a) Số cách lấy được hai quả bóng của phép thử trên là $48$.

b) Số cách lấy lần thứ nhất được quả bóng màu xanh, lần thứ hai được $1$ quả bóng màu bất kỳ khi là $104$.

c) Số cách lấy lần thứ hai được $1$ quả bóng màu đỏ khi lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh là $84$.

d) Xác suất $P\left ( { B\|A } \right. )=\frac { 6 } { 13 }$.

Lời giải

a) Sai: Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại, lần thứ nhất lấy một quả bóng có $14$ cách chọn, lần thứ hai lấy một quả bóng có $13$ cách chọn.

Do đó $n\left ( { Ω } \right. )=14.13=182$.

b) Đúng: Lần thứ nhất lấy bóng có $8$ cách chọn một quả bóng màu xanh, lần thứ hai có $13$ cách chọn một quả bóng từ $13$ quả bóng còn lại trong hộp. Do đó có $8.13=104$

c) Sai: Lần thứ nhất lấy được một quả bóng màu xanh, trong hộp còn $13$ quả với $7$ quả màu xanh và $6$ quả bóng màu đỏ. Do đó lần thứ hai được một quả bóng màu đỏ là có $6$ cách.

d) Đúng: Lần thứ nhất được một quả bóng màu xanh, trong hộp còn $13$ quả với $7$ quả màu xanh và $6$ quả bóng màu đỏ. Do đó $P\left ( { B\left | { A } \right. . } \right. )=\frac { 6 } { 13 }$.

A: “Hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu”;

B: “Hộp sữa chua được lấy ra là sữa chua không đường”.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $P\left ( { A\left | { B } \right. . } \right. )=0,5$.

b)

c)

d)

Lời giải

Ta có:: “Hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua nha đam”.

: “Hộp sữa chua được lấy ra là sữa chua có đường”.

a) Đúng: Trong $12$ hộp sữa chua không đường, có $6$ cách lấy hộp sữa chua dâu. Vậy xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, không đường là $P\left ( { A\left | { B } \right. . } \right. )=0,5$.

b) Đúng: Trong $8$ hộp sữa chua có đường, có $4$ cách lấy hộp sữa chua dâu. Vậy xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, có đường là .

c) Sai: Trong $12$ hộp sữa chua không đường, có $6$ cách lấy hộp sữa chua nha đam. Vậy xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua nha đam, không đường là .

d) Đúng: Trong $8$ hộp sữa chua có đường, có $4$ cách lấy hộp sữa chua nha đam. Vậy xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa nha đam, có đường là .

Gọi A là biến cố “ Học sinh được chọn là học sinh xuất sắc”.

B là biến cố: “Học sinh được chọn là học sinh nam”.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $P\left ( { A } \right. )=\frac { 1 } { 10 }$.

b) $P\left ( { AB } \right. )=\frac { 7 } { 150 }$.

c) $P\left ( { A\|B } \right. )=\frac { 7 } { 10 }$.

d) .

Lời giải

a) Đúng:$$n\left ( { A } \right. )=45,\,n\left ( { Ω } \right. )=450⇒P\left ( { A } \right. )=\frac { 45 } { 450 }=\frac { 1 } { 10 }.$$

b) Đúng: Do có $21$ học sinh nam và đạt xuất sắc nên ta có:

$$n\left ( { AB } \right. )=21,\,n\left ( { Ω } \right. )=450⇒P\left ( { AB } \right. )=\frac { 21 } { 450 }=\frac { 7 } { 150 }$$

c) Sai: Do có $200$ học sinh nam nên $n(B)=200, n(Ω)=450 \Rightarrow P(B)=\frac{200}{450}=\frac{4}{9}$. Khi đó: $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{21}{200} \ne \frac{7}{10}$.

d) Đúng: Ta có $n(\bar{A}B)=179, n(Ω)=450 \Rightarrow P(\bar{A}B)=\frac{179}{450}$.

a) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh là $\frac { 1 } { 2 }$.

b) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh là $\frac { 81 } { 161 }$.

c) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm âm tính. Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh là $\frac { 20 } { 839 }$.

d) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm âm tính. Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh là $\frac { 800 } { 839 }$.

Lời giải

Xét các biến cố

$A$: “X có kết quả xét nghiệm dương tính”

: “X có kết quả xét nghiệm âm tính”

$B$: “X là người nhiễm bệnh”

: “X là người không bị nhiễm bệnh”

Xác suất X là người bị nhiễm bệnh là ${ \rm{ P } }\left ( { B } \right. )=\frac { 10 } { 100 }=0,1$.

Xác suất X là người không bị nhiễm bệnh là .

Đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 80% nên ta có

$P\left ( { A\,\|\,B } \right. )=\frac { 80 } { 100 }=0,8$.

Đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là 9% nên ta có .

a) Sai: Xác suất X là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là

$=\frac { 0,1.0,8 } { 0,1.0,8+0,9.0,09 }=\frac { 80 } { 161 }$.

b) Đúng: Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là: .

c) Đúng: Xác suất để X là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là

$=\frac { 0,1.0,2 } { 0,1.0,2+0,9.0,91 }=\frac { 20 } { 839 }$.

d) Sai: Xác suất để X là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là

.

