Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Trong Bài 28, chúng ta đã hiểu trực giác về biến cố độc lập: hai sự kiện xảy ra riêng biệt sao cho việc một sự kiện xảy ra không làm thay đổi cơ hội xảy ra của sự kiện kia.

Nhưng làm thế nào để tính chính xác xác suất để cả hai biến cố độc lập cùng đồng thời xảy ra? Câu trả lời chính là Công thức nhân xác suất.

Đây là một trong những công thức toán học có sức ảnh hưởng to lớn nhất trong thế giới hiện đại:

• Kỹ thuật hàng không vũ trụ: Tính xác suất an toàn của tàu con thoi khi có nhiều hệ thống máy tính điều khiển bay chạy song song dự phòng.
• Mạng lưới điện quốc gia: Thiết kế các đường dây truyền tải điện nối tiếp và song song sao cho khả năng mất điện diện rộng là thấp nhất.
• Bảo mật mật khẩu và viễn thông: Tính xác suất kẻ gian đoán trúng mật khẩu nhiều ký tự hoặc xác suất truyền gói tin thành công qua nhiều trạm trung gian.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Gieo một đồng xu cân đối 2 lần liên tiếp. Xác suất lần 1 ra Ngửa là bao nhiêu? Lần 2 ra Ngửa là bao nhiêu?
2. Từ câu 1, xác suất để cả 2 lần đều ra Ngửa bằng bao nhiêu? Bạn tính bằng cách nào?
3. Một xạ thủ bắn phát thứ nhất trúng với xác suất $0.8$, phát thứ hai trúng với xác suất $0.8$ (hai phát bắn độc lập). Xác suất để cả hai phát đều trượt bằng bao nhiêu?
4. Nếu hai biến cố $A$ và $B$ có $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ và $P(AB) = 0.2$. Hai biến cố này có độc lập không?
5. Nếu $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ và $P(AB) = 0.3$. Hai biến cố này có độc lập không?

Mẹo hay

Đáp án nhanh:

1. Lần 1 ra Ngửa: $P(A) = \frac{1}{2}$. Lần 2 ra Ngửa: $P(B) = \frac{1}{2}$.
2. $P(AB) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
3. Xác suất phát 1 trượt là $1 - 0.8 = 0.2$. Phát 2 trượt là $1 - 0.8 = 0.2$. Cả hai phát trượt là $0.2 \cdot 0.2 = 0.04$.
4. Ta có $P(A) \cdot P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(AB)$ $\Rightarrow$ $A$ và $B$ độc lập!
5. Ta có $P(A) \cdot P(B) = 0.2 \ne 0.3 = P(AB)$ $\Rightarrow$ $A$ và $B$ không độc lập (phụ thuộc).

I. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

1. Định lý công thức nhân

Quan trọng

Định lý 1 (Công thức nhân xác suất): Hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập với nhau khi và chỉ khi:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

2. Ý nghĩa hai chiều của định lý

1. Chiều xuôi (Tính xác suất): Nếu đề bài khẳng định hoặc từ bản chất phép thử ta thấy $A$ và $B$ độc lập, ta có quyền dùng ngay công thức:$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$
2. Chiều ngược (Kiểm tra tính độc lập): Nếu ta tính được ba giá trị $P(A), P(B), P(AB)$ mà thấy:
   • $P(AB) = P(A) \cdot P(B) \implies A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.
   • $P(AB) \ne P(A) \cdot P(B) \implies A$ và $B$ là hai biến cố không độc lập (phụ thuộc).

3. Các hệ thức mở rộng từ tính chất biến cố độc lập

Nếu $A$ và $B$ độc lập, ta cũng có các công thức nhân sau cho các biến cố đối:

• $$P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A) \cdot [1 - P(B)]$$
• $$P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = [1 - P(A)] \cdot P(B)$$
• $$P(\overline{A}\,\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = [1 - P(A)] \cdot [1 - P(B)]$$

II. Mở rộng cho hệ $n$ biến cố độc lập

Một hệ $n$ biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ được gọi là độc lập toàn phần nếu biến cố bất kỳ trong hệ không phụ thuộc vào tổ hợp của các biến cố còn lại.

Quan trọng

Công thức nhân cho $n$ biến cố độc lập:

$$P(A_1 A_2 \dots A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \dots P(A_n)$$

Hệ quả tối quan trọng: Xác suất có ít nhất một biến cố xảy ra

Xét $n$ biến cố độc lập $A_1, A_2, \dots, A_n$. Biến cố "Có ít nhất một biến cố xảy ra" là $E = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$. Biến cố đối của $E$ là "Không có biến cố nào xảy ra":

Vì các biến cố đối $\overline{A}_i$ cũng độc lập, ta có:

Từ đó suy ra công thức kinh điển:

Công cụ trực quan: Mô phỏng Mạch điện & Độ tin cậy Hệ thống

Trong kỹ thuật điện tử, một mạch điện gồm 2 bóng đèn hoặc 2 rơ-le hoạt động độc lập:

• Mắc nối tiếp: Mạch thông suốt khi và chỉ khi cả 2 rơ-le đều đóng ($A \cap B$).
• Mắc song song: Mạch thông suốt khi có ít nhất 1 rơ-le đóng ($A \cup B$).

