Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Nếu có một phát minh toán học nào làm thay đổi hoàn toàn tiến trình văn minh nhân loại, đưa loài người từ thời kỳ cơ học cổ điển bước sang kỷ nguyên công nghiệp và hàng không vũ trụ, thì đó chính là Phép tính Vi tích phân (Calculus), mà viên gạch nền móng đầu tiên là Đạo hàm.

Được hai bộ óc thiên tài là Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz độc lập phát minh vào thế kỷ XVII, đạo hàm sinh ra để giải quyết hai câu hỏi hóc búa nhất của vật lý và hình học đương thời:

1. Trong vật lý: Làm thế nào để đo được vận tốc tức thời của một vật thể chuyển động biến đổi tại đúng một tích tắc thời gian $t_0$, khi mà công thức quen thuộc $v = \frac{s}{t}$ chỉ cho ta vận tốc trung bình trên một khoảng thời gian?
2. Trong hình học: Làm thế nào để xác định chính xác phương trình của đường tiếp tuyến chạm vào một đường cong bất kỳ tại một điểm duy nhất?

Bài học này sẽ mở cánh cửa dẫn các em vào thế giới kỳ diệu của Đạo hàm — công cụ quyền năng nhất của Giải tích toán học.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Một chiếc xe máy đi được quãng đường $s = 60\text{ km}$ trong thời gian $t = 1.5\text{ giờ}$. Vận tốc trung bình của xe là bao nhiêu?
2. Kim đồng hồ tốc độ (speedometer) trên xe máy hiển thị $45\text{ km/h}$ lúc bạn liếc nhìn. Đó là vận tốc trung bình hay vận tốc tức thời?
3. Tính giới hạn sau: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.
4. Đường thẳng có phương trình $y = 3x - 5$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?
5. Nếu một hàm số bị gián đoạn (đứt gãy đồ thị) tại điểm $x = 1$, liệu ta có thể kẻ được một tiếp tuyến trơn tru chạm vào đồ thị tại điểm đó không?

Mẹo hay

Đáp án nhanh:

1. Vận tốc trung bình $v_{tb} = \frac{60}{1.5} = 40\text{ km/h}$.
2. Đó là vận tốc tức thời tại đúng thời điểm quan sát.
3. $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
4. Hệ số góc $k = 3$.
5. Không thể. Đồ thị bị gián đoạn thì không thể tồn tại tiếp tuyến trơn.

I. Định nghĩa Đạo hàm tại một điểm

1. Khái niệm Số gia

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và điểm $x_0 \in (a; b)$.

• Số gia của đối số tại điểm $x_0$ là hiệu số:$$\Delta x = x - x_0 \iff x = x_0 + \Delta x$$
• Số gia tương ứng của hàm số là:$$\Delta y = f(x) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$

2. Định nghĩa Đạo hàm

Quan trọng

Định nghĩa Đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \quad \text{hay} \quad \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$, kí hiệu là:

$$f'(x_0) \quad \text{hoặc} \quad y'(x_0)$$

Như vậy:

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

3. Quy trình 3 bước tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm $f'(x_0)$ bằng định nghĩa, ta thực hiện theo 3 bước chuẩn mực:

1. Bước 1: Cho đối số $x_0$ một số gia $\Delta x$. Tính số gia hàm số:$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$
2. Bước 2: Lập tỉ số:$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$và rút gọn triệt tiêu đại lượng $\Delta x$ ở mẫu số.
3. Bước 3: Tính giới hạn khi $\Delta x \to 0$:$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

II. Mối quan hệ giữa Đạo hàm và Tính liên tục

Quan trọng

Định lý về Đạo hàm và Tính liên tục: Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì nó liên tục tại điểm $x_0$.

