Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Toán 11 Bài tập cuối chương 9: Đạo hàm - Tổng ôn toàn diện lý thuyết và bài tập

Tổng ôn toàn diện Chương IX Đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức: Toàn bộ bảng công thức đạo hàm sơ cấp và hàm hợp, 4 dạng toán trọng tâm (tiếp tuyến, chuyển động vật lý, giải phương trình đạo hàm) và 12 câu trắc nghiệm tự chấm.

#Toán học#Toán 11#Đạo hàm#Bài tập cuối chương 9#Ôn tập đạo hàm#Tiếp tuyến#Gia tốc tức thời#Bảng công thức đạo hàm#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết10 mục

Bài tập cuối chương IX. Đạo hàm

Chương IX — Đạo hàm là chương học đỉnh cao và quan trọng bậc nhất của toàn bộ chương trình Toán học lớp 11. Đạo hàm không chỉ là công cụ tính toán vận tốc, gia tốc hay hệ số góc tiếp tuyến, mà còn là chiếc chìa khóa vạn năng để bước vào chương trình Giải tích lớp 12: khảo sát sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất và tiệm cận của đồ thị hàm số.

Bài tổng ôn cuối chương này sẽ giúp các em hệ thống hóa toàn bộ mạng lưới kiến thức, củng cố bảng công thức đạo hàm và thuần thục 4 dạng toán kinh điển thường xuất hiện nhất trong các đề thi tuyển sinh và kiểm tra định kỳ.

BẢN ĐỒ TỔNG KẾT TOÀN DIỆN CHƯƠNG IX: ĐẠO HÀM

1. Định nghĩa & Ý nghĩa Đạo hàm

• f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
• Ý nghĩa hình học: Hệ số góc tiếp tuyến k=f′(x0)k = f'(x_0).
  PT tiếp tuyến: y=f′(x0)(x−x0)+y0y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0.
• Ý nghĩa vật lý: Vận tốc tức thời v(t)=s′(t)v(t) = s'(t).

2. Các quy tắc Đạo hàm Đại số

• (u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'
• (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'; (c⋅u)′=c⋅u′(c \cdot u)' = c \cdot u'
• (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
• Công thức nhanh: (ax+bcx+d)′=ad−bc(cx+d)2\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}

3. Đạo hàm Lượng giác, Mũ, Lôgarit

• (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u'\cos u; (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u'\sin u
• (tan⁡u)′=u′cos⁡2u(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}; (cot⁡u)′=−u′sin⁡2u(\cot u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}
• (eu)′=u′eu(e^u)' = u' e^u; (au)′=u′auln⁡a(a^u)' = u' a^u \ln a
• (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \frac{u'}{u}; (log⁡au)′=u′uln⁡a(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}

4. Đạo hàm cấp hai & Gia tốc

• Định nghĩa: f′′(x)=(f′(x))′f''(x) = (f'(x))'
• Gia tốc tức thời: a(t)=v′(t)=s′′(t)a(t) = v'(t) = s''(t)
• Dao động điều hòa: x′′(t)=−ω2x(t)x''(t) = -\omega^2 x(t)

Bảng Tra Cứu Toàn Bộ Công Thức Đạo Hàm Trọng Tâm

Hàm số cơ bản xx Đạo hàm hàm sơ cấp Hàm hợp u=u(x)u = u(x) Đạo hàm hàm hợp
Hằng số cc (c)′=0(c)' = 0 — —
Lũy thừa xαx^\alpha (xα)′=αxα−1(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1} Lũy thừa uαu^\alpha (uα)′=αuα−1⋅u′(u^\alpha)' = \alpha u^{\alpha - 1} \cdot u'
Căn bậc hai x\sqrt{x} (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} Căn thức u\sqrt{u} (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}
Nghịch đảo 1x\frac{1}{x} (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} Nghịch đảo 1u\frac{1}{u} (1u)′=−u′u2\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}
Hàm số sin⁡x\sin x (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x Hàm số sin⁡u\sin u (sin⁡u)′=u′⋅cos⁡u(\sin u)' = u' \cdot \cos u
Hàm số cos⁡x\cos x (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x Hàm số cos⁡u\cos u (cos⁡u)′=−u′⋅sin⁡u(\cos u)' = -u' \cdot \sin u
Hàm số tan⁡x\tan x (tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x Hàm số tan⁡u\tan u (tan⁡u)′=u′cos⁡2u(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}
Hàm số cot⁡x\cot x (cot⁡x)′=−1sin⁡2x=−(1+cot⁡2x)(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) Hàm số cot⁡u\cot u (cot⁡u)′=−u′sin⁡2u(\cot u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}
Hàm số mũ exe^x (ex)′=ex(e^x)' = e^x Hàm số mũ eue^u (eu)′=u′⋅eu(e^u)' = u' \cdot e^u
Hàm số mũ axa^x (ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x \ln a Hàm số mũ aua^u (au)′=u′⋅auln⁡a(a^u)' = u' \cdot a^u \ln a
Lôgarit ln⁡x\ln x (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x} Lôgarit ln⁡u\ln u (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \frac{u'}{u}
Lôgarit log⁡ax\log_a x (log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} Lôgarit log⁡au\log_a u (log⁡au)′=u′uln⁡a(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}

