Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Bảng công thức đầy đủ và phương pháp giải nhanh

Lý thuyết trọng tâm Bài 32 Toán 11 Kết nối tri thức: Đạo hàm của đa thức, căn thức, lượng giác, hàm mũ, lôgarit và hàm hợp; công thức giải nhanh phân thức, công cụ tra cứu đạo hàm tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

#Toán học#Toán 11#Đạo hàm#Quy tắc tính đạo hàm#Đạo hàm hàm hợp#Đạo hàm lượng giác#Đạo hàm hàm mũ#Đạo hàm logarit#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết19 mục

Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm

Trong Bài 31, chúng ta đã hiểu sâu sắc về bản chất của đạo hàm qua giới hạn số gia:

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Tuy nhiên, nếu hàm số có dạng phức tạp như f(x)=x3−2x+1x2+4f(x) = \frac{x^3 - 2x + 1}{\sqrt{x^2 + 4}} hay g(x)=e2xsin⁡(3x)g(x) = e^{2x} \sin(3x) mà phải dùng định nghĩa 3 bước để tính giới hạn thì sẽ vô cùng dài dòng và dễ nhầm lẫn.

May mắn thay, các nhà toán học đã xây dựng một hệ thống Các quy tắc và công thức đạo hàm chuẩn mực, cho phép chúng ta tính đạo hàm của bất kỳ biểu thức giải tích nào chỉ trong vài dòng ngắn ngủi!

BẢN ĐỒ CÔNG THỨC: HỆ THỐNG QUY TẮC ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm Đại số cơ bản

• (c)′=0(c)' = 0; (xα)′=αxα−1(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}
• (u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'
• (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
• (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

2. Đạo hàm Lượng giác

• (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x
• (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x
• (tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x
• (cot⁡x)′=−1sin⁡2x=−(1+cot⁡2x)(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)

3. Đạo hàm Mũ & Lôgarit

• (ex)′=ex(e^x)' = e^x; (ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x \ln a
• (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}; (log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}
• Nhớ nhân u′u' khi áp dụng cho hàm hợp!

4. Quy tắc Hàm hợp

• Với y=f(u)y = f(u) và u=u(x)u = u(x):
yx′=yu′⋅ux′\mathbf{y'_x = y'_u \cdot u'_x}
• Ví dụ: (sin⁡u)′=u′⋅cos⁡u(\sin u)' = u' \cdot \cos u.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

  1. Đạo hàm của hàm số hằng f(x)=2026f(x) = 2026 bằng bao nhiêu?
  2. Tính đạo hàm của f(x)=x4f(x) = x^4 và g(x)=xg(x) = x.
  3. Đạo hàm của hàm số y=sin⁡xy = \sin x tại x=0x = 0 bằng bao nhiêu?
  4. Nếu u(x)=2x+1u(x) = 2x + 1 thì đạo hàm u′(x)u'(x) bằng bao nhiêu?
  5. Tính đạo hàm của y=exy = e^x tại điểm x=1x = 1.
Mẹo hay

Đáp án nhanh:

  1. (2026)′=0(2026)' = 0.
  2. (x4)′=4x3(x^4)' = 4x^3; (x)′=1(x)' = 1.
  3. (sin⁡x)′=cos⁡x  ⟹  cos⁡(0)=1(\sin x)' = \cos x \implies \cos(0) = 1.
  4. u′(x)=2u'(x) = 2.
  5. (ex)′=ex  ⟹  e1=e≈2.718(e^x)' = e^x \implies e^1 = e \approx 2.718.

