Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Trong chương trình Toán lớp 10, các em đã làm quen với các khái niệm sơ khai về xác suất cổ điển: phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu $\Omega$, biến cố $A$ là tập con của không gian mẫu và công thức xác suất cơ bản:

Tuy nhiên, trong thực tế đời sống và nghiên cứu khoa học kỹ thuật, các sự kiện không xảy ra đơn lẻ mà thường kết hợp với nhau theo nhiều mối quan hệ phức tạp:

• Trong y học: Một bệnh nhân có thể vừa mắc bệnh tim ($A$), vừa mắc bệnh tiểu đường ($B$). Xác suất để bệnh nhân mắc ít nhất một trong hai bệnh hoặc mắc cả hai bệnh là bao nhiêu?
• Trong công nghệ thông tin: Hai máy chủ hoạt động độc lập để sao lưu dữ liệu. Xác suất để ít nhất một máy chủ hoạt động bình thường trong giờ cao điểm được xác định ra sao?
• Trong thị trường tài chính: Giá vàng tăng và tỉ giá USD biến động có phải là hai biến cố độc lập hay có mối tương quan phụ thuộc lẫn nhau?

Để mô hình hóa và giải quyết chính xác các bài toán trên, Chương VIII sẽ trang bị cho các em các công cụ toán học nền tảng: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập và các quy tắc cộng, nhân xác suất.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Gieo một con xúc xắc cân đối 6 mặt:
   • Biến cố $A$: "Xuất hiện mặt chia hết cho 2". Hỏi $A$ gồm những kết quả nào?
   • Biến cố $B$: "Xuất hiện mặt chia hết cho 3". Hỏi $B$ gồm những kết quả nào?
2. Hợp và giao: Từ câu 1, những kết quả nào thuộc $A$ hoặc $B$? Những kết quả nào thuộc cả $A$ và $B$?
3. Phân biệt từ khóa: Trong câu: "Hôm nay trời mưa hoặc mất điện", đây là biến cố hợp hay biến cố giao?
4. Xung khắc: Khi rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài tú lơ khơ 52 lá, biến cố "rút được lá Át" và biến cố "rút được lá K" có thể cùng xảy ra không? Chúng có xung khắc không?
5. Độc lập: Hai xạ thủ cùng ngắm bắn vào 1 bia độc lập nhau. Phát bắn trúng của xạ thủ thứ nhất có làm thay đổi cơ hội bắn trúng của xạ thủ thứ hai không?

Mẹo hay

Đáp án nhanh:

1. $A = \{2, 4, 6\}$, $B = \{3, 6\}$.
2. $A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$; $A \cap B = \{6\}$.
3. Từ "hoặc" thể hiện biến cố hợp $A \cup B$.
4. Không thể rút 1 lá vừa là Át vừa là K. Chúng xung khắc ($A \cap B = \emptyset$).
5. Không ảnh hưởng. Hai phát bắn là hai biến cố độc lập.

I. Biến cố hợp

1. Định nghĩa

Cho hai biến cố $A$ và $B$ cùng liên quan đến một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu $\Omega$.

Quan trọng

Định nghĩa Biến cố hợp: Biến cố "Biến cố $A$ xảy ra hoặc biến cố $B$ xảy ra" được gọi là biến cố hợp của $A$ và $B$, kí hiệu là:

$$A \cup B$$

Biến cố $A \cup B$ xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố $A, B$ xảy ra.

Dưới góc độ lý thuyết tập hợp:

2. Mở rộng cho nhiều biến cố

Cho $n$ biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$. Biến cố "Có ít nhất một trong các biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ xảy ra" là biến cố hợp:

II. Biến cố giao

1. Định nghĩa

Cho hai biến cố $A$ và $B$ liên quan đến cùng một phép thử ngẫu nhiên.

Quan trọng

Định nghĩa Biến cố giao: Biến cố "Cả hai biến cố $A$ và $B$ đồng thời xảy ra" được gọi là biến cố giao của $A$ và $B$, kí hiệu là:

$$A \cap B \quad \text{hoặc viết tắt là} \quad AB$$

Biến cố $AB$ xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố $A$ và $B$ cùng xảy ra.

Dưới góc độ lý thuyết tập hợp:

2. Mở rộng cho nhiều biến cố

Cho $n$ biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$. Biến cố "Tất cả các biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ đều đồng thời xảy ra" là biến cố giao:

III. Biến cố xung khắc và Biến cố đối

1. Biến cố xung khắc

Lưu ý / Cảnh báo

Định nghĩa Biến cố xung khắc: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời cùng xảy ra trong bất kỳ kết quả nào của phép thử:

$$A \cap B = \emptyset$$

Ví dụ:

• Khi tung 1 con xúc xắc: Biến cố $A$ = "ra số chấm chẵn" và biến cố $B$ = "ra số chấm lẻ" là hai biến cố xung khắc vì không số nguyên nào vừa chẵn vừa lẻ.
• Khi chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp: $C$ = "học sinh sinh vào tháng 3" và $D$ = "học sinh sinh vào tháng 8" là hai biến cố xung khắc.

