Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Chào mừng các em đến với bài học then chốt tiếp theo của Hình học không gian 11: Đường thẳng và mặt phẳng song song!

Hãy quan sát thế giới xung quanh:

• Một chiếc xà đơn thể thao được gắn nằm ngang song song với nền sân tập.
• Một thanh ray tàu điện trên cao chạy song song với mặt đường nhựa phía dưới.
• Mép trên của một bức tranh treo tường song song với sàn nhà.

Làm thế nào để các kỹ sư xây dựng khẳng định chắc chắn rằng một thanh dầm thép không bao giờ đâm xiên vào mặt sàn (tức là song song hoàn hảo với mặt phẳng) mà không cần phải kéo dài vô tận cả hai đối tượng để kiểm tra? Câu trả lời nằm ở dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng mà chúng ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Số điểm chung: Nếu đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$, số điểm chung của chúng là bao nhiêu?
2. Dấu hiệu nhận biết: Để chứng minh đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$, ta cần tìm một đường thẳng $d'$ thỏa mãn những điều kiện gì?
3. Mặt đáy hình chóp: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Đoạn thẳng $AB$ có song song với mặt phẳng $(SCD)$ không?
4. Đường thẳng trên mặt phẳng: Nếu $d \parallel (\alpha)$, thì $d$ có song song với mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ hay không?
5. Giao tuyến: Nếu mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $d$ (với $d \parallel (\alpha)$) cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $c$, thì $c$ có quan hệ gì với $d$?

Mẹo hay

Giải đáp khởi động:

1. Không có điểm chung nào ($d \cap (\alpha) = \emptyset$).
2. Tìm $d'$ nằm trong $(\alpha)$ ($d' \subset (\alpha)$) sao cho $d \parallel d'$ và $d$ không nằm trong $(\alpha)$.
3. Có! Vì $AB \parallel CD$ mà $CD \subset (SCD)$ và $AB \not\subset (SCD) \Rightarrow AB \parallel (SCD)$.
4. Không! $d$ chỉ song song với các đường thẳng trong $(\alpha)$ cùng phương với nó, còn đối với các đường thẳng khác trong $(\alpha)$, $d$ sẽ chéo nhau.
5. Giao tuyến $c$ bắt buộc phải song song với $d$ ($c \parallel d$).

I. Vị trí tương đối của Đường thẳng và Mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Có ba vị trí tương đối xảy ra:

II. Mô hình 3D Tương tác: Đường thẳng song song Mặt phẳng

Mô hình 3D dưới đây mô phỏng một hình chóp $S.ABCD$ với mặt đáy $(ABCD)$ và đoạn thẳng nối trung điểm $MN$. Các em hãy rê chuột/chạm để xoay mô hình và quan sát: đường thẳng màu đỏ $MN$ song song với đường thẳng màu xanh lục $AB$, từ đó $MN$ luôn bay lơ lửng song song với mặt đáy $(ABCD)$ dù ta nhìn từ bất kỳ góc độ nào!

III. Dấu hiệu nhận biết và Tính chất cốt lõi

1. Dấu hiệu nhận biết (Định lý 1)

Quan trọng

Định lý 1 (Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng):
Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và $d$ song song với một đường thẳng $d'$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d$ song song với $(\alpha)$:

$$\begin{cases} d \not\subset (\alpha) \\ d' \subset (\alpha) \\ d \parallel d' \end{cases} \implies d \parallel (\alpha)$$

2. Các tính chất quan trọng (Định lý 2 & Định lý 3)

Quan trọng

Định lý 2 (Định lý giao tuyến song song):
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$. Nếu mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $a$ và cắt mặt phẳng $(\alpha)$ theo giao tuyến $b$, thì giao tuyến $b$ song song với $a$:

$$\begin{cases} a \parallel (\alpha) \\ a \subset (\beta) \\ (\beta) \cap (\alpha) = b \end{cases} \implies b \parallel a$$

Quan trọng

Định lý 3 (Mặt phẳng chứa một đường và song song đường kia):
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

IV. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Ghi nhớ

Quy trình 3 bước chuẩn:

• Bước 1: Xác định đường thẳng $d$ cần chứng minh và mặt phẳng mục tiêu $(\alpha)$.
• Bước 2: Tìm trong mặt phẳng $(\alpha)$ một đường thẳng $d'$ thích hợp (thường là cạnh của tam giác, đường chéo hình bình hành,...).
• Bước 3: Chứng minh $d \parallel d'$ (dùng đường trung bình, Ta-lét đảo, hình bình hành) và chỉ ra $d \not\subset (\alpha)$. Kết luận $d \parallel (\alpha)$.

