Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất - Quy tắc tính và ứng dụng thực tế

Lý thuyết trọng tâm Bài 29 Toán 11 Kết nối tri thức: Công thức cộng xác suất cho biến cố xung khắc, công thức cộng tổng quát, công thức biến cố đối, công cụ tính xác suất Venn tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

#Toán học#Toán 11#Xác suất#Công thức cộng xác suất#Biến cố xung khắc#Biến cố đối#Bao hàm loại trừ#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết17 mục

Bài 29. Công thức cộng xác suất

Trong bài học trước, chúng ta đã nắm vững các khái niệm biến cố hợp A∪BA \cup B, biến cố giao ABAB, biến cố đối A‾\overline{A} và biến cố xung khắc. Câu hỏi cốt lõi được đặt ra tiếp theo là: Nếu đã biết xác suất P(A)P(A) và P(B)P(B), làm thế nào để tính được xác suất của biến cố hợp P(A∪B)P(A \cup B)?

Quy tắc giải quyết vấn đề này được gọi là Công thức cộng xác suất. Đây là công cụ toán học tối quan trọng giúp:

  • Ngành y tế dự phòng: Tính tỉ lệ dân số được bảo vệ khi tiêm chủng vắc-xin phòng ngừa bệnh A hoặc bệnh B.
  • Bảo hiểm rủi ro: Tính xác suất xảy ra ít nhất một sự cố đối với một công trình trong năm để định giá phí bảo hiểm.
  • Kiểm soát chất lượng công nghiệp: Xác định tỉ lệ linh kiện điện tử mắc lỗi kích thước hoặc lỗi bề mặt trong dây chuyền sản xuất hàng loạt.

BẢN ĐỒ CÔNG THỨC: QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

1. Hai biến cố xung khắc

• Điều kiện: A∩B=∅A \cap B = \emptyset.
• Công thức:
P(A∪B)=P(A)+P(B)\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}

2. Hai biến cố bất kỳ

• Có thể cùng xảy ra (P(AB)⩾0P(AB) \ge 0).
• Công thức tổng quát:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)}

3. Biến cố đối

• Vì AA và A‾\overline{A} xung khắc và A∪A‾=ΩA \cup \overline{A} = \Omega:
P(A‾)=1−P(A)\mathbf{P(\overline{A}) = 1 - P(A)}
• Rất hiệu quả khi gặp cụm từ "ít nhất một".

4. Mở rộng cho k biến cố xung khắc

• Nếu A1,A2,…,AkA_1, A_2, \dots, A_k đôi một xung khắc:
P(⋃i=1kAi)=∑i=1kP(Ai)P\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) = \sum_{i=1}^k P(A_i)

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

  1. Rút 1 lá bài từ bộ 52 lá. Gọi AA là "rút được lá Át", BB là "rút được lá K". Hỏi P(A)P(A), P(B)P(B) bằng bao nhiêu? AA và BB có xung khắc không?
  2. Từ câu 1, tính xác suất để rút được lá Át hoặc lá K.
  3. Nếu một biến cố EE có xác suất P(E)=0.25P(E) = 0.25, thì xác suất để EE không xảy ra bằng bao nhiêu?
  4. Một lớp học có 60%60\% học sinh thích môn Toán (P(A)=0.6P(A) = 0.6) và 50%50\% thích môn Văn (P(B)=0.5P(B) = 0.5). Liệu xác suất học sinh thích môn Toán hoặc Văn có thể bằng 0.6+0.5=1.10.6 + 0.5 = 1.1 không? Tại sao?
  5. Nếu trong lớp đó có 30%30\% học sinh thích cả hai môn Toán và Văn (P(AB)=0.3P(AB) = 0.3), hãy tính tỉ lệ học sinh thích ít nhất một trong hai môn.
Mẹo hay

Đáp án nhanh:

  1. P(A)=452=113P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, P(B)=452=113P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}. AA và BB xung khắc (A∩B=∅A \cap B = \emptyset).
  2. P(A∪B)=P(A)+P(B)=113+113=213.P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13}.
  3. P(E‾)=1−0.25=0.75P(\overline{E}) = 1 - 0.25 = 0.75.
  4. Không thể! Xác suất không bao giờ vượt quá 11. Sai lầm là vì hai biến cố này không xung khắc (có học sinh thích cả hai môn).
  5. P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.6+0.5−0.3=0.8P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8 (80%80\%).