2. Biến cố đối

Biến cố đối của $A$, kí hiệu là $\overline{A}$, là biến cố "Biến cố $A$ không xảy ra". Mối quan hệ giữa $A$ và $\overline{A}$:

• Chúng xung khắc: $A \cap \overline{A} = \emptyset$.
• Hợp của chúng phủ kín không gian mẫu: $A \cup \overline{A} = \Omega$.
• Xác suất: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Công cụ trực quan: Biểu đồ Venn tương tác

Hãy bấm vào các nút bên dưới để quan sát trực quan mối quan hệ giữa hai biến cố $A$ và $B$ trong không gian mẫu $\Omega$:

IV. Biến cố độc lập

1. Định nghĩa

Trong thực nghiệm xác suất, có những cặp biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không hề tác động đến cơ hội xảy ra của biến cố kia.

Quan trọng

Định nghĩa Biến cố độc lập: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia:

• Xác suất của $A$ khi $B$ xảy ra hay không xảy ra vẫn bằng $P(A)$.
• Xác suất của $B$ khi $A$ xảy ra hay không xảy ra vẫn bằng $P(B)$.

2. Định lý tính chất của các biến cố độc lập

Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:

1. $A$ và $\overline{B}$ (biến cố đối của $B$).
2. $\overline{A}$ và $B$.
3. $\overline{A}$ và $\overline{B}$.

Ghi nhớ

Chứng minh trực giác: Giả sử việc bạn tung đồng xu lần 1 ra mặt Ngửa không hề ảnh hưởng đến việc lần 2 ra Ngửa. Khi đó, lần 1 ra Ngửa chắc chắn cũng không ảnh hưởng đến việc lần 2 ra Sấp ($\overline{B}$). Tương tự cho các cặp còn lại!

V. So sánh then chốt: Biến cố xung khắc vs Biến cố độc lập

Đây là một trong những điểm học sinh hay nhầm lẫn nhất khi học xác suất lớp 11:

VI. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Viết biến cố hợp, biến cố giao dưới dạng tập hợp

Bài toán 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 6 mặt một lần. Xét các biến cố:

• $A$: "Số chấm xuất hiện là số lẻ".
• $B$: "Số chấm xuất hiện là số chia hết cho 3".
• $C$: "Số chấm xuất hiện lớn hơn hoặc bằng 4".

Hãy xác định không gian mẫu $\Omega$ và viết các tập hợp mô tả các biến cố sau: a) $A, B, C$ và các biến cố đối $\overline{A}, \overline{B}$.
b) Biến cố hợp $A \cup B$ và biến cố giao $AB$.
c) Biến cố $B \cap C$ và biến cố $A \cap C$. Cặp biến cố nào là xung khắc?

Lời giải: Không gian mẫu: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. a)

• $A = \{1, 3, 5\}$.
• $B = \{3, 6\}$.
• $C = \{4, 5, 6\}$.
• $\overline{A} = \Omega \setminus A = \{2, 4, 6\}$ (số chấm là số chẵn).
• $\overline{B} = \Omega \setminus B = \{1, 2, 4, 5\}$ (số chấm không chia hết cho 3).

b)

• $A \cup B = \{1, 3, 5\} \cup \{3, 6\} = \{1, 3, 5, 6\}$ (số chấm là số lẻ hoặc chia hết cho 3).
• $AB = A \cap B = \{1, 3, 5\} \cap \{3, 6\} = \{3\}$ (số chấm vừa là số lẻ, vừa chia hết cho 3).

c)

• $B \cap C = \{3, 6\} \cap \{4, 5, 6\} = \{6\}$ (số chấm vừa chia hết cho 3 vừa $\ge 4$).
• $A \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{4, 5, 6\} = \{5\}$. Cặp biến cố xung khắc trong bài này: xét $D$: "Số chấm là số chẵn" = $\{2, 4, 6\}$ thì $A$ và $D$ là cặp xung khắc ($A \cap D = \emptyset$).

Dạng 2: Phát biểu biến cố bằng ngôn ngữ thực tế

Bài toán 2: Một hộp đựng 10 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Gọi:

• $A$: "Tấm thẻ rút được mang số chẵn".
• $B$: "Tấm thẻ rút được mang số nguyên tố".