I. Bảng Đạo hàm của một số hàm số cơ bản

Hàm số cơ bản y=f(x)y = f(x) Đạo hàm tương ứng y′=f′(x)y' = f'(x) Điều kiện áp dụng
Hằng số: y=cy = c y′=0y' = 0 c∈Rc \in \mathbb{R}
Lũy thừa: y=xny = x^n y′=nxn−1y' = n x^{n-1} n∈N∗,n⩾2n \in \mathbb{N}^*, n \ge 2
Lũy thừa thực: y=xαy = x^\alpha y′=αxα−1y' = \alpha x^{\alpha - 1} x>0,α∈Rx > 0, \alpha \in \mathbb{R}
Căn bậc hai: y=xy = \sqrt{x} y′=12xy' = \frac{1}{2\sqrt{x}} x>0x > 0
Lượng giác sin: y=sin⁡xy = \sin x y′=cos⁡xy' = \cos x ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}
Lượng giác cos: y=cos⁡xy = \cos x y′=−sin⁡xy' = -\sin x ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}
Lượng giác tan: y=tan⁡xy = \tan x y′=1cos⁡2x=1+tan⁡2xy' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x x≠π2+kπx \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
Lượng giác cot: y=cot⁡xy = \cot x y′=−1sin⁡2x=−(1+cot⁡2x)y' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) x≠kπx \ne k\pi
Hàm số mũ e: y=exy = e^x y′=exy' = e^x ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}
Hàm số mũ cơ số a: y=axy = a^x y′=axln⁡ay' = a^x \ln a a>0,a≠1a > 0, a \ne 1
Hàm số ln: y=ln⁡xy = \ln x y′=1xy' = \frac{1}{x} x>0x > 0
Hàm số logarit cơ số a: y=log⁡axy = \log_a x y′=1xln⁡ay' = \frac{1}{x \ln a} x>0,a>0,a≠1x > 0, a > 0, a \ne 1

II. Các quy tắc tính đạo hàm Đại số (Tổng, Hiệu, Tích, Thương)

Giả sử u=u(x)u = u(x) và v=v(x)v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm trên khoảng xác định.

1. Đạo hàm của Tổng và Hiệu

(u+v)′=u′+v′(u + v)' = u' + v'(u−v)′=u′−v′(u - v)' = u' - v'

Mở rộng cho nn hàm số: (u1±u2±⋯±un)′=u1′±u2′±⋯±un′(u_1 \pm u_2 \pm \dots \pm u_n)' = u_1' \pm u_2' \pm \dots \pm u_n'.

2. Đạo hàm của Tích

(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
Ghi nhớ

Hệ quả quan trọng:

  • Nhân với hằng số cc: (c⋅u)′=c⋅u′(c \cdot u)' = c \cdot u'.
  • Tích của 3 hàm số: (uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'.

3. Đạo hàm của Thương

(uv)′=u′v−uv′v2(v(x)≠0)\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v(x) \ne 0)
Ghi nhớ

Hệ quả quan trọng:

  • Nghịch đảo: (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}.
  • Đặc biệt: Công thức giải nhanh phân thức bậc nhất trên bậc nhất:(ax+bcx+d)′=ad−bc(cx+d)2\mathbf{\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}}

III. Đạo hàm của Hàm hợp

1. Định lý đạo hàm hàm hợp

Cho hàm số y=f(u)y = f(u) với u=u(x)u = u(x). Nếu hàm số u(x)u(x) có đạo hàm theo xx là ux′u'_x và hàm số f(u)f(u) có đạo hàm theo uu là yu′y'_u, thì hàm hợp y=f(u(x))y = f(u(x)) có đạo hàm theo xx là:

yx′=yu′⋅ux′\mathbf{y'_x = y'_u \cdot u'_x}
Mẹo hay

Quy tắc bỏ túi: Khi tính đạo hàm của hàm hợp theo uu, công thức giữ nguyên dạng như hàm sơ cấp theo xx, nhưng BẮT BUỘC NHÂN THÊM u′u'!