Gọi $A_{ 1 }$ là biến cố lấy được hồ sơ một người bị bệnh béo phì do lối sống sinh hoạt. Gọi $A_{ 2 }$ là biến cố lấy được hồ sơ một người bị bệnh béo phì do di truyền. Gọi $B$ là biến cố hồ sơ là của một người bị tim mạch. Ta có $$P\left ( { B } \right. )=P\left ( { A_{ 1 } } \right. ).P\left ( { B\left | { A_{ 1 } } \right. . } \right. )+P\left ( { A_{ 2 } } \right. ).P\left ( { B\left | { A_{ 2 } } \right. . } \right. )=0,9⋅0,6+0,1.0,25=0,565.$$ Suy ra $P\left ( { A_{ 2 } \left | { B } \right. . } \right. )=\frac { P\left ( { A_{ 2 } } \right. ).P\left ( { B\left | { A_{ 2 } } \right. . } \right. ) } { P\left ( { B } \right. ) }=\frac { 0,1.0,25 } { 0,565 }=\frac { 5 } { 113 }≈0,04$.

Gọi $A:''$ Con thỏ lấy ra từ chuồng I sang chuồng II là con thỏ màu đen $''$. Khi đó . Gọi $B:''$ Con thỏ lấy ra từ chuồng II là con thỏ màu đen $''$. Ta có . Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, ta có .

Gọi $A$ là biến cố “có mưa vào buổi sáng”. Gọi $B$ là biến cố “tuyến phố $X$ tắc đường”. Khi đó ta có:$P\left ( { A } \right. )=0,05$ và $P\left ( { \bar A } \right. )=1-P\left ( { A } \right. )=0,95$. $P\left ( { B\left | { A } \right. . } \right. )=0,6$ và $P\left ( { B\left | { \bar A } \right. . } \right. )=0,15$. Xác suất để buổi sáng tuyến phố $X$ tắc đường là $$P\left ( { B } \right. )=P\left ( { A } \right. ).\,P\left ( { B\left | { A } \right. . } \right. )+P\left ( { \bar A } \right. ).\,P\left ( { B\left | { \bar A } \right. . } \right. )=0,05.0,6+0,95.0,15=\frac { 69 } { 400 }=0,1725.$$ Xác suất để buổi sáng có mưa khi tuyến phố $X$ bị tắc đường là $$P\left ( { A\left | { B } \right. . } \right. )=\frac { P\left ( { A } \right. ).\,P\left ( { B\left | { A } \right. . } \right. ) } { P\left ( { B } \right. ) }=\frac { 0,05.0,6 } { 0,1725 }=\frac { 4 } { 23 }≈0,17.$$

Ta có công thức:$P\left ( { A\|B } \right. )=\frac { P\left ( { B\|A } \right. ).P\left ( { A } \right. ) } { P\left ( { B } \right. ) }$ Trong đó:$A$: Thư điện tử là thư bình thường;$B$: Thư đã được phân loại đúng. $P\left ( { A } \right. )$: Xác suất một thư điện tử là thư bình thường ban đầu. Vì có $40\%$ thư rác nên $P\left ( { A } \right. )=1-0,4=0,6$. $P\left ( { B\|A } \right. )$: Xác suất một thư bình thường được phân loại đúng. Do tỉ lệ sai sót là $5\%$ nên $P\left ( { B\|A } \right. )=1-0,05=0,95$. $P\left ( { B\| \bar A } \right. )$: Xác suất một thư rác được phân loại chính xác là $99\%$ nên $P\left ( { B\| \bar A } \right. )=0,99$. $P\left ( { B } \right. )$: Xác suất một thư nào đó được phân loại đúng, tính bằng tổng xác suất một thư rác được phân loại đúng và xác suất một thư bình thường được phân loại đúng $$P\left ( { B } \right. )=P\left ( { B\|A } \right. ){ \rm{ . } }P\left ( { A } \right. )+P\left ( { B\| \bar A } \right. ){ \rm{ . } }P\left ( { \bar A } \right. )=0,95.0,6+0,99.0,4=0,966$$ Áp dụng định lý Bayes:$$P\left ( { A\|B } \right. )=\frac { P\left ( { B\|A } \right. ).P\left ( { A } \right. ) } { P\left ( { B } \right. ) }=\frac { 0,95⋅0,6 } { 0,966 }=\frac { 95 } { 161 }≈0,59.$$

Xét các biến cố:$A$: “Viên bi lấy ra từ hộp II ở bước 2 là viên màu trắng” $B$: “Viên bi lấy ra từ hộp II là một trong hai viên bị được lấy từ hộp I” $C$: “Viên bi lấy ra từ hộp II là một trong 10 viên bi gốc của hộp II Ta có:$P\left ( { B } \right. )=\frac { 2 } { 12 }=\frac { 1 } { 6 };\,P\left ( { C } \right. )=\frac { 10 } { 12 }=\frac { 5 } { 6 }$;$P\left ( { A\|B } \right. )=\frac { 5 } { 10 }=\frac { 1 } { 2 };\,P\left ( { A\|C } \right. )=\frac { 6 } { 10 }=\frac { 3 } { 5 }$ Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:$$P\left ( { A } \right. )=P\left ( { A\|B } \right. ).P\left ( { B } \right. )+P\left ( { A\|C } \right. ).P\left ( { C } \right. )=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 6 }+\frac { 3 } { 5 }.\frac { 5 } { 6 }=\frac { 7 } { 12 }$$ Áp dụng công thức Bayes, ta có:$$P\left ( { B\|A } \right. )=\frac { P\left ( { A\|B } \right. ).P\left ( { B } \right. ) } { P\left ( { A } \right. ) }=\frac { \frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 6 } } { \frac { 7 } { 12 }=\frac { 1 } { 7 } }≈0,14.$$

Xét các biến cố: A: "Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội"; B: "Bạn Phúc lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên". Khi đó: . Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 16 bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì suy ra $P\left ( { B∣A } \right. )=\frac { 16 } { 35 }$. Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 15 bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì suy ra . Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất bạn Phúc lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên là: . Suy ra $a=4,b=9$ và $100a-99b=-491$. -----------------HẾT-----------------