I. Công thức cộng cho các biến cố xung khắc

1. Định lý cho hai biến cố xung khắc

Quan trọng

Định lý 1 (Công thức cộng hai biến cố xung khắc): Nếu hai biến cố AA và BB xung khắc với nhau (A∩B=∅A \cap B = \emptyset), thì:

P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Chứng minh ngắn gọn theo định nghĩa cổ điển: Giả sử không gian mẫu Ω\Omega có nn phần tử đồng khả năng. Vì A∩B=∅A \cap B = \emptyset nên số phần tử thuận lợi cho A∪BA \cup B là n(A∪B)=n(A)+n(B)n(A \cup B) = n(A) + n(B). Do đó:

P(A∪B)=n(A∪B)n(Ω)=n(A)+n(B)n(Ω)=n(A)n(Ω)+n(B)n(Ω)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(\Omega)} = \frac{n(A) + n(B)}{n(\Omega)} = \frac{n(A)}{n(\Omega)} + \frac{n(B)}{n(\Omega)} = P(A) + P(B)

2. Định lý cho nhiều biến cố đôi một xung khắc

Nếu các biến cố A1,A2,…,AkA_1, A_2, \dots, A_k đôi một xung khắc (nghĩa là Ai∩Aj=∅A_i \cap A_j = \emptyset với mọi i≠ji \ne j), thì:

P(A1∪A2∪⋯∪Ak)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(Ak)P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_k)

3. Hệ quả: Xác suất của biến cố đối

Vì biến cố AA và biến cố đối A‾\overline{A} xung khắc và A∪A‾=ΩA \cup \overline{A} = \Omega, ta có:

P(A∪A‾)=P(A)+P(A‾)  ⟹  P(Ω)=P(A)+P(A‾)P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A}) \implies P(\Omega) = P(A) + P(\overline{A})

Vì P(Ω)=1P(\Omega) = 1, suy ra công thức biến cố đối:

P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)
Mẹo hay

Kinh nghiệm vàng khi làm bài tập: Khi đề bài yêu cầu tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một...", việc tính trực tiếp thường phải chia rất nhiều trường hợp. Hãy nghĩ ngay đến việc tính xác suất của biến cố đối: "Không có cái nào...", sau đó lấy 11 trừ đi!

P(Iˊt nhaˆˊt một)=1−P(Khoˆng coˊ caˊi naˋo)P(\text{Ít nhất một}) = 1 - P(\text{Không có cái nào})

II. Công thức cộng xác suất tổng quát (áp dụng cho 2 biến cố bất kỳ)

Trong thực tế, hai biến cố AA và BB thường có thể cùng xảy ra (A∩B≠∅A \cap B \ne \emptyset).

Quan trọng

Định lý 2 (Công thức cộng tổng quát): Với hai biến cố AA và BB bất kỳ cùng liên quan đến một phép thử, ta luôn có:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Giải thích trực quan qua Nguyên lý Bao hàm - Loại trừ (Inclusion-Exclusion)

Khi quan sát biểu đồ Venn:

  • Tập AA gồm phần riêng của AA và phần giao ABAB.
  • Tập BB gồm phần riêng của BB và phần giao ABAB. Khi ta cộng P(A)+P(B)P(A) + P(B), phần giao ABAB đã bị tính hai lần! Do đó, để nhận được diện tích chính xác của toàn bộ hợp A∪BA \cup B, ta phải trừ bớt đi một lần phần giao P(AB)P(AB).

Lưu ý: Khi AA và BB xung khắc, P(AB)=0P(AB) = 0, công thức tổng quát trở về đúng công thức xung khắc P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).