Bốn Dạng Toán Trọng Tâm Ôn Thi Có Lời Giải Chi Tiết

Dạng 1: Tính đạo hàm của biểu thức phức hợp

Bài toán 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=(x2−3x+1)5y = (x^2 - 3x + 1)^5
b) y=3x−12x+1y = \frac{3x - 1}{2x + 1}
c) y=x2+1⋅cos⁡(2x)y = \sqrt{x^2 + 1} \cdot \cos(2x)
d) y=ln⁡(x+x2+1)y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})

Lời giải: a) Áp dụng (un)′=nun−1u′(u^n)' = n u^{n-1} u' với u=x2−3x+1  ⟹  u′=2x−3u = x^2 - 3x + 1 \implies u' = 2x - 3:

y′=5(x2−3x+1)4⋅(2x−3)y' = 5(x^2 - 3x + 1)^4 \cdot (2x - 3)

b) Áp dụng công thức nhanh phân thức bậc nhất trên bậc nhất:

ad−bc=3(1)−(−1)(2)=3+2=5  ⟹  y′=5(2x+1)2ad - bc = 3(1) - (-1)(2) = 3 + 2 = 5 \implies y' = \frac{5}{(2x + 1)^2}

c) Áp dụng quy tắc tích (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv':

  • u=x2+1  ⟹  u′=2x2x2+1=xx2+1u = \sqrt{x^2 + 1} \implies u' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
  • v=cos⁡(2x)  ⟹  v′=−2sin⁡(2x)v = \cos(2x) \implies v' = -2\sin(2x)y′=xx2+1cos⁡(2x)−2x2+1sin⁡(2x)=xcos⁡(2x)−2(x2+1)sin⁡(2x)x2+1y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cos(2x) - 2\sqrt{x^2 + 1} \sin(2x) = \frac{x\cos(2x) - 2(x^2 + 1)\sin(2x)}{\sqrt{x^2 + 1}}

d) Áp dụng (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \frac{u'}{u} với u=x+x2+1u = x + \sqrt{x^2 + 1}:

u′=1+2x2x2+1=1+xx2+1=x2+1+xx2+1u' = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}

Do đó:

y′=u′u=x2+1+xx2+1x+x2+1=1x2+1y' = \frac{u'}{u} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

(Đây là một kết quả vô cùng đẹp mắt và kinh điển trong giải tích tích phân!)

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài toán 2: Cho hàm số y=x+2x−1y = \frac{x + 2}{x - 1} có đồ thị là (C)(C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)(C) tại điểm M0M_0 có hoành độ x0=2x_0 = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)(C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k=−3k = -3.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)(C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:y=−13x+2026d: y = -\frac{1}{3}x + 2026.

Lời giải: Tập xác định: D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\}. Đạo hàm:

y′=1(−1)−2(1)(x−1)2=−3(x−1)2y' = \frac{1(-1) - 2(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}

a) Tại điểm có hoành độ x0=2x_0 = 2:

