Bài tập cuối chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Chúc mừng các em đã hoàn thành toàn bộ chuyên đề Chương IV: Quan hệ song song trong không gian (Chương trình Toán 11 GDPT 2018 — Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)!

Hình học không gian là phần kiến thức kích thích trí tưởng tượng và tư duy logic hình học mạnh mẽ nhất. Từ những tiên đề cơ bản ban đầu, các em đã xây dựng nên cả một hệ thống định lý vững chắc để khảo sát các mối quan hệ song song giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 3 chiều. Bài học tổng kết này sẽ xâu chuỗi toàn bộ phương pháp giải toán, giúp các em tự tin chinh phục mọi bài toán hình không gian trong các đề thi định kỳ và kỳ thi Tốt nghiệp THPT!

I. Bảng So sánh 3 Cấp độ Quan hệ Song song trong Không gian

II. Phòng thí nghiệm 3D Tương tác Tổng ôn Toàn bộ Chương IV

Hãy bấm các nút dưới đây để chuyển đổi linh hoạt giữa 4 mô hình hình học không gian kinh điển: Hình tứ diện, Hình chóp tứ giác, Hình lăng trụ tam giác và Hình hộp chữ nhật. Dùng chuột hoặc ngón tay xoay mô hình đa chiều để kiểm chứng các quan hệ song song trong không gian!

III. Phân loại 6 Dạng toán trọng tâm Tổng ôn Chương IV

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Bài toán 1:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$. Gọi $I$ là điểm nằm trên cạnh $SC$ ($I \neq S, C$). a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.
b) Tìm giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(ABI)$.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm $(SAD) \cap (SBC)$:

• Ta có $S$ là điểm chung thứ nhất.
• Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$: hai cạnh bên $AD$ và $BC$ không song song nên cắt nhau tại điểm $E$ ($E = AD \cap BC$).
  Vì $E \in AD \subset (SAD) \Rightarrow E \in (SAD)$.
  Vì $E \in BC \subset (SBC) \Rightarrow E \in (SBC)$.
  Suy ra $E$ là điểm chung thứ hai.
  Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SE$.

b) Tìm giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(ABI)$:

• Xét mặt phẳng phụ $(SCD)$ chứa đường thẳng $SD$.
• Tìm giao tuyến của $(SCD)$ và $(ABI)$:
  • Ta có $I \in SC \subset (SCD)$ và $I \in (ABI) \Rightarrow I$ là điểm chung thứ nhất.
  • Trong mặt phẳng $(SCD)$ mở rộng: đường thẳng $AB$ cắt cạnh $CD$ tại điểm $F$ ($F = AB \cap CD$).
    Vì $F \in CD \subset (SCD)$ và $F \in AB \subset (ABI) \Rightarrow F$ là điểm chung thứ hai.
    Vậy $(SCD) \cap (ABI) = FI$.
• Trong mặt phẳng $(SCD)$: đoạn thẳng $FI$ cắt cạnh bên $SD$ tại điểm $K$ ($K = FI \cap SD$).
  Vì $K \in FI \subset (ABI)$ nên $K \in (ABI)$.
  Vậy $K$ chính là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(ABI)$.

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài toán 2:

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$. a) Chứng minh rằng đường thẳng $O_1 O_2$ song song với các mặt phẳng $(ADF)$ và $(BCE)$.
b) Gọi $M, N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABD$ và $ABE$. Chứng minh rằng $MN \parallel (CDEF)$.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh $O_1 O_2 \parallel (ADF)$ và $(BCE)$:

• Trong tam giác $ACE$: $O_1$ là trung điểm của $AC$, $O_2$ là trung điểm của $AE$.
  Suy ra $O_1 O_2$ là đường trung bình của $\Delta ACE \Rightarrow O_1 O_2 \parallel CE$.
• Vì $CE \subset (BCE)$ và $O_1 O_2 \not\subset (BCE)$ nên:$$O_1 O_2 \parallel (BCE)$$
• Mặt khác, trong tam giác $BDF$: $O_1$ là trung điểm $BD$, $O_2$ là trung điểm $BF$ $\Rightarrow O_1 O_2 \parallel DF$.
  Vì $DF \subset (ADF)$ và $O_1 O_2 \not\subset (ADF)$ nên:$$O_1 O_2 \parallel (ADF)$$

b) Chứng minh $MN \parallel (CDEF)$:

• Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng chung $AB$.
• Trong tam giác $ABD$: điểm $M$ là trọng tâm $\Rightarrow \frac{IM}{ID} = \frac{1}{3}$.
• Trong tam giác $ABE$: điểm $N$ là trọng tâm $\Rightarrow \frac{IN}{IE} = \frac{1}{3}$.
• Trong tam giác $IDE$: ta có $\frac{IM}{ID} = \frac{IN}{IE} = \frac{1}{3}$. Theo định lý Ta-lét đảo:$$MN \parallel DE$$
• Vì $DE \subset (CDEF)$ và $MN \not\subset (CDEF)$ nên suy ra:$$MN \parallel (CDEF)$$

Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Bài toán 3:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, SC$. a) Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt đáy $(ABCD)$.
b) Gọi $I$ là trung điểm của $SD$. Chứng minh rằng tứ giác $MNIP$ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh $(MNP) \parallel (ABCD)$:

• Trong tam giác $SAB$: $M, N$ là trung điểm $SA, SB \Rightarrow MN$ là đường trung bình $\Rightarrow MN \parallel AB$.
  Vì $AB \subset (ABCD) \Rightarrow MN \parallel (ABCD)$ (1).
• Trong tam giác $SBC$: $N, P$ là trung điểm $SB, SC \Rightarrow NP$ là đường trung bình $\Rightarrow NP \parallel BC$.
  Vì $BC \subset (ABCD) \Rightarrow NP \parallel (ABCD)$ (2).
• Xét mặt phẳng $(MNP)$: chứa hai đường thẳng $MN$ và $NP$ cắt nhau tại $N$.
  Từ (1) và (2) suy ra $(MNP) \parallel (ABCD)$.

b) Chứng minh $MNIP$ là hình bình hành:

• Trong tam giác $SAD$: $M$ là trung điểm $SA$, $I$ là trung điểm $SD \Rightarrow MI \parallel AD$ và $MI = \frac{1}{2}AD$.
• Ta có $MN \parallel AB$ và $MN = \frac{1}{2}AB$; $IP \parallel CD$ và $IP = \frac{1}{2}CD$.
  Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$.
  Suy ra $MN \parallel IP$ và $MN = IP = \frac{1}{2}AB$.
  Tứ giác $MNIP$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên $MNIP$ là một hình bình hành.

IV. Đề Trắc nghiệm Tổng ôn Toàn bộ Chương IV (12 câu)

V. Lời kết và Hướng dẫn học tiếp

Chúc mừng các em đã chinh phục thành công trọn vẹn Chương IV: Quan hệ song song trong không gian!

Năng lực tư duy 3D và phương pháp dựng hình không gian mà các em đã làm chủ trong chương này chính là chìa khóa mở đường trực tiếp cho:

• Học kỳ 2 Lớp 11: Quan hệ vuông góc trong không gian (Đường thẳng vuông góc mặt phẳng, Hai mặt phẳng vuông góc, Khoảng cách và Thể tích khối đa diện).
• Hình học Lớp 12: Hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian (Giải tích không gian bằng vectơ và tọa độ).