Ví dụ 1:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SD$. a) Chứng minh rằng $MN \parallel (ABCD)$.
b) Chứng minh rằng $OM \parallel (SBC)$.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh $MN \parallel (ABCD)$:

• Xét tam giác $SAD$: $M$ là trung điểm của $SA$, $N$ là trung điểm của $SD$ $\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta SAD$.
• Suy ra $MN \parallel AD$.
• Ta có:$$\begin{cases} MN \parallel AD \\ AD \subset (ABCD) \\ MN \not\subset (ABCD) \end{cases} \implies MN \parallel (ABCD)$$

b) Chứng minh $OM \parallel (SBC)$:

• Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$: $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$.
• Xét tam giác $SAC$:
  • $M$ là trung điểm của $SA$.
  • $O$ là trung điểm của $AC$.
  • Suy ra $MO$ là đường trung bình của tam giác $SAC \Rightarrow MO \parallel SC$.
• Ta có:$$\begin{cases} MO \parallel SC \\ SC \subset (SBC) \\ MO \not\subset (SBC) \end{cases} \implies MO \parallel (SBC)$$

Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một đường thẳng

Ví dụ 2:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là một điểm thuộc miền trong của đoạn thẳng $SB$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với hai đường thẳng $AB$ và $SC$. a) Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$.
b) Thiết diện là hình gì?

Lời giải chi tiết:

a) Các bước dựng thiết diện:

• Vì $(\alpha) \parallel AB$ và $M \in (\alpha) \cap (SAB)$:
  Áp dụng Định lý 2, giao tuyến của $(\alpha)$ với $(SAB)$ đi qua $M$ và song song với $AB$. Đường thẳng này cắt $SA$ tại $P$. Ta được đoạn giao tuyến $PM \parallel AB$.
• Vì $(\alpha) \parallel SC$ và $M \in (\alpha) \cap (SBC)$:
  Giao tuyến của $(\alpha)$ với $(SBC)$ đi qua $M$ và song song với $SC$. Đường thẳng này cắt $BC$ tại $Q$. Ta được đoạn giao tuyến $MQ \parallel SC$.
• Vì $(\alpha) \parallel AB \parallel CD$ và $Q \in (\alpha) \cap (ABCD)$:
  Giao tuyến của $(\alpha)$ với $(ABCD)$ đi qua $Q$ và song song với $AB$ (và $CD$). Đường thẳng này cắt $AD$ tại $R$. Ta được đoạn giao tuyến $QR \parallel CD$.
• Nối $R$ với $P$: đoạn thẳng $RP$ nằm trên mặt phẳng $(SAD)$.
  Khép kín các đoạn giao tuyến, ta được thiết diện là tứ giác $PMQR$.

b) Xác định hình dạng:

• Ta có $PM \parallel AB$ và $QR \parallel AB \Rightarrow PM \parallel QR$.
  Vậy thiết diện $PMQR$ là một hình thang (với hai đáy là $PM$ và $QR$).

V. Trắc nghiệm Tự chấm Ôn luyện Kiến thức (10 câu)

VI. Bài tập Tự luyện & Thử thách Mở rộng

Bài tập Tự luyện

1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.
   Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD, SA$.
   a) Chứng minh rằng $MN \parallel (SBC)$ và $SB \parallel (MNP)$.
   b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với mặt phẳng $(SAD)$.

2. Cho tứ diện $ABCD$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AM = 2MD$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $AB$ và $CD$.
   Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ và tính tỉ số diện tích thiết diện so với diện tích mặt tương ứng.