Bài tập cuối chương VIII. Các quy tắc tính xác suất

Chương VIII đã đưa chúng ta từ những khái niệm cơ bản về biến cố trong không gian mẫu tiến tới việc làm chủ hai quy tắc tính xác suất mạnh mẽ và thực tiễn nhất của toán học hiện đại: Quy tắc cộng xác suất và Quy tắc nhân xác suất.

Để đạt điểm số tối đa trong các bài kiểm tra định kỳ và kỳ thi Tốt nghiệp THPT, các em cần có khả năng:

1. Đọc một đề toán thực tế và nhận diện chính xác các biến cố đang ở mối quan hệ nào: hợp, giao, xung khắc hay độc lập.
2. Vận dụng linh hoạt phương pháp biến cố đối khi gặp các yêu cầu tính xác suất "có ít nhất một".
3. Phối hợp nhịp nhàng giữa công thức cộng và công thức nhân để chia trường hợp một cách khoa học, không bỏ sót và không trùng lặp.

Bảng tra cứu toàn diện: Phân loại bài toán và Công thức xử lý

Bốn Dạng Toán Điển Hình Ôn Thi Có Lời Giải Chi Tiết

Dạng 1: Xác định quan hệ biến cố & Biểu diễn bằng đại số tập hợp

Bài toán 1: Một bác sĩ thực hiện một đợt xét nghiệm kiểm tra sức khỏe tổng quát cho một bệnh nhân. Gọi:

• $A$: "Bệnh nhân có nồng độ đường huyết cao".
• $B$: "Bệnh nhân có huyết áp cao".
• $C$: "Bệnh nhân có lượng mỡ máu cao".

Hãy dùng các phép toán hợp, giao, đối để biểu diễn các biến cố sau: a) Bệnh nhân mắc cả 3 triệu chứng trên.
b) Bệnh nhân hoàn toàn khỏe mạnh (không mắc triệu chứng nào).
c) Bệnh nhân có ít nhất 1 triệu chứng.
d) Bệnh nhân chỉ mắc đúng duy nhất triệu chứng huyết áp cao.
e) Bệnh nhân mắc đúng 2 trong 3 triệu chứng.

Lời giải: a) Mắc cả 3 triệu chứng là biến cố giao: $A \cap B \cap C$ (hoặc viết tắt là $ABC$).
b) Không mắc triệu chứng nào tức là không $A$, không $B$ và không $C$: $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$ (hoặc viết tắt là $\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}$).
c) Mắc ít nhất 1 triệu chứng là biến cố hợp: $A \cup B \cup C$. Nhận xét: đây chính là biến cố đối của câu b: $A \cup B \cup C = \overline{\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}}$.
d) Chỉ mắc đúng huyết áp cao (có $B$, nhưng không có $A$ và không có $C$): $\overline{A} B \overline{C}$.
e) Mắc đúng 2 trong 3 triệu chứng gồm 3 khả năng xung khắc nhau:

Dạng 2: Vận dụng công thức cộng xác suất (biến cố xung khắc và biến cố đối)

Bài toán 2: Một hộp đựng 12 viên bi giống hệt nhau về kích thước, gồm 5 bi đỏ, 4 bi xanh và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tính xác suất để: a) 3 viên bi lấy ra có đủ cả 3 màu.
b) 3 viên bi lấy ra cùng một màu.
c) 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ.

Lời giải: Số phần tử của không gian mẫu:

a) Biến cố 3 viên bi có đủ cả 3 màu (1 đỏ, 1 xanh, 1 vàng): Số kết quả thuận lợi: $n(A) = C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^1 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

b) Biến cố 3 viên bi cùng một màu có thể là: cùng màu đỏ, cùng màu xanh hoặc cùng màu vàng. Ba trường hợp này đôi một xung khắc nhau:

• Cùng đỏ: $C_5^3 = 10$.
• Cùng xanh: $C_4^3 = 4$.
• Cùng vàng: $C_3^3 = 1$. Số kết quả thuận lợi: $n(B) = 10 + 4 + 1 = 15$.$$P(B) = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$$

c) Biến cố $C$: "Có ít nhất 1 viên bi màu đỏ". Biến cố đối $\overline{C}$: "Không có viên bi màu đỏ nào" (tức cả 3 viên đều chọn từ 7 viên xanh và vàng).

Xác suất của biến cố đối:

Suy ra xác suất cần tìm là:

Dạng 3: Bài toán chuỗi thử nghiệm độc lập và xác suất ít nhất một lần

Bài toán 3: Một thiết bị viễn thông có 4 bộ vi xử lý hoạt động độc lập với nhau. Trong điều kiện môi trường khắc nghiệt, xác suất để một bộ vi xử lý bị sự cố quá nhiệt trong 1 ngày làm việc là $0.05$. Thiết bị chỉ ngừng hoạt động hoàn toàn nếu cả 4 bộ vi xử lý đều bị sự cố. a) Tính xác suất để thiết bị ngừng hoạt động hoàn toàn trong ngày.
b) Tính xác suất để thiết bị hoạt động bình thường (có ít nhất 1 bộ vi xử lý không bị sự cố).
c) Cần trang bị tối thiểu bao nhiêu bộ vi xử lý độc lập để xác suất thiết bị hoạt động an toàn đạt không dưới $99.999\%$ ($0.99999$)?

