Bài 11. Hai đường thẳng song song

Chào mừng các em tiếp tục hành trình khám phá thế giới Hình học không gian 3D cùng Bài 11: Hai đường thẳng song song!

Trong hình học phẳng, hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chắc chắn phải song song với nhau. Nhưng trong không gian ba chiều:

• Hãy nhìn lên trần nhà: một mép tường nằm ngang ở trần và một mép chân tường ở phía đối diện chạy theo hướng vuông góc không bao giờ gặp nhau, nhưng chúng cũng không hề song song!
• Hai chiếc máy bay đang bay trên bầu trời theo hai hướng chéo nhau ở hai độ cao khác nhau: dù đường bay của chúng nhìn trên bản đồ 2D có vẻ cắt nhau, nhưng trong không gian 3D chúng lướt qua nhau an toàn mà không va chạm.

Đó chính là hiện tượng Hai đường thẳng chéo nhau — một nét đặc thù chỉ có trong không gian 3 chiều! Bài học này sẽ giúp các em phân biệt rõ ràng các vị trí tương đối và làm chủ định lý ba đường giao tuyến kỳ diệu.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Phản xạ định nghĩa: Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng có nhất thiết phải song song với nhau không?
2. Trong tứ diện: Trong tứ diện $ABCD$, cặp cạnh $AB$ và $CD$ có vị trí tương đối là gì?
3. Tính chất bắc cầu: Nếu $a \parallel b$ và $b \parallel c$ thì quan hệ giữa $a$ và $c$ là gì?
4. Hình lập phương: Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, đường thẳng $AA'$ và $BC$ có cắt nhau không? Chúng có song song không?
5. Số đường song song: Qua một điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $d$, ta có thể dựng được bao nhiêu đường thẳng song song với $d$?

Mẹo hay

Giải đáp khởi động:

1. Không nhất thiết! Chúng có thể chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng).
2. Chéo nhau (vì 4 điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng).
3. $a$ song song với $c$ (hoặc $a$ trùng $c$ nếu không xét phân biệt).
4. Không cắt nhau và cũng không song song — chúng là hai đường thẳng chéo nhau vuông góc.
5. Duy nhất 1 đường thẳng (Tiên đề Ơ-clit mở rộng trong không gian).

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ trong không gian. Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả $a$ và $b$ (Hai đường thẳng đồng phẳng)

• $a$ cắt $b$: $a$ và $b$ có đúng một điểm chung duy nhất: $a \cap b = \{M\}$.
• $a$ song song với $b$ ($a \parallel b$): $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ và không có điểm chung nào:$$a \parallel b \Leftrightarrow \begin{cases} a \subset (P), \; b \subset (P) \\ a \cap b = \emptyset \end{cases}$$

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả $a$ và $b$ (Hai đường thẳng không đồng phẳng)

• $a$ và $b$ chéo nhau: Hai đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó chúng cũng không có bất kỳ điểm chung nào.

Lưu ý / Cảnh báo

PHÂN BIỆT RÕ RÀNG:

• Trong mặt phẳng: Không cắt nhau $\Leftrightarrow$ Song song.
• Trong không gian: Không cắt nhau $\Leftrightarrow$ Song song HOẶC Chéo nhau!

II. Mô hình 3D Tương tác: Đường thẳng Song song và Chéo nhau

Dưới đây là mô hình không gian 3D trực quan. Các em hãy xoay khối hình để quan sát hai đường thẳng màu đỏ và màu xanh lục: khi nào chúng nằm trên cùng một mặt phẳng (song song) và khi nào chúng lướt qua nhau ở hai tầng không gian khác nhau (chéo nhau)!

III. Các Tính chất của Hai đường thẳng song song

Quan trọng

Định lý 1 (Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song):
Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Quan trọng

Định lý 2 (Tính chất bắc cầu):
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau:

$$\begin{cases} a \parallel c \\ b \parallel c \\ a \neq b \end{cases} \implies a \parallel b$$

IV. Định lý Ba đường giao tuyến (Định lý mái nhà)

Đây là định lý có ứng dụng mạnh mẽ nhất trong việc tìm giao tuyến và thiết diện của hình chóp:

Quan trọng

Định lý 3 (Định lý ba đường giao tuyến):
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song:

$$\begin{cases} (P) \cap (Q) = d_1 \\ (Q) \cap (R) = d_2 \\ (R) \cap (P) = d_3 \end{cases} \implies \left[\begin{matrix} d_1, d_2, d_3 \text{ đồng quy tại một điểm } O \\ d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \end{matrix}\right.$$

Ghi nhớ

Hệ quả ứng dụng thực hành:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song $a$ và $b$ ($a \subset (P), b \subset (Q), a \parallel b$), thì giao tuyến $d$ của $(P)$ và $(Q)$ (nếu có) sẽ song song với $a$ và $b$:

$$d = (P) \cap (Q) \implies d \parallel a \parallel b$$

V. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Ghi nhớ

Các phương pháp chứng minh thường dùng:

1. Dùng tính chất hình học phẳng: Tìm một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó, sau đó áp dụng định lý Ta-lét đảo, tính chất đường trung bình trong tam giác/hình thang, hoặc hai cạnh đối của hình bình hành.
2. Dùng tính chất bắc cầu: Chứng minh cả hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba ($a \parallel c$ và $b \parallel c \Rightarrow a \parallel b$).
3. Dùng định lý giao tuyến: Tìm hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng đó và áp dụng hệ quả định lý ba giao tuyến.