Cẩn trọng

Bẫy tư duy kinh điển: Chiều ngược lại KHÔNG ĐÚNG! Một hàm số có thể liên tục tại điểm $x_0$ nhưng hoàn toàn không có đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ kinh điển: Xét hàm số $y = f(x) = |x|$ tại $x_0 = 0$:

• Hàm số liên tục tại $x = 0$ (đồ thị không đứt gãy, $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$).
• Nhưng khi xét tỉ số đạo hàm:
  • Giới hạn bên phải: $$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1.$$
  • Giới hạn bên trái: $$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1.$$ Hai giới hạn một bên khác nhau ($1 \ne -1$) nên không tồn tại $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Đồ thị tại điểm $(0; 0)$ bị "gãy nhọn" (corner point) nên không có tiếp tuyến duy nhất!

III. Ý nghĩa Hình học của Đạo hàm

1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Xét đồ thị $(C)$ của hàm số $y = f(x)$. Lấy điểm cố định $M_0(x_0; f(x_0))$ và điểm di động $M(x; f(x))$ trên $(C)$. Đường thẳng nối hai điểm $M_0$ và $M$ được gọi là cát tuyến (secant line). Hệ số góc của cát tuyến $M_0M$ là:

Khi điểm $M$ di chuyển trên đường cong tiến dần về điểm $M_0$ ($x \to x_0$ hay $\Delta x \to 0$), cát tuyến $M_0M$ sẽ quay quanh $M_0$ và tiến dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng $M_0T$. Đường thẳng $M_0T$ được gọi là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M_0$.

Quan trọng

Định lý Ý nghĩa Hình học của Đạo hàm: Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ chính là hệ số góc $k$ của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_0(x_0; f(x_0))$:

$$k = f'(x_0)$$

2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm tiếp xúc $M_0(x_0; y_0)$ (với $y_0 = f(x_0)$) có dạng:

Công cụ trực quan: Mô phỏng Cát tuyến tiến về Tiếp tuyến

Hãy kéo thanh trượt $\Delta x$ bên dưới từ giá trị lớn về gần $0$. Quan sát điểm $M$ trượt trên parabol $y = x^2$ về phía $M_0(1; 1)$, đường cát tuyến (nét đứt) xoay dần và áp sát hoàn toàn vào đường tiếp tuyến (nét liền màu đỏ có hệ số góc $k = 2$):

IV. Ý nghĩa Vật lý của Đạo hàm

1. Vận tốc tức thời trong chuyển động thẳng

Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình quãng đường theo thời gian là $s = s(t)$.

• Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t_0 + \Delta t$ là:$$v_{tb} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$$
• Khi $\Delta t$ tiến dần về $0$, giới hạn này biểu thị vận tốc tức thời của chất điểm tại đúng thời điểm $t_0$:$$\mathbf{v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = s'(t_0)}$$

Ghi nhớ

Quy tắc vàng vật lý: Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t) = s'(t)$.

2. Cường độ dòng điện tức thời

Nếu điện lượng $Q$ truyền qua tiết diện thẳng của dây dẫn là một hàm số theo thời gian $q = q(t)$, thì cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm $t_0$ là đạo hàm của điện lượng:

V. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bài toán 1: Dùng định nghĩa đạo hàm, hãy tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^2 - 3x$ tại điểm $x_0 = 2$.

Lời giải: Thực hiện theo quy trình 3 bước:

• Bước 1: Cho $x_0 = 2$ một số gia $\Delta x$. Ta có:

  $$f(2) = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2$$$$f(2 + \Delta x) = (2 + \Delta x)^2 - 3(2 + \Delta x) = 4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 6 - 3\Delta x = (\Delta x)^2 + \Delta x - 2$$

  Số gia hàm số:

  $$\Delta y = f(2 + \Delta x) - f(2) = [(\Delta x)^2 + \Delta x - 2] - (-2) = (\Delta x)^2 + \Delta x$$

• Bước 2: Lập tỉ số số gia:

  $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2 + \Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(\Delta x + 1)}{\Delta x} = \Delta x + 1 \quad (\text{với } \Delta x \ne 0)$$

• Bước 3: Lấy giới hạn khi $\Delta x \to 0$:

  $$f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 1) = 0 + 1 = 1$$

  Vậy $f'(2) = 1$.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài toán 2: Cho hàm số $y = f(x) = -x^2 + 4x - 1$ có đồ thị là $(P)$. a) Tính đạo hàm $f'(x)$ tại điểm $x_0 = 3$ bằng định nghĩa (hoặc quy tắc cơ bản: $(x^2)' = 2x$).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P)$ tại điểm $M_0$ có hoành độ $x_0 = 3$.
c) Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến trên với hai trục tọa độ $Ox, Oy$.