2. Bảng đối chiếu song song: Hàm cơ bản vs Hàm hợp

Hàm số cơ bản xx Hàm hợp u=u(x)u = u(x)
(xn)′=nxn−1(x^n)' = n x^{n-1} (un)′=nun−1⋅u′(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'
(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}
(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x (sin⁡u)′=u′⋅cos⁡u(\sin u)' = u' \cdot \cos u
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x (cos⁡u)′=−u′⋅sin⁡u(\cos u)' = -u' \cdot \sin u
(tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} (tan⁡u)′=u′cos⁡2u(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}
(cot⁡x)′=−1sin⁡2x(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} (cot⁡u)′=−u′sin⁡2u(\cot u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}
(ex)′=ex(e^x)' = e^x (eu)′=u′⋅eu(e^u)' = u' \cdot e^u
(ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x \ln a (au)′=u′⋅auln⁡a(a^u)' = u' \cdot a^u \ln a
(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x} (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \frac{u'}{u}
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} (log⁡au)′=u′uln⁡a(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}

Công cụ trực quan: Bộ Tra cứu & Tính Đạo hàm Nhanh

Hãy chọn dạng hàm số để xem công thức mẫu, quy tắc bước làm và kết quả đạo hàm:

BỘ TRA CỨU ĐẠO HÀM TƯƠNG TÁC

y = a·xⁿ + b·x + c
Quy tắc: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (c·x)' = c, (hằng số)' = 0
Ví dụ: y = 3x⁴ - 5x² + 7x - 2
=> y' = 3·(4x³) - 5·(2x) + 7 = 12x³ - 10x + 7

IV. Các dạng toán điển hình có lời giải chi tiết

Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số đa thức và căn thức

Bài toán 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=4x5−2x3+12x2−7x+10y = 4x^5 - 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 7x + 10
b) y=(x2+1)(3x−2)y = (x^2 + 1)(3x - 2)
c) y=2x2+5x+3y = \sqrt{2x^2 + 5x + 3}

Lời giải: a) Áp dụng quy tắc cộng, trừ và lũy thừa:

y′=(4x5)′−(2x3)′+(12x2)′−(7x)′+(10)′y' = (4x^5)' - (2x^3)' + \left(\frac{1}{2}x^2\right)' - (7x)' + (10)'y′=4(5x4)−2(3x2)+12(2x)−7=20x4−6x2+x−7y' = 4(5x^4) - 2(3x^2) + \frac{1}{2}(2x) - 7 = 20x^4 - 6x^2 + x - 7

b) Cách 1 (Áp dụng công thức nhân (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'):

u=x2+1  ⟹  u′=2xu = x^2 + 1 \implies u' = 2xv=3x−2  ⟹  v′=3v = 3x - 2 \implies v' = 3y′=2x(3x−2)+(x2+1)(3)=6x2−4x+3x2+3=9x2−4x+3y' = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1)(3) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3

(Cách 2: Khai triển y=3x3−2x2+3x−2  ⟹  y′=9x2−4x+3y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 \implies y' = 9x^2 - 4x + 3).

c) Hàm hợp căn thức y=uy = \sqrt{u} với u=2x2+5x+3u = 2x^2 + 5x + 3:

u′=(2x2+5x+3)′=4x+5u' = (2x^2 + 5x + 3)' = 4x + 5

Áp dụng công thức (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}:

y′=4x+522x2+5x+3y' = \frac{4x + 5}{2\sqrt{2x^2 + 5x + 3}}

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ

Bài toán 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=2x−1x+3y = \frac{2x - 1}{x + 3}
b) y=x2−3x+2x−1y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}

