Bài 14. Phép chiếu song song

Chào mừng các em đến với bài học khép lại toàn bộ lý thuyết của Chương IV: Quan hệ song song trong không gian: Phép chiếu song song!

Hãy quan sát bóng của các vật thể dưới ánh nắng mặt trời:

• Vì Mặt Trời ở khoảng cách vô cùng xa Trái Đất, các tia sáng chiếu tới mặt đất được coi là các đường thẳng song song với nhau.
• Bóng của một cây cọc thẳng in trên sân là một đoạn thẳng; bóng của hai hàng rào song song in trên mặt đường cũng là hai vạch song song.
• Bóng của một chiếc đĩa tròn nghiêng đổ xuống nền nhà vẹt thành một hình elip mềm mại.
• Khi một họa sĩ hay kỹ sư kiến trúc vẽ một ngôi nhà 3D lên mặt giấy 2D, họ đang sử dụng chính xác các quy tắc của Phép chiếu song song.

Bài học này sẽ làm sáng tỏ bản chất toán học của quá trình biến đổi từ thế giới 3 chiều sang mặt phẳng 2 chiều!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Phương chiếu: Nếu phương chiếu $\Delta$ song song với mặt phẳng chiếu $(\alpha)$ thì có thực hiện phép chiếu song song được không?
2. Hình chiếu của trung điểm: Phép chiếu song song có biến trung điểm của một đoạn thẳng thành trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu không?
3. Hình chiếu của góc vuông: Hình chiếu song song của một tam giác vuông có nhất thiết phải là tam giác vuông không?
4. Hình biểu diễn: Một hình vuông trong không gian thường được vẽ thành hình gì trên mặt phẳng trang giấy?
5. Điểm trùng: Khi nào thì hình chiếu của hai điểm phân biệt lại trùng nhau?

Mẹo hay

Giải đáp khởi động:

1. Không thể! Phương chiếu $\Delta$ bắt buộc phải cắt mặt phẳng chiếu $(\alpha)$ ($\Delta \not\parallel (\alpha)$) thì đường thẳng chiếu mới cắt được mặt phẳng tại một điểm duy nhất.
2. Có! Vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ số của các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng (tỉ số $1:1$ được giữ nguyên).
3. Không nhất thiết! Độ lớn góc không được bảo toàn, nên tam giác vuông có thể biến thành tam giác nhọn hoặc tam giác tù.
4. Thường được vẽ thành một hình bình hành.
5. Khi đường thẳng nối hai điểm đó song song (hoặc trùng) với phương chiếu $\Delta$.

I. Khái niệm Phép chiếu song song

1. Định nghĩa

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và một đường thẳng $\Delta$ cắt $(\alpha)$.

• Với mỗi điểm $M$ trong không gian, đường thẳng đi qua $M$ và song song (hoặc trùng) với $\Delta$ sẽ cắt mặt phẳng $(\alpha)$ tại một điểm $M'$ duy nhất.
• Điểm $M'$ được gọi là hình chiếu song song của điểm $M$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
• Phép đặt tương ứng mỗi điểm $M$ với hình chiếu $M'$ của nó được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
  • $(\alpha)$ gọi là mặt phẳng chiếu.
  • $\Delta$ gọi là phương chiếu.
  • Tập hợp tất cả các hình chiếu $M'$ của các điểm $M$ thuộc hình $\mathcal{H}$ tạo thành hình $\mathcal{H}'$, gọi là hình chiếu song song của hình $\mathcal{H}$ lên mặt phẳng $(\alpha)$.

II. Mô hình 3D Tương tác: Thí nghiệm Đổ bóng Phép chiếu song song

Mô hình 3D dưới đây mô phỏng một tam giác $ABC$ trong không gian, các tia nắng mặt trời màu vàng theo phương chiếu song song $\Delta$ rọi xuống và tạo thành hình chiếu bóng $A'B'C'$ trên mặt phẳng sàn $(\alpha)$. Các em hãy xoay mô hình để quan sát sự tương ứng giữa vật thể thực và hình chiếu phẳng của nó!

III. Các Tính chất của Phép chiếu song song

Quan trọng

Định lý 1 (Các tính chất bảo toàn hình học):

1. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.
2. Biến đường thẳng không song song với phương chiếu thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
3. Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
4. Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song:$$\frac{A' B'}{C' D'} = \frac{AB}{CD}$$

IV. Hình biểu diễn của một số hình phẳng quen thuộc

Dưới tác động của phép chiếu song song:

V. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Xác định hình chiếu của một điểm, một đoạn thẳng

Ví dụ 1:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tìm hình chiếu song song của: a) Điểm $B'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương chiếu $A'A$.
b) Đoạn thẳng $A'C$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương chiếu $CC'$.
c) Tam giác $A'BD$ lên mặt phẳng $(A'B'C'D')$ theo phương chiếu $BB'$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $B'B \parallel A'A$ nên đường thẳng chiếu qua $B'$ song song với phương chiếu $A'A$ chính là đường thẳng $B'B$. Đường thẳng này cắt mặt đáy $(ABCD)$ tại điểm $B$.
Vậy hình chiếu của điểm $B'$ là điểm $B$.

b) Theo phương chiếu $CC'$:

• Hình chiếu của điểm $C$ (nằm sẵn trên mặt đáy $(ABCD)$) là chính nó: $C \mapsto C$.
• Hình chiếu của điểm $A'$ là điểm $A$ (do $A'A \parallel CC'$).
  Vậy hình chiếu song song của đoạn thẳng $A'C$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là đoạn thẳng $AC$.

c) Theo phương chiếu $BB'$:

• $A'$ nằm trên $(A'B'C'D')$ nên hình chiếu của $A'$ là chính nó: $A' \mapsto A'$.
• $B \mapsto B'$ (vì $BB' \parallel BB'$).
• $D \mapsto D'$ (vì $DD' \parallel BB'$).
  Vậy hình chiếu của tam giác $A'BD$ lên $(A'B'C'D')$ là tam giác $A'B'D'$.

Dạng 2: Vẽ hình biểu diễn và Dựng điểm thỏa mãn tỉ số

Ví dụ 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M$ là trung điểm của $A'B'$. Hãy xác định hình chiếu song song của điểm $M$ lên mặt phẳng $(ABC)$ theo phương chiếu $A'C$.

Lời giải chi tiết:

• Trong mặt phẳng $(A'B'C')$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $A'C'$ cắt $B'C'$ tại điểm $N$. Vì $M$ là trung điểm $A'B'$ nên $N$ là trung điểm của $B'C'$ và $MN = \frac{1}{2}A'C'$.
• Mặt phẳng phụ chứa đường thẳng chiếu qua $M$ song song với $A'C$: đó chính là mặt phẳng chứa $MN \parallel A'C \parallel AC$.
• Đường thẳng qua $M$ song song với $A'C$ cắt cạnh đáy tương ứng $BC$ tại điểm $M'$.
  Khi đó điểm $M'$ chính là hình chiếu song song cần tìm.

VI. Trắc nghiệm Tự chấm Ôn luyện Kiến thức (10 câu)

VII. Bài tập Tự luyện & Thử thách Mở rộng

Bài tập Tự luyện

1. Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh bên $BB'$.
   Xác định hình chiếu song song của tam giác $AB'C$ lên mặt phẳng đáy $(ABC)$ theo phương chiếu $AI$.

2. Dựng hình biểu diễn của một hình lục giác đều $ABCDEF$ trong không gian.
   (Gợi ý: Dựa vào tính chất các đường chéo chính cắt nhau tại trung điểm và tạo thành 6 tam giác đều).