  • Tung độ tiếp điểm: y0=2+22−1=4  ⟹  M0(2;4)y_0 = \frac{2 + 2}{2 - 1} = 4 \implies M_0(2; 4).
  • Hệ số góc: k=y′(2)=−3(2−1)2=−3k = y'(2) = \frac{-3}{(2 - 1)^2} = -3.
  • Phương trình tiếp tuyến:y−4=−3(x−2)  ⟺  y=−3x+10y - 4 = -3(x - 2) \iff y = -3x + 10

b) Tiếp tuyến có hệ số góc k=−3k = -3:

y′(x0)=−3  ⟺  −3(x0−1)2=−3  ⟺  (x0−1)2=1  ⟺  [x0−1=1  ⟹  x0=2x0−1=−1  ⟹  x0=0y'(x_0) = -3 \iff \frac{-3}{(x_0 - 1)^2} = -3 \iff (x_0 - 1)^2 = 1 \iff \left[\begin{array}{l} x_0 - 1 = 1 \implies x_0 = 2 \\ x_0 - 1 = -1 \implies x_0 = 0 \end{array}\right.
  • Với x0=2x_0 = 2: y0=4  ⟹  y_0 = 4 \implies tiếp tuyến y=−3x+10y = -3x + 10 (đã làm ở câu a).
  • Với x0=0x_0 = 0: y0=0+20−1=−2  ⟹  y_0 = \frac{0 + 2}{0 - 1} = -2 \implies tiếp tuyến:y−(−2)=−3(x−0)  ⟺  y=−3x−2y - (-2) = -3(x - 0) \iff y = -3x - 2Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: y=−3x+10y = -3x + 10 và y=−3x−2y = -3x - 2.

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d:y=−13x+2026d: y = -\frac{1}{3}x + 2026 nên hệ số góc k=−13k = -\frac{1}{3}:

y′(x0)=−13  ⟺  −3(x0−1)2=−13  ⟺  (x0−1)2=9  ⟺  [x0−1=3  ⟹  x0=4x0−1=−3  ⟹  x0=−2y'(x_0) = -\frac{1}{3} \iff \frac{-3}{(x_0 - 1)^2} = -\frac{1}{3} \iff (x_0 - 1)^2 = 9 \iff \left[\begin{array}{l} x_0 - 1 = 3 \implies x_0 = 4 \\ x_0 - 1 = -3 \implies x_0 = -2 \end{array}\right.
  • Với x0=4x_0 = 4: y0=4+24−1=2  ⟹  y_0 = \frac{4 + 2}{4 - 1} = 2 \implies tiếp tuyến:y−2=−13(x−4)  ⟺  y=−13x+103y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 4) \iff y = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}
  • Với x0=−2x_0 = -2: y0=−2+2−2−1=0  ⟹  y_0 = \frac{-2 + 2}{-2 - 1} = 0 \implies tiếp tuyến:y−0=−13(x+2)  ⟺  y=−13x−23y - 0 = -\frac{1}{3}(x + 2) \iff y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}Cả 2 tiếp tuyến đều có hệ số tự do khác 20262026 nên đều thỏa mãn điều kiện song song.

Dạng 3: Bài toán ứng dụng vật lý: Vận tốc và Gia tốc tức thời

Bài toán 3: Một đoàn tàu đang chạy đều với tốc độ 20 m/s20\text{ m/s} thì người lái tàu phát hiện tín hiệu dừng khẩn cấp và hãm phanh. Quãng đường tàu đi được sau khi hãm phanh là một hàm số theo thời gian tt (tính bằng giây):

s(t)=20t−0.4t2(t⩾0,s tıˊnh ba˘ˋng meˊt)s(t) = 20t - 0.4t^2 \quad (t \ge 0, s \text{ tính bằng mét})

a) Tìm vận tốc tức thời v(t)v(t) và gia tốc tức thời a(t)a(t) của đoàn tàu sau khi hãm phanh.
b) Sau bao lâu thì đoàn tàu dừng hẳn?
c) Quãng đường đoàn tàu trượt dài từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét?

Lời giải: a) Vận tốc tức thời của đoàn tàu là đạo hàm cấp một của quãng đường:

v(t)=s′(t)=(20t−0.4t2)′=20−0.8t(m/s)v(t) = s'(t) = (20t - 0.4t^2)' = 20 - 0.8t \quad (\text{m/s})

Gia tốc tức thời là đạo hàm cấp hai:

a(t)=s′′(t)=v′(t)=(20−0.8t)′=−0.8(m/s2)a(t) = s''(t) = v'(t) = (20 - 0.8t)' = -0.8 \quad (\text{m/s}^2)

(Gia tốc là hằng số âm −0.8 m/s2-0.8\text{ m/s}^2, đoàn tàu chuyển động chậm dần đều).

b) Đoàn tàu dừng hẳn khi vận tốc tức thời v(t)=0v(t) = 0:

20−0.8t=0  ⟺  0.8t=20  ⟺  t=200.8=25 giaˆy20 - 0.8t = 0 \iff 0.8t = 20 \iff t = \frac{20}{0.8} = 25\text{ giây}