Hãy điều chỉnh xác suất đóng của rơ-le 1 ($p_1$) và rơ-le 2 ($p_2$) để so sánh độ tin cậy giữa hai cách mắc:

III. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Bài toán xạ thủ bắn bia

Bài toán 1: Hai xạ thủ A và B độc lập cùng bắn mỗi người một viên đạn vào cùng một tấm bia. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ A là $0.8$, của xạ thủ B là $0.7$. Tính xác suất để: a) Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.
b) Cả hai xạ thủ đều bắn trượt.
c) Có đúng một xạ thủ bắn trúng bia.
d) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố: "Xạ thủ A bắn trúng bia" $\implies P(A) = 0.8 \implies P(\overline{A}) = 1 - 0.8 = 0.2$.
Gọi $B$ là biến cố: "Xạ thủ B bắn trúng bia" $\implies P(B) = 0.7 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0.7 = 0.3$.
Vì hai xạ thủ bắn độc lập nên $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.

a) Biến cố "Cả hai cùng bắn trúng" là $AB$.

b) Biến cố "Cả hai cùng bắn trượt" là $\overline{A}\,\overline{B}$.

c) Biến cố "Có đúng một xạ thủ bắn trúng" là $E = (A\overline{B}) \cup (\overline{A}B)$. Nhận thấy hai biến cố $A\overline{B}$ và $\overline{A}B$ là xung khắc nhau. Áp dụng công thức cộng:

d) Biến cố "Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng" là biến cố đối của câu b:

(Hoặc dùng công thức cộng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.8 + 0.7 - 0.56 = 0.94$).

Dạng 2: Phối hợp quy tắc nhân và quy tắc cộng trong thi cử & sản xuất

Bài toán 2: Một học sinh đi thi môn Lịch sử phải trả lời 3 câu hỏi vấn đáp độc lập. Xác suất học sinh trả lời đúng câu thứ nhất là $0.9$, câu thứ hai là $0.8$ và câu thứ ba là $0.7$. Để được điểm Giỏi, học sinh phải trả lời đúng ít nhất 2 câu hỏi. Tính xác suất để học sinh đạt điểm Giỏi.

Lời giải: Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là biến cố học sinh trả lời đúng câu 1, câu 2, câu 3. Ta có:

Học sinh đạt điểm Giỏi khi trả lời đúng đúng 2 câu hoặc đúng cả 3 câu. Các trường hợp này xung khắc nhau:

1. Đúng cả 3 câu ($A_1 A_2 A_3$):$$P_1 = P(A_1)P(A_2)P(A_3) = 0.9 \times 0.8 \times 0.7 = 0.504$$
2. Đúng câu 1, 2 và sai câu 3 ($A_1 A_2 \overline{A}_3$):$$P_2 = P(A_1)P(A_2)P(\overline{A}_3) = 0.9 \times 0.8 \times 0.3 = 0.216$$
3. Đúng câu 1, 3 và sai câu 2 ($A_1 \overline{A}_2 A_3$):$$P_3 = P(A_1)P(\overline{A}_2)P(A_3) = 0.9 \times 0.2 \times 0.7 = 0.126$$
4. Đúng câu 2, 3 và sai câu 1 ($\overline{A}_1 A_2 A_3$):$$P_4 = P(\overline{A}_1)P(A_2)P(A_3) = 0.1 \times 0.8 \times 0.7 = 0.056$$

Vì 4 biến cố trên đôi một xung khắc, xác suất để học sinh đạt loại Giỏi là:

Vậy xác suất đạt điểm Giỏi là $90.2\%$.

Dạng 3: Kiểm tra tính độc lập của hai biến cố

Bài toán 3: Một bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên 1 lá bài. Xét hai biến cố:

• $A$: "Rút được lá bài chất Cơ".
• $B$: "Rút được lá bài hình người (J, Q, K)".

Hỏi $A$ và $B$ có độc lập với nhau không?

Lời giải: Không gian mẫu: $n(\Omega) = 52$.

• Trong bộ bài có 13 lá Cơ $\implies P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
• Có 3 quân bài hình (J, Q, K) cho mỗi chất, tổng cộng có $3 \times 4 = 12$ quân hình $\implies P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
• Biến cố giao $AB$ là "Rút được lá bài vừa là chất Cơ vừa là quân hình" (gồm J Cơ, Q Cơ, K Cơ: có đúng 3 lá):$$P(AB) = \frac{3}{52}$$

Bây giờ ta tính tích:

Nhận thấy $P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{52}$. Vậy $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau!

IV. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)

V. Ứng dụng Kỹ thuật: Thiết kế Hệ thống An toàn Dự phòng Máy bay

Trong ngành hàng không dân dụng, an toàn bay là ưu tiên số một. Mọi hệ thống điều khiển lái quan trọng (Fly-by-wire) đều không bao giờ dùng một máy tính đơn lẻ, mà luôn được cấu hình đa kênh song song độc lập.

Mẹo hay

Phân tích an toàn:

1. Xác suất cả 3 máy tính cùng hỏng trong chuyến bay:$$P(\text{Cả 3 hỏng}) = q^3 = (0.001)^3 = 10^{-9} = 0.000000001$$Xác suất hệ thống an toàn (ít nhất một máy tính vận hành tốt):$$P(\text{An toàn}) = 1 - 10^{-9} = 0.999999999$$
2. So sánh:
   • Nếu chỉ dùng 1 máy tính: Xác suất gặp sự cố là $q = 0.001$ (tương đương cứ 1.000 chuyến bay thì có 1 chuyến gặp nạn - tỉ lệ cực kỳ nguy hiểm!).
   • Khi có 3 máy tính dự phòng độc lập: Xác suất sự cố giảm xuống còn $1$ trên $1.000.000.000$ (1 phần một tỷ chuyến bay). Đó chính là sức mạnh phi thường của nguyên lý nhân xác suất trong kỹ thuật an toàn hiện đại!