Hãy dùng ngôn ngữ biến cố để diễn đạt các mệnh đề sau: a) Tấm thẻ rút được mang số 2.
b) Tấm thẻ rút được mang số chẵn hoặc số nguyên tố.
c) Tấm thẻ rút được mang số lẻ và là hợp số.

Lời giải: Tập hợp các thẻ: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

• $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$.
• $B = \{2, 3, 5, 7\}$.

a) Số 2 vừa là số chẵn, vừa là số nguyên tố duy nhất. Do đó biến cố "Tấm thẻ rút được mang số 2" chính là biến cố giao: $A \cap B$ (hay $AB$).

b) Biến cố "Tấm thẻ rút được mang số chẵn hoặc số nguyên tố" chính là biến cố hợp: $A \cup B$. Cụ thể: $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$.

c)

• Thẻ mang số lẻ là biến cố đối của số chẵn: $\overline{A}$.
• Thẻ mang hợp số (và không phải nguyên tố): trong tập $\{1, \dots, 10\}$, các hợp số là $\{4, 6, 8, 9, 10\}$. Để là số lẻ và hợp số, thẻ đó phải mang số 9. Biến cố này là $\overline{A} \cap \overline{B}$ (không phải chẵn và không phải nguyên tố, loại trừ thẻ 1 nếu quy ước cụ thể).

Dạng 3: Nhận biết biến cố độc lập

Bài toán 3: Trong các cặp biến cố sau đây, cặp biến cố nào là độc lập? Cặp nào phụ thuộc?

1. Một hộp chứa 3 bi xanh và 2 bi đỏ.
   • Phép thử 1: Rút ngẫu nhiên bi thứ nhất, không trả lại vào hộp, sau đó rút bi thứ hai.
   • Gọi $A$: "Bi thứ nhất màu xanh", $B$: "Bi thứ hai màu đỏ".
2. Phép thử 2: Rút ngẫu nhiên bi thứ nhất, ghi lại màu rồi trả lại vào hộp, xóc đều rồi rút bi thứ hai.
   • Gọi $C$: "Bi thứ nhất màu xanh", $D$: "Bi thứ hai màu đỏ".
3. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất riêng biệt.
   • Gọi $E$: "Con xúc xắc thứ nhất ra mặt 6 chấm".
   • Gọi $F$: "Con xúc xắc thứ hai ra mặt 1 chấm".

Lời giải:

1. Cặp biến cố $A$ và $B$ là PHỤ THUỘC (không độc lập): Vì khi rút không hoàn lại, màu sắc của bi thứ nhất sẽ làm thay đổi số lượng bi còn lại trong hộp:

   • Nếu $A$ xảy ra (bi 1 xanh), trong hộp còn 2 bi xanh và 2 bi đỏ $\Rightarrow P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
   • Nếu $A$ không xảy ra (bi 1 đỏ), trong hộp còn 3 bi xanh và 1 bi đỏ $\Rightarrow P(B) = \frac{1}{4}$. Xác suất của $B$ bị thay đổi tùy thuộc vào $A$ có xảy ra hay không!

2. Cặp biến cố $C$ và $D$ là ĐỘC LẬP: Vì có hoàn lại, số lượng bi trong hộp ở lần rút thứ hai vẫn nguyên vẹn như ban đầu (3 xanh, 2 đỏ). Kết quả lần 1 không hề làm ảnh hưởng đến xác suất lần 2.

3. Cặp biến cố $E$ và $F$ là ĐỘC LẬP: Hai con xúc xắc được gieo hoàn toàn riêng biệt, mặt xuất hiện của xúc xắc thứ nhất không có bất kỳ lực tác động vật lý nào lên con xúc xắc thứ hai.

VII. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)

VIII. Ứng dụng Thực tế: Độ tin cậy của Hệ thống Mạng máy tính & Vệ tinh

Trong kỹ thuật truyền thông và mạng máy tính, các kỹ sư thường thiết kế hệ thống có tính dự phòng (redundancy) để đảm bảo an toàn tuyệt đối.

Mẹo hay

Phân tích kỹ thuật:

1. Hệ thống hoạt động khi có ít nhất một kênh hoạt động $\Rightarrow$ Biến cố hợp: $H = A \cup B$.
2. Cả hai kênh đều bị mất tín hiệu tức là kênh Ku mất ($\overline{A}$) VÀ kênh Ka mất ($\overline{B}$) $\Rightarrow$ Biến cố giao: $M = \overline{A} \cap \overline{B}$.
3. Rõ ràng hệ thống chỉ có 2 trạng thái: hoặc là hoạt động, hoặc là sụp đổ hoàn toàn. Do đó $H$ và $M$ là hai biến cố đối nhau:$$M = \overline{H} \iff \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$Đây chính là Công thức De Morgan nổi tiếng trong lý thuyết xác suất và đại số Boole máy tính!