Lời giải: a) Áp dụng công thức giải nhanh (ax+bcx+d)′=ad−bc(cx+d)2\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}: Với a=2,b=−1,c=1,d=3a = 2, b = -1, c = 1, d = 3:

ad−bc=2(3)−(−1)(1)=6+1=7ad - bc = 2(3) - (-1)(1) = 6 + 1 = 7

Suy ra:

y′=7(x+3)2y' = \frac{7}{(x + 3)^2}

b) Áp dụng công thức thương (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}:

u=x2−3x+2  ⟹  u′=2x−3u = x^2 - 3x + 2 \implies u' = 2x - 3v=x−1  ⟹  v′=1v = x - 1 \implies v' = 1y′=(2x−3)(x−1)−(x2−3x+2)(1)(x−1)2y' = \frac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 2)(1)}{(x - 1)^2}y′=(2x2−5x+3)−(x2−3x+2)(x−1)2=x2−2x+1(x−1)2=(x−1)2(x−1)2=1(∀x≠1)y' = \frac{(2x^2 - 5x + 3) - (x^2 - 3x + 2)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2} = 1 \quad (\forall x \ne 1)

(Nhận xét: Vì x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) nên y=x−2y = x - 2 với x≠1x \ne 1, do đó y′=1y' = 1).

Dạng 3: Đạo hàm hàm số lượng giác và hàm hợp

Bài toán 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=sin⁡(3x)+cos⁡(2x−π)y = \sin(3x) + \cos(2x - \pi)
b) y=tan⁡2(x)y = \tan^2(x)
c) y=x2cos⁡xy = x^2 \cos x

Lời giải: a) Áp dụng (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u' \cos u và (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u' \sin u:

(sin⁡3x)′=(3x)′⋅cos⁡(3x)=3cos⁡(3x)(\sin 3x)' = (3x)' \cdot \cos(3x) = 3\cos(3x)(cos⁡(2x−π))′=−(2x−π)′⋅sin⁡(2x−π)=−2sin⁡(2x−π)(\cos(2x - \pi))' = -(2x - \pi)' \cdot \sin(2x - \pi) = -2\sin(2x - \pi)

Vậy y′=3cos⁡(3x)−2sin⁡(2x−π)y' = 3\cos(3x) - 2\sin(2x - \pi).

b) Đây là hàm hợp dạng y=u2y = u^2 với u=tan⁡xu = \tan x:

y′=2u⋅u′=2tan⁡x⋅(tan⁡x)′=2tan⁡x⋅1cos⁡2x=2sin⁡xcos⁡3xy' = 2u \cdot u' = 2\tan x \cdot (\tan x)' = 2\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}

c) Dạng tích (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv':

y′=(x2)′cos⁡x+x2(cos⁡x)′=2xcos⁡x−x2sin⁡x=x(2cos⁡x−xsin⁡x)y' = (x^2)' \cos x + x^2 (\cos x)' = 2x\cos x - x^2 \sin x = x(2\cos x - x\sin x)

Dạng 4: Đạo hàm hàm số mũ và lôgarit

Bài toán 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=ex2−3xy = e^{x^2 - 3x}
b) y=ln⁡(2x+5)y = \ln(2x + 5)
c) y=3x⋅log⁡3xy = 3^x \cdot \log_3 x

Lời giải: a) Dạng y=euy = e^u với u=x2−3x  ⟹  u′=2x−3u = x^2 - 3x \implies u' = 2x - 3:

y′=u′eu=(2x−3)ex2−3xy' = u' e^u = (2x - 3) e^{x^2 - 3x}

b) Dạng y=ln⁡uy = \ln u với u=2x+5  ⟹  u′=2u = 2x + 5 \implies u' = 2:

y′=u′u=22x+5y' = \frac{u'}{u} = \frac{2}{2x + 5}

c) Dạng tích (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv':

u=3x  ⟹  u′=3xln⁡3u = 3^x \implies u' = 3^x \ln 3v=log⁡3x  ⟹  v′=1xln⁡3v = \log_3 x \implies v' = \frac{1}{x \ln 3}y′=(3xln⁡3)⋅log⁡3x+3x⋅1xln⁡3y' = (3^x \ln 3) \cdot \log_3 x + 3^x \cdot \frac{1}{x \ln 3}