Ví dụ 1:

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, CD, BC, AD, AC, BD$. a) Chứng minh tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành.
b) Chứng minh ba đoạn thẳng $MN, PQ, RS$ cùng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác $ABC$:

• $M$ là trung điểm của $AB$, $P$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow MP$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.
• Suy ra $MP \parallel AC$ và $MP = \frac{1}{2}AC$.

Xét tam giác $ACD$:

• $Q$ là trung điểm của $AD$, $N$ là trung điểm của $CD$ $\Rightarrow QN$ là đường trung bình của $\Delta ACD$.
• Suy ra $QN \parallel AC$ và $QN = \frac{1}{2}AC$.

Từ hai điều trên ta có:

Tứ giác $MPNQ$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên $MPNQ$ là hình bình hành.

b) Vì $MPNQ$ là hình bình hành nên hai đường chéo $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm $G$ của mỗi đoạn.
Chứng minh hoàn toàn tương tự cho tứ giác $MQNR$ hoặc $PRQS$, ta cũng có hình bình hành và nhận $RS$ đi qua đúng trung điểm $G$ đó.
Vậy ba đoạn thẳng $MN, PQ, RS$ đồng quy tại điểm $G$ và điểm $G$ là trung điểm của mỗi đoạn (điểm $G$ được gọi là trọng tâm của tứ diện $ABCD$).

Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

Ghi nhớ

Phương pháp: Để tìm giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ khi biết $a \subset (P), b \subset (Q)$ với $a \parallel b$:

1. Tìm một điểm chung $M \in (P) \cap (Q)$.
2. Theo hệ quả định lý ba giao tuyến, giao tuyến $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $a$ và $b$.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm $(SAB) \cap (SCD)$:

• Ta có $S$ là điểm chung: $S \in (SAB) \cap (SCD)$.
• Mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $AB$.
• Mặt phẳng $(SCD)$ chứa đường thẳng $CD$.
• Vì đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$.
  Theo hệ quả định lý giao tuyến, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d_1$ đi qua $S$ và song song với $AB$ (và $CD$).

b) Tìm $(SAD) \cap (SBC)$:

• Điểm $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng.
• Mặt phẳng $(SAD)$ chứa đường thẳng $AD$.
• Mặt phẳng $(SBC)$ chứa đường thẳng $BC$.
• Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$.
  Suy ra giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $d_2$ đi qua $S$ và song song với $AD$ (và $BC$).

Dạng 3: Xác định thiết diện song song với một đường thẳng

Ví dụ 3:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB = 2CD$. Gọi $M$ là một điểm thuộc cạnh bên $SA$ sao cho $SM = 2MA$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $AB$ và $SC$. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$.

Lời giải chi tiết:

• Điểm $M \in (\alpha) \cap (SAB)$ và $(\alpha) \parallel AB$:
  Trong mặt phẳng $(SAB)$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $SB$ tại điểm $N$. Ta có đoạn giao tuyến $MN \parallel AB$.
• Điểm $N \in (\alpha) \cap (SBC)$ và $(\alpha) \parallel SC$:
  Trong mặt phẳng $(SBC)$, qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $SC$ cắt $BC$ tại điểm $P$. Ta có đoạn giao tuyến $NP \parallel SC$.
• Điểm $P \in (\alpha) \cap (ABCD)$ và $(\alpha) \parallel AB \parallel CD$:
  Trong mặt đáy $(ABCD)$, qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ (và $AB$) cắt $AD$ tại điểm $Q$. Ta có đoạn giao tuyến $PQ \parallel CD$.
• Nối $Q$ với $M$: đoạn thẳng $QM$ nằm trong mặt bên $(SAD)$.
• Khép kín các đoạn giao tuyến: $MN, NP, PQ, QM$ tạo thành tứ giác $MNPQ$.
  Vì $MN \parallel AB$ và $PQ \parallel AB \Rightarrow MN \parallel PQ$.
  Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ là hình thang $MNPQ$.

VI. Trắc nghiệm Tự chấm Ôn luyện Kiến thức (10 câu)

VII. Bài tập Tự luyện & Thử thách Mở rộng

Bài tập Tự luyện

1. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua trung điểm $M$ của $AB$ và song song với $CD$ và $BG$.
   Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$.

2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD = 2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$.
   a) Chứng minh rằng $OM$ song song với mặt phẳng $(SBC)$.
   b) Tìm giao điểm của đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $(MAC)$.