Bài 13. Hai mặt phẳng song song

Chào mừng các em đến với cấu trúc không gian đa tầng quen thuộc và ấn tượng nhất: Hai mặt phẳng song song!

Hãy nhìn vào các công trình kiến trúc hiện đại:

• Các tầng sàn của một tòa nhà chọc trời vươn cao trong không trung: tầng 1, tầng 2, tầng 3,... là các mặt phẳng song song cách đều nhau.
• Hai mặt bìa của một cuốn sách đóng kín hoặc các trang sách khi xếp gọn.
• Một chiếc bánh kem sinh nhật nhiều tầng hình lăng trụ.

Trong bài học trước, chúng ta đã biết cách dựng một đường thẳng song song với một mặt phẳng. Bây giờ, nếu cả một mặt phẳng bay lơ lửng song song hoàn hảo với một mặt phẳng khác thì điều kiện cần và đủ là gì? Chúng ta sẽ khám phá ngay sau đây!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Khái niệm: Hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì có vị trí tương đối là gì?
2. Dấu hiệu: Nếu $(\alpha)$ chứa một đường thẳng $a \parallel (\beta)$ thì $(\alpha)$ đã song song với $(\beta)$ chưa?
3. Hình lập phương: Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, mặt phẳng đáy trên $(A'B'C'D')$ và mặt phẳng đáy dưới $(ABCD)$ có song song không?
4. Mặt bên lăng trụ: Các mặt bên của một hình lăng trụ bất kỳ luôn là hình gì?
5. Số mặt phẳng: Qua một điểm $M$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$, có bao nhiêu mặt phẳng song song với $(P)$?

Mẹo hay

Giải đáp khởi động:

1. Chắc chắn là song song với nhau! (Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt chỉ có 2 vị trí: cắt nhau hoặc song song).
2. Chưa đủ! Cần $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(\beta)$ thì mới kết luận được.
3. Song song hoàn hảo với nhau.
4. Luôn luôn là các hình bình hành.
5. Duy nhất 1 mặt phẳng.

I. Định nghĩa và Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song

1. Định nghĩa

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung:

2. Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song (Định lý 1)

Quan trọng

Định lý 1 (Điều kiện để hai mặt phẳng song song):
Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$, và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha)$ song song với $(\beta)$:

$$\begin{cases} a \subset (\alpha), \; b \subset (\alpha) \\ a \cap b = \{I\} \\ a \parallel (\beta), \; b \parallel (\beta) \end{cases} \implies (\alpha) \parallel (\beta)$$

II. Mô hình 3D Tương tác: Hình Lăng trụ và Hai mặt phẳng song song

Khối hình 3D dưới đây mô phỏng một Hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ với hai mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $(A'B'C')$ song song với nhau. Các em hãy xoay mô hình để thấy rõ các mặt bên là những hình bình hành đứng nối hai đáy!

III. Các Tính chất cơ bản của Hai mặt phẳng song song

Quan trọng

Định lý 2 (Sự tồn tại và duy nhất):
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Quan trọng

Định lý 3 (Giao tuyến của mặt phẳng thứ ba):
Nếu hai mặt phẳng song song cùng bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến tạo thành song song với nhau:

$$\begin{cases} (\alpha) \parallel (\beta) \\ (\gamma) \cap (\alpha) = a \\ (\gamma) \cap (\beta) = b \end{cases} \implies a \parallel b$$

Quan trọng

Định lý 4 (Định lý Ta-lét trong không gian):
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ:

$$\frac{A_1 B_1}{A_2 B_2} = \frac{B_1 C_1}{B_2 C_2} = \frac{A_1 C_1}{A_2 C_2}$$

IV. Hình lăng trụ và Hình hộp

1. Hình lăng trụ

• Định nghĩa: Hình gồm hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song $(A_1 A_2 \dots A_n)$ và $(A'_1 A'_2 \dots A'_n)$, cùng với các mặt bên là những hình bình hành $A_i A_{i+1} A'_{i+1} A'_i$ được gọi là hình lăng trụ $A_1 A_2 \dots A_n.A'_1 A'_2 \dots A'_n$.
• Tính chất đặc trưng:
  • Các cạnh bên song song và bằng nhau từng đôi một: $A_1 A'_1 \parallel A_2 A'_2 \parallel \dots$ và $A_1 A'_1 = A_2 A'_2 = \dots$
  • Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
  • Các mặt bên đều là hình bình hành.