Vì log⁡3x=ln⁡xln⁡3\log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3} nên số hạng đầu là 3xln⁡x3^x \ln x. Vậy:

y′=3x(ln⁡3⋅log⁡3x+1xln⁡3)y' = 3^x \left(\ln 3 \cdot \log_3 x + \frac{1}{x \ln 3}\right)

V. Trắc nghiệm Tự chấm: Luyện phản xạ (10 câu)

VI. Ứng dụng Thực tế: Chi phí Biên & Doanh thu Biên trong Kinh tế học

Trong kinh tế học lượng giác và quản trị kinh doanh hiện đại, đạo hàm xuất hiện dưới khái niệm cốt lõi: Đại lượng Biên (Marginal Analysis).

Bài toán Kinh tế học Thực tế:
Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử ước tính tổng chi phí (tính bằng triệu đồng) để sản xuất ra xx nghìn linh kiện mỗi tháng được mô hình hóa bởi hàm số bậc ba:
C(x)=0.01x3−0.3x2+15x+200(x⩾0)C(x) = 0.01 x^3 - 0.3 x^2 + 15 x + 200 \quad (x \ge 0) Trong đó: - C′(x)C'(x) được gọi là Chi phí biên (Marginal Cost), biểu thị chi phí ước tính tăng thêm để sản xuất thêm 11 đơn vị sản phẩm khi đang ở quy mô xx. - Số hạng tự do 200200 là chi phí cố định (mặt bằng, máy móc ban đầu).

1. Tìm hàm chi phí biên C′(x)C'(x).
2. Tính chi phí biên tại quy mô sản xuất x=10x = 10 (nghìn sản phẩm) và x=20x = 20 (nghìn sản phẩm).
3. Ở quy mô nào thì chi phí biên đạt giá trị nhỏ nhất (tức chi phí gia tăng cho một đơn vị sản phẩm mới là rẻ nhất)?
Mẹo hay

Phân tích kinh tế lượng:

  1. Chi phí biên là đạo hàm của hàm tổng chi phí:C′(x)=0.01⋅(3x2)−0.3⋅(2x)+15=0.03x2−0.6x+15(triệu đoˆˋng)C'(x) = 0.01 \cdot (3x^2) - 0.3 \cdot (2x) + 15 = 0.03 x^2 - 0.6 x + 15 \quad (\text{triệu đồng})
  2. Tính tại các mốc sản lượng:
    • Tại x=10x = 10: C′(10)=0.03(100)−0.6(10)+15=3−6+15=12C'(10) = 0.03(100) - 0.6(10) + 15 = 3 - 6 + 15 = 12 triệu đồng.
    • Tại x=20x = 20: C′(20)=0.03(400)−0.6(20)+15=12−12+15=15C'(20) = 0.03(400) - 0.6(20) + 15 = 12 - 12 + 15 = 15 triệu đồng.
  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai C′(x)=0.03x2−0.6x+15C'(x) = 0.03 x^2 - 0.6 x + 15: Đỉnh của parabol đạt tại:xmin=−b2a=−−0.62×0.03=0.60.06=10x_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0.6}{2 \times 0.03} = \frac{0.6}{0.06} = 10Tại quy mô x=10x = 10 nghìn sản phẩm, chi phí biên đạt mức tối ưu thấp nhất là 1212 triệu đồng/đơn vị. Sản xuất ít hơn hoặc nhiều hơn mốc này thì chi phí cận biên trên mỗi đơn vị làm thêm đều sẽ cao hơn!
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Bản chất giải tích và ứng dụng tiếp tuyến

Lý thuyết trọng tâm Bài 31 Toán 11 Kết nối tri thức: Định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn số gia, mối liên hệ với tính liên tục, ý nghĩa hình học (tiếp tuyến), ý nghĩa vật lý (vận tốc tức thời), mô phỏng cát tuyến tiến về tiếp tuyến tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

Đọc bài học