến cố chiếc bulông do xưởng I, II, III sản xuất tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ.
  b) Xác suất để chiếc bulông lấy ra là phế phẩm bằng $0.029$.
  c) Biết chiếc bulông lấy ra là phế phẩm, xác suất nó do xưởng I sản xuất là $\frac{10}{29}$.
  d) Trong số các phế phẩm, khả năng bulông do xưởng III sản xuất là thấp nhất.

Câu 4: Cho hai biến cố $A$ và $B$ thỏa mãn $P(A) = 0.6, P(B) = 0.5$ và $P(A \cup B) = 0.8$.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Xác suất phần giao $P(A \cap B) = 0.3$.
b) Xác suất có điều kiện $P(A|B) = 0.6$.
c) Xác suất có điều kiện $P(B|A) = 0.5$.
d) Hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.

PHẦN III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (6 câu - 3.0 điểm)

Câu 1: Cho $P(A) = 0.8$, $P(B) = 0.5$ và $P(A \cap B) = 0.4$. Tính giá trị của $P(B|A)$.
Đáp số: ...

Câu 2: Cho $P(A) = 0.4$, $P(B|A) = 0.3$ và $P(B|\bar{A}) = 0.2$. Tính xác suất của biến cố $B$.
Đáp số: ...

Câu 3: Với dữ liệu ở Câu 2, tính giá trị của xác suất có điều kiện $P(A|B)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp số: ...

Câu 4: Một túi đựng 8 viên kẹo chanh và 4 viên kẹo dâu. Một bạn lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên kẹo (không hoàn lại). Tính xác suất để cả 2 viên kẹo lấy được đều là kẹo dâu (viết kết quả dưới dạng phân số tối giản).
Đáp số: ...

Câu 5: Một xạ thủ có xác suất bắn trúng mục tiêu khi không có gió là $0.8$, khi có gió là $0.5$. Biết xác suất hôm đó trời có gió là $0.3$. Tính xác suất để xạ thủ bắn trúng mục tiêu.
Đáp số: ...

Câu 6: Với xạ thủ ở Câu 5, biết viên đạn bắn ra trúng mục tiêu, tính xác suất để lúc bắn trời có gió (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp số: ...

III. Hướng dẫn giải chi tiết đề ôn tập

HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN I

• Câu 1: Chọn A. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• Câu 2: Chọn B. Vì $A, B$ độc lập nên việc $B$ xảy ra không ảnh hưởng đến $A$, do đó $P(A|B) = P(A) = 0.5$.
• Câu 3: Chọn A. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = 0.4 \cdot 0.75 = 0.3$.
• Câu 4: Chọn B. Không gian mẫu thu hẹp gồm các mặt chẵn: $B = \{2, 4, 6\} \implies n(B) = 3$. Mặt 6 là 1 kết quả $\implies P(6|\text{chẵn}) = \frac{1}{3}$.
• Câu 5: Chọn A. $P(\bar{A}) = 1 - 0.6 = 0.4$. Toàn phần: $P(B) = 0.6(0.2) + 0.4(0.4) = 0.12 + 0.16 = 0.28$.
• Câu 6: Chọn A. Bayes: $$P(A|B) = \frac{0.6 \cdot 0.2}{0.28} = \frac{0.12}{0.28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}.$$
• Câu 7: Chọn A. Sau khi bạn nam được chọn, còn 39 học sinh (gồm 24 nam và 15 nữ). Xác suất chọn bạn nữ là $\frac{15}{39}$.
• Câu 8: Chọn A. Xác suất người 1 rút đỏ là $\frac{3}{10}$. Người 2 rút đỏ là $\frac{2}{9}$. $P = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$.
• Câu 9: Chọn A. Xung khắc thì $A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0 \implies P(A|B) = 0$.
• Câu 10: Chọn D. Nhóm đầy đủ chỉ đòi hỏi đôi một xung khắc và hợp bằng $\Omega$, không liên quan đến tính độc lập. Do xung khắc nên giao bằng rỗng, $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0 \neq P(A_1)P(A_2)P(A_3)$.
• Câu 11: Chọn A. $P(A_k)$ là xác suất tiền nghiệm (khi chưa có bằng chứng $B$).
• Câu 12: Chọn A. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = 0.5 \cdot 0.6 = 0.3$. Suy ra $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.3}{0.4} = 0.75$.

HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN II

Câu 1:

• a) Đúng. $P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
• b) Đúng. Còn 9 quả gồm 5 đỏ và 4 xanh $\implies P(B|A) = \frac{4}{9}$.
• c) Đúng. $$P(A \cap B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}.$$
• d) Sai. Nếu quả đầu là xanh thì $P(B|\text{Xanh đầu}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \neq \frac{4}{9} \implies$ không độc lập.

Câu 2:

• a) Đúng. $100\% - 1\% = 99\%$.
• b) Đúng. $P(+) = 0.01(0.95) + 0.99(0.10) = 0.0095 + 0.0990 = 0.1085 = 10.85\%$.
• c) Đúng. Người có bệnh bị âm tính giả: $P(\text{Bệnh} \cap -) = 0.01(1 - 0.95) = 0.01(0.05) = 0.0005 = 0.05\%.$
• d) Sai. $P(\text{Bệnh}|+) = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0876 = 8.76\% < 50\%.$

Câu 3:

• a) Đúng. Tổng tỷ lệ: $0.5 + 0.3 + 0.2 = 1$, đôi một rời nhau.
• b) Đúng. $P(\text{Lỗi}) = 0.5(0.02) + 0.3(0.03) + 0.2(0.05) = 0.010 + 0.009 + 0.010 = 0.029.$
• c) Đúng. $P(\text{Xưởng I}|\text{Lỗi}) = \frac{0.010}{0.029} = \frac{10}{29}$.
• d) Sai. Số phế phẩm từ xưởng II là $0.009$ (thấp nhất), xưởng I và III đều là $0.010$.

Câu 4:

• a) Đúng. $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.8 = 0.3$.
• b) Đúng. $P(A|B) = \frac{0.3}{0.5} = 0.6$.
• c) Đúng. $P(B|A) = \frac{0.3}{0.6} = 0.5$.
• d) Đúng. Vì $P(A|B) = P(A) = 0.6$ và $P(A \cap B) = 0.6 \cdot 0.5 = 0.3 = P(A)P(B)$ nên $A$ và $B$ độc lập.

HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN III

• Câu 1: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.4}{0.8} = 0.5$.
• Câu 2: $P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$. $P(B) = 0.4(0.3) + 0.6(0.2) = 0.12 + 0.12 = 0.24$.
• Câu 3: $P(A|B) = \frac{0.4 \cdot 0.3}{0.24} = \frac{0.12}{0.24} = 0.5$.
• Câu 4: Tổng 12 viên. Quả 1 dâu: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Quả 2 dâu: $\frac{3}{11}$. Xác suất cả hai: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} = \frac{1}{11}$.
• Câu 5: $P(\text{Gió}) = 0.3 \implies P(\text{Không gió}) = 0.7$.
  $P(\text{Trúng}) = 0.7(0.8) + 0.3(0.5) = 0.56 + 0.15 = 0.71$.
• Câu 6: $P(\text{Gió}|\text{Trúng}) = \frac{0.3 \cdot 0.5}{0.71} = \frac{0.15}{0.71} = \frac{15}{71} \approx 0.2113 \approx 0.21.$

IV. Đề kiểm tra trắc nghiệm tương tác tự động chấm (10 câu)