Lời giải: a) Với $x_0 = 3$: $y_0 = f(3) = -(3)^2 + 4(3) - 1 = -9 + 12 - 1 = 2$. Vậy tọa độ tiếp điểm là $M_0(3; 2)$. Tính đạo hàm tại $x_0 = 3$:

Hệ số góc của tiếp tuyến là $k = f'(3) = -2$.

b) Phương trình tiếp tuyến tại $M_0(3; 2)$ là:

c) Giao điểm của tiếp tuyến $d: y = -2x + 8$ với các trục:

• Giao với $Oy$ ($x = 0$): $y = 8 \implies A(0; 8)$.
• Giao với $Ox$ ($y = 0$): $-2x + 8 = 0 \iff x = 4 \implies B(4; 0)$.

Dạng 3: Bài toán chuyển động và vận tốc tức thời

Bài toán 3: Một quả bóng được bắn thẳng đứng lên trời từ mặt đất với phương trình chuyển động:

a) Tính vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm $t = 2\text{ giây}$.
b) Sau bao lâu kể từ lúc bắn thì quả bóng đạt độ cao cực đại? Độ cao cực đại đó bằng bao nhiêu?
c) Khi chạm đất, vận tốc của quả bóng bằng bao nhiêu?

Lời giải: a) Vận tốc tức thời $v(t) = s'(t)$. Xét số gia tại thời điểm $t$:

Vậy phương trình vận tốc tức thời là: $v(t) = 30 - 10t\text{ (m/s)}$. Tại $t = 2\text{ s}$:

b) Quả bóng bay lên đến khi dừng lại trong giây lát rồi rơi xuống $\implies$ tại đỉnh cao nhất, vận tốc tức thời bằng 0:

Độ cao cực đại của quả bóng là:

c) Quả bóng chạm đất khi độ cao $s(t) = 0$:

Vận tốc tức thời khi chạm đất là:

(Dấu âm chỉ hướng chuyển động ngược lại chiều dương ban đầu, tốc độ khi chạm đất đúng bằng $30\text{ m/s}$).

VI. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)

VII. Ứng dụng Thực tế: Vận tốc Thoát Ly và Quỹ đạo Phóng Tên lửa Vũ trụ

Khi các kỹ sư tại Trung tâm Vũ trụ phóng một tên lửa đẩy để đưa vệ tinh viễn thông lên quỹ đạo địa tĩnh:

Mẹo hay

Giải pháp kỹ thuật vi tích phân:

1. Vận tốc tức thời là đạo hàm của độ cao theo thời gian:$$v(t) = h'(t) = 0.5 \cdot (3t^2) + 10 \cdot (2t) = 1.5 t^2 + 20 t \quad (\text{m/s})$$
2. Tại $t = 60\text{ s}$:$$v(60) = 1.5 \times (60)^2 + 20 \times 60 = 1.5 \times 3600 + 1200 = 5400 + 1200 = 6\,600\text{ m/s} \approx 23\,760\text{ km/h}$$
3. Tại thời điểm $t = 100\text{ s}$:$$v(100) = 1.5 \times (100)^2 + 20 \times 100 = 1.5 \times 10\,000 + 2\,000 = 15\,000 + 2\,000 = 17\,000\text{ m/s}$$Vì $17\,000\text{ m/s} > 15\,000\text{ m/s}$, động cơ tên lửa hoàn toàn đáp ứng xuất sắc yêu cầu kỹ thuật để đưa vệ tinh vào quỹ đạo chuyển tiếp!