Lời giải: Gọi $A_i$ là biến cố "Bộ vi xử lý thứ $i$ bị sự cố", $P(A_i) = 0.05$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4$. Vì các bộ vi xử lý hoạt động độc lập nên các biến cố $A_i$ độc lập.

a) Thiết bị ngừng hoạt động hoàn toàn khi cả 4 bộ cùng bị sự cố:

b) Thiết bị hoạt động bình thường là biến cố đối của việc ngừng hoạt động:

c) Giả sử hệ thống được trang bị $n$ bộ vi xử lý ($n \in \mathbb{N}^*$). Xác suất để cả $n$ bộ cùng bị hỏng là $(0.05)^n$. Xác suất thiết bị hoạt động an toàn là:

Theo yêu cầu đề bài:

Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế (vì $\log(0.05) < 0$ nên bất đẳng thức đổi chiều):

Vì $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất nên $n = 4$. Vậy chỉ cần tối thiểu 4 bộ vi xử lý là đã đáp ứng tiêu chuẩn an toàn siêu cao này!

Dạng 4: Bài toán tổng hợp phối hợp cả quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài toán 4: Hai người thợ săn A và B cùng ngắm bắn độc lập vào một con mồi. Xác suất bắn trúng của người A là $0.7$, của người B là $0.6$. Nếu chỉ có đúng 1 viên đạn trúng thì con mồi bị thương nhưng trốn thoát với xác suất $0.5$ (tức bị bắt với xác suất $0.5$). Nếu cả 2 viên đạn cùng trúng thì con mồi chắc chắn bị bắt ($100\%$). Nếu không viên nào trúng thì con mồi chạy thoát. Tính xác suất để con mồi bị bắt.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "Người A bắn trúng" $\implies P(A) = 0.7, P(\overline{A}) = 0.3$.
Gọi $B$ là biến cố "Người B bắn trúng" $\implies P(B) = 0.6, P(\overline{B}) = 0.4$.
Vì hai người bắn độc lập, ta có:

1. Xác suất cả 2 viên cùng trúng:

   $$P_2 = P(AB) = P(A)P(B) = 0.7 \times 0.6 = 0.42$$

   Khi đó xác suất bắt được mồi là $P(\text{bắt} \mid 2 \text{ trúng}) = 1$. Xác suất con mồi bị bắt trong trường hợp này là:

   $$0.42 \times 1 = 0.42$$

2. Xác suất có đúng 1 viên trúng:

   $$P_1 = P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B) = 0.7 \times 0.4 + 0.3 \times 0.6 = 0.28 + 0.18 = 0.46$$

   Khi đó xác suất bắt được mồi là $0.5$. Xác suất con mồi bị bắt trong trường hợp này là:

   $$0.46 \times 0.5 = 0.23$$

3. Các trường hợp trên xung khắc nhau. Do đó tổng xác suất con mồi bị bắt là:

   $$P = 0.42 + 0.23 = 0.65 = 65\%$$

Trắc nghiệm Tự chấm: Tổng ôn toàn chương (12 câu)

Ứng dụng Thực tế: Di truyền học Mendel & Bệnh Di truyền Độc lập

Quy tắc nhân xác suất chính là nền tảng toán học đằng sau Định luật phân li độc lập của Gregor Mendel trong sinh học hiện đại.

Mẹo hay

Giải đáp di truyền bằng toán xác suất: Gọi $A$ là biến cố "Con mắc bệnh bạch tạng" $\implies P(A) = \frac{1}{4}$, $P(\overline{A}) = \frac{3}{4}$.
Gọi $B$ là biến cố "Con mắc bệnh Thalassemia" $\implies P(B) = \frac{1}{4}$, $P(\overline{B}) = \frac{3}{4}$.
Do hai gen nằm trên hai NST khác nhau nên hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập.

1. Xác suất con mắc cả hai bệnh (biến cố giao $AB$):$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16} = 6.25\%$$
2. Xác suất con hoàn toàn khỏe mạnh cả hai bệnh (biến cố giao $\overline{A}\,\overline{B}$):$$P(\overline{A}\,\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16} = 56.25\%$$
3. Xác suất con mắc ít nhất một trong hai bệnh (biến cố hợp $A \cup B$):$$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A}\,\overline{B}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} = 43.75\%$$(Hoặc tính theo công thức cộng: $$P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$$).