Vậy sau 2525 giây kể từ lúc hãm phanh thì đoàn tàu dừng hẳn.

c) Quãng đường tàu chạy trong 2525 giây hãm phanh là:

s(25)=20(25)−0.4(25)2=500−0.4(625)=500−250=250 meˊts(25) = 20(25) - 0.4(25)^2 = 500 - 0.4(625) = 500 - 250 = 250\text{ mét}

Dạng 4: Giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm

Bài toán 4: Cho hàm số f(x)=13x3−2x2+3x−5f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 5. a) Giải phương trình f′(x)=0f'(x) = 0.
b) Giải bất phương trình f′(x)⩽0f'(x) \le 0.
c) Giải phương trình f′′(x)=0f''(x) = 0.

Lời giải: a) Tính đạo hàm cấp một:

f′(x)=(13x3−2x2+3x−5)′=x2−4x+3f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 5\right)' = x^2 - 4x + 3

Phương trình f′(x)=0f'(x) = 0:

x2−4x+3=0  ⟺  (x−1)(x−3)=0  ⟺  [x=1x=3x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x - 1)(x - 3) = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}\right.

b) Bất phương trình f′(x)⩽0f'(x) \le 0:

x2−4x+3⩽0x^2 - 4x + 3 \le 0

Tam thức bậc hai x2−4x+3x^2 - 4x + 3 có hai nghiệm là 11 và 33, hệ số a=1>0a = 1 > 0. Áp dụng quy tắc "trong trái ngoài cùng":

1⩽x⩽31 \le x \le 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=[1;3]S = [1; 3].

c) Tính đạo hàm cấp hai:

f′′(x)=(x2−4x+3)′=2x−4f''(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4

Phương trình f′′(x)=0f''(x) = 0:

2x−4=0  ⟺  x=22x - 4 = 0 \iff x = 2

Trắc nghiệm Tự chấm: Tổng ôn toàn chương IX (12 câu)

Ứng dụng Kỹ thuật: Thiết kế Đường Cong Tàu Lượn Siêu Tốc (Roller Coaster)

Trong kỹ thuật xây dựng công viên giải trí, khi chuyển tiếp từ một đoạn dốc trượt thẳng xuống một đoạn đường cong vòng cung:

Bài toán Kỹ thuật Cơ học Trực quan:
Để toa tàu lượn không bị "văng" hoặc tạo ra cú sốc lực GG đột ngột gây gãy ray hoặc chấn thương cột sống cho du khách, tại điểm nối tiếp giáp giữa đoạn dốc thẳng y=g(x)y = g(x) và đoạn ray lượn cong parabol y=f(x)y = f(x):
1. Độ cao phải liên tục: f(x0)=g(x0)f(x_0) = g(x_0) (hai đoạn ray khớp vị trí).
2. Hướng tiếp tuyến phải trùng khớp (Đạo hàm cấp một bằng nhau): f′(x0)=g′(x0)f'(x_0) = g'(x_0) (đường ray trơn tru, không có góc nhọn gãy khúc).
3. Độ cong chuyển tiếp êm ái (Đạo hàm cấp hai liên tục): f′′(x0)≈g′′(x0)f''(x_0) \approx g''(x_0) để gia tốc hướng tâm không bị gián đoạn đột biến!

Nếu người thiết kế mắc sai lầm để f′(x0)≠g′(x0)f'(x_0) \ne g'(x_0), đường ray sẽ bị "gãy góc" tại x0x_0, khi bánh xe tàu lao qua với vận tốc cao 80 km/h80\text{ km/h}, lực va đập tại góc nhọn sẽ là vô hạn theo lý thuyết cơ học!
Mẹo hay

Kết luận: Đó chính là lý do vì sao phép tính đạo hàm f′(x)f'(x) và đạo hàm cấp hai f′′(x)f''(x) là kiến thức nền tảng bắt buộc của mọi kỹ sư hàng không, cơ khí chế tạo máy và thiết kế hạ tầng giao thông trên toàn cầu!

NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Bản chất giải tích và ứng dụng tiếp tuyến

Lý thuyết trọng tâm Bài 31 Toán 11 Kết nối tri thức: Định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn số gia, mối liên hệ với tính liên tục, ý nghĩa hình học (tiếp tuyến), ý nghĩa vật lý (vận tốc tức thời), mô phỏng cát tuyến tiến về tiếp tuyến tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

Đọc bài học