Mở rộng: Công thức cộng cho ba biến cố bất kỳ

Với ba biến cố A,B,CA, B, C bất kỳ:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−[P(AB)+P(BC)+P(CA)]+P(ABC)P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(AB) + P(BC) + P(CA)] + P(ABC)

Công cụ trực quan: Bộ tính xác suất Venn tương tác

Hãy điều chỉnh các thanh trượt P(A)P(A), P(B)P(B) và P(AB)P(AB) bên dưới để thấy ngay giá trị của P(A∪B)P(A \cup B) và kiểm tra các giới hạn xác suất:

BỘ TÍNH CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT TỰ ĐỘNG

Công thức tính: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(A ∪ B) = 0.60 + 0.50 - 0.25 = 0.85
P(chỉ A): 0.35 P(chỉ B): 0.25 P(cả hai không xảy ra): 0.15

III. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Áp dụng công thức cộng cho các biến cố xung khắc

Bài toán 1: Một hộp chứa 8 quả cầu đỏ, 7 quả cầu xanh và 5 quả cầu vàng (kích thước và khối lượng như nhau). Lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu. Tính xác suất để: a) Lấy được quả cầu màu đỏ hoặc màu vàng.
b) Lấy được quả cầu không phải màu xanh.

Lời giải: Tổng số quả cầu trong hộp là: n(Ω)=8+7+5=20n(\Omega) = 8 + 7 + 5 = 20. Gọi AA: "Lấy được quả cầu đỏ", BB: "Lấy được quả cầu vàng", CC: "Lấy được quả cầu xanh". Ta có:

P(A)=820=25;P(B)=520=14;P(C)=720P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}; \quad P(B) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}; \quad P(C) = \frac{7}{20}

a) Một quả cầu không thể vừa có màu đỏ vừa có màu vàng, do đó AA và BB là hai biến cố xung khắc (A∩B=∅A \cap B = \emptyset). Theo công thức cộng xác suất cho biến cố xung khắc:

P(A∪B)=P(A)+P(B)=820+520=1320=0.65P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20} = 0.65

b) Biến cố "Lấy được quả cầu không phải màu xanh" chính là biến cố đối của CC, kí hiệu là C‾\overline{C}. Áp dụng công thức biến cố đối:

P(C‾)=1−P(C)=1−720=1320=0.65P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{7}{20} = \frac{13}{20} = 0.65

(Nhận xét: Lấy không phải xanh tức là lấy được đỏ hoặc vàng, kết quả hoàn toàn trùng khớp với câu a).

Dạng 2: Áp dụng công thức cộng tổng quát (biến cố không xung khắc)

Bài toán 2: Một lớp học có 40 học sinh. Trong đó có 25 bạn tham gia câu lạc bộ Bóng rổ, 20 bạn tham gia câu lạc bộ Cầu lông và 10 bạn tham gia cả hai câu lạc bộ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để bạn được chọn: a) Tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ.
b) Không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên.
c) Chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ Bóng rổ.

Lời giải: Gọi AA là biến cố: "Bạn được chọn tham gia CLB Bóng rổ".
Gọi BB là biến cố: "Bạn được chọn tham gia CLB Cầu lông".
Theo giả thiết:

P(A)=2540=0.625;P(B)=2040=0.5;P(AB)=1040=0.25P(A) = \frac{25}{40} = 0.625; \quad P(B) = \frac{20}{40} = 0.5; \quad P(AB) = \frac{10}{40} = 0.25

a) Biến cố bạn được chọn tham gia ít nhất một trong hai CLB là biến cố hợp A∪BA \cup B. Áp dụng công thức cộng xác suất tổng quát:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.625+0.5−0.25=0.875=3540=78P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.625 + 0.5 - 0.25 = 0.875 = \frac{35}{40} = \frac{7}{8}

b) Biến cố "Không tham gia câu lạc bộ nào" là biến cố đối của biến cố "Tham gia ít nhất một câu lạc bộ", tức là A∪B‾\overline{A \cup B}. Ta có:

P(A∪B‾)=1−P(A∪B)=1−0.875=0.125=540=18P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.875 = 0.125 = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}

c) Biến cố "Chỉ tham gia CLB Bóng rổ" tương ứng với số học sinh thích Bóng rổ nhưng không thích Cầu lông:

n(A∖B)=n(A)−n(AB)=25−10=15n(A \setminus B) = n(A) - n(AB) = 25 - 10 = 15

Xác suất là:

P(A∖B)=P(A)−P(AB)=2540−1040=1540=38=0.375P(A \setminus B) = P(A) - P(AB) = \frac{25}{40} - \frac{10}{40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} = 0.375

Dạng 3: Sử dụng biến cố đối để giải bài toán "Có ít nhất một"

Bài toán 3: Một tổ học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia đội tình nguyện. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ.