2. Hình hộp

• Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
• Trong hình hộp, tất cả $6$ mặt đều là các hình bình hành.
• Bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (gọi là tâm của hình hộp).

V. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Ghi nhớ

Phương pháp: Để chứng minh $(\alpha) \parallel (\beta)$:

1. Tìm trong $(\alpha)$ hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $I$.
2. Chứng minh $a \parallel (\beta)$ và $b \parallel (\beta)$ (bằng cách chỉ ra $a \parallel a'$ và $b \parallel b'$ với $a', b' \subset (\beta)$).
3. Kết luận $(\alpha) \parallel (\beta)$.

Ví dụ 1:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$. Chứng minh rằng mặt phẳng $(OMN)$ song song với mặt phẳng $(SBC)$.

Lời giải chi tiết:

• Trong tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm của $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ là trung điểm của $SA$.
  Suy ra $OM$ là đường trung bình của $\Delta SAC \Rightarrow OM \parallel SC$.
  Vì $SC \subset (SBC)$ và $OM \not\subset (SBC) \Rightarrow OM \parallel (SBC)$ (1).
• Trong hình bình hành $ABCD$: $O$ là trung điểm của $BD$, $N$ là trung điểm của $CD$.
  Suy ra $ON$ là đường trung bình của $\Delta BCD \Rightarrow ON \parallel BC$.
  Vì $BC \subset (SBC)$ và $ON \not\subset (SBC) \Rightarrow ON \parallel (SBC)$ (2).
• Xét mặt phẳng $(OMN)$:
  • Chứa hai đường thẳng $OM$ và $ON$ cắt nhau tại $O$.
  • $OM \parallel (SBC)$ và $ON \parallel (SBC)$.
    Từ (1) và (2) suy ra $(OMN) \parallel (SBC)$.

Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một mặt phẳng

Ví dụ 2:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M$ trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(SAB)$. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$.

Lời giải chi tiết:

• Vì $(\alpha) \parallel (SAB)$ nên $(\alpha)$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(SAB)$, cụ thể là $(\alpha) \parallel SA$ và $(\alpha) \parallel AB$.
• Trong mặt phẳng $(SAC)$: qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ cắt $AC$ tại $P$. Ta có đoạn giao tuyến $MP \parallel SA$.
• Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$: qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ (và $CD$) cắt $BC$ tại $Q$ và cắt $AD$ tại $R$. Ta có đoạn giao tuyến $QR \parallel AB$.
• Trong mặt phẳng $(SBC)$: nối $M$ với $Q$, ta có đoạn giao tuyến $MQ$ (với $MQ \parallel SB$).
• Trong mặt phẳng $(SAD)$: qua $R$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ cắt $SD$ tại $N$. Ta có đoạn giao tuyến $RN \parallel SA$.
• Trong mặt phẳng $(SCD)$: nối $M$ với $N$, ta có đoạn giao tuyến $MN \parallel CD$.
• Khép kín các đoạn giao tuyến: $MQ, QR, RN, NM$ tạo thành hình thang $MQRN$.
  Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ là hình thang $MQRN$.

VI. Trắc nghiệm Tự chấm Ôn luyện Kiến thức (10 câu)

VII. Bài tập Tự luyện & Thử thách Mở rộng

Bài tập Tự luyện

1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$.
   Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$.
   a) Chứng minh rằng mặt phẳng $(BMD)$ cắt hình chóp theo một thiết diện là hình gì?
   b) Mặt phẳng qua $M$ song song với $(SBD)$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

2. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $I, J, K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC, ACC', A'B'C'$.
   Chứng minh rằng mặt phẳng $(IJK)$ song song với mặt phẳng $(BB'C'C)$.