Lời giải: Số cách chọn ngẫu nhiên 3 bạn từ 10 bạn là:

n(Ω)=C103=10×9×83×2×1=120n(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120

Gọi EE là biến cố: "Trong 3 bạn được chọn có ít nhất 1 bạn nữ". Biến cố đối E‾\overline{E} là: "Trong 3 bạn được chọn không có bạn nữ nào" (tức là cả 3 bạn đều là nam). Số cách chọn 3 bạn nam từ 6 bạn nam là:

n(E‾)=C63=6×5×43×2×1=20n(\overline{E}) = C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

Xác suất của biến cố đối là:

P(E‾)=n(E‾)n(Ω)=20120=16P(\overline{E}) = \frac{n(\overline{E})}{n(\Omega)} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}

Vậy xác suất của biến cố EE cần tìm là:

P(E)=1−P(E‾)=1−16=56≈0.833P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.833

IV. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)

V. Ứng dụng Thực tế: Đánh giá Hiệu quả Xét nghiệm Y khoa

Trong xét nghiệm chẩn đoán y học lâm sàng, công thức cộng xác suất được áp dụng để xác định tỉ lệ kết quả xét nghiệm chính xác hoặc dương tính giả / âm tính giả.

Tình huống Thực tế:
Một bệnh viện triển khai đợt khám sức khỏe định kỳ cho cán bộ công nhân viên. Qua thống kê dịch tễ:
- Tỉ lệ người có kháng thể phòng bệnh viêm gan A là P(A)=0.70P(A) = 0.70.
- Tỉ lệ người có kháng thể phòng bệnh viêm gan B là P(B)=0.65P(B) = 0.65.
- Tỉ lệ người có kháng thể phòng cả hai bệnh A và B là P(AB)=0.50P(AB) = 0.50.

1. Tính tỉ lệ người lao động đã có kháng thể với ít nhất một trong hai bệnh.
2. Để đảm bảo an toàn dịch bệnh, bệnh viện chỉ định tiêm mũi vắc-xin nhắc lại cho những người chưa có kháng thể của bất kỳ bệnh nào. Hỏi có bao nhiêu phần trăm cán bộ cần được tiêm nhắc lại?
3. Có bao nhiêu phần trăm cán bộ chỉ có kháng thể của duy nhất một bệnh?
Mẹo hay

Lời giải bài toán Y học:

  1. Tỉ lệ người có ít nhất một loại kháng thể:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.70+0.65−0.50=0.85=85%P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.70 + 0.65 - 0.50 = 0.85 = 85\%
  2. Tỉ lệ người chưa có bất kỳ loại kháng thể nào là biến cố đối của việc có ít nhất một loại:P(A∪B‾)=1−P(A∪B)=1−0.85=0.15=15%P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.85 = 0.15 = 15\%Như vậy có 15%15\% nhân sự cần được tiêm phòng mũi nhắc lại.
  3. Tỉ lệ người chỉ có duy nhất một loại kháng thể:
    • Chỉ có A: P(A)−P(AB)=0.70−0.50=0.20P(A) - P(AB) = 0.70 - 0.50 = 0.20 (20%20\%).
    • Chỉ có B: P(B)−P(AB)=0.65−0.50=0.15P(B) - P(AB) = 0.65 - 0.50 = 0.15 (15%15\%).
    • Vì hai trường hợp này xung khắc nên tỉ lệ cần tìm là: 20%+15%=35%20\% + 15\% = 35\%.
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Bản chất giải tích và ứng dụng tiếp tuyến

Lý thuyết trọng tâm Bài 31 Toán 11 Kết nối tri thức: Định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn số gia, mối liên hệ với tính liên tục, ý nghĩa hình học (tiếp tuyến), ý nghĩa vật lý (vận tốc tức thời), mô phỏng cát tuyến tiến về tiếp tuyến tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

Đọc bài học