Bài 5. Dãy số

Chào mừng các em bước vào Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân!

Trong cuộc sống và tự nhiên, các sự vật và hiện tượng thường không đứng yên riêng lẻ mà sắp xếp nối tiếp nhau theo những quy luật thứ tự kỳ diệu:

• Dãy số đo chiều cao của một mầm cây sau mỗi ngày chăm sóc.
• Sự sinh sôi nảy nở của bầy thỏ qua từng thế hệ (dãy số Fibonacci trứ danh).
• Số tiền cả gốc lẫn lãi tích lũy theo từng tháng khi gửi tiết kiệm ngân hàng.
• Số hạt thóc gấp đôi trên 64 ô của bàn cờ vua trong truyền thuyết Ba Tư cổ đại.

Mô hình toán học phản ánh những chuỗi giá trị có thứ tự đó chính là Dãy số. Đây là bước khởi đầu thiết yếu để các em tiến vào giải tích hiện đại, lý thuyết giới hạn, đạo hàm và chuỗi số vô hạn!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Tìm số hạng tiếp theo: Cho dãy số $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ Số hạng thứ 6 là bao nhiêu?
2. Ký hiệu chỉ số: Trong dãy số $(u_n)$, $u_{10}$ biểu thị đại lượng gì?
3. Tính số hạng đầu: Cho dãy số có $u_n = \frac{n}{n + 1}$. Giá trị của $u_1$ và $u_2$ bằng bao nhiêu?
4. Phân biệt tính tăng giảm: Dãy số các số tự nhiên chẵn $2, 4, 6, 8, \dots$ là dãy số tăng hay giảm?
5. Dãy hữu hạn: Một tuần có 7 ngày, dãy số ghi nhiệt độ đo vào buổi trưa mỗi ngày từ Thứ Hai đến Chủ Nhật là dãy số hữu hạn hay vô hạn?

Mẹo hay

Giải đáp khởi động:

1. Số hạng tiếp theo là $36$ (quy luật $u_n = n^2 \Rightarrow u_6 = 6^2 = 36$).
2. $u_{10}$ là số hạng đứng ở vị trí thứ $10$ của dãy số.
3. $u_1 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ và $u_2 = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$.
4. Là dãy số tăng vì mỗi số hạng sau đều lớn hơn số hạng liền trước nó ($u_{n+1} > u_n$).
5. Là dãy số hữu hạn vì chỉ gồm đúng 7 số hạng ($m = 7$).

I. Khái niệm về Dãy số

1. Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots, n, \dots\}$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

• Ký hiệu dãy số là $(u_n)$.
• $u_1 = u(1)$ gọi là số hạng đầu.
• $u_n = u(n)$ gọi là số hạng thứ $n$ (hoặc số hạng tổng quát).
• Ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển theo thứ tự:$$u_1, u_2, u_3, \dots, u_n, \dots$$

2. Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập hợp $M = \{1, 2, 3, \dots, m\}$ với $m \in \mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

• Dãy số hữu hạn được viết dưới dạng:$$u_1, u_2, u_3, \dots, u_m$$
• $u_1$ là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối, và $m$ là số lượng phần tử của dãy.

II. Các cách xác định một Dãy số

Một dãy số có thể được cho bằng các phương pháp sau:

1. Cho bằng công thức số hạng tổng quát $u_n = f(n)$

Đây là cách thuận tiện nhất giúp ta tính ngay lập tức bất kỳ số hạng $u_n$ nào mà không cần biết các số hạng đứng trước nó.

Ví dụ:

• Dãy số $u_n = 2n - 1$ cho ta các số tự nhiên lẻ: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$
• Dãy số $u_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ cho ta dãy đan dấu: $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

2. Cho bằng hệ thức truy hồi (Phương pháp quy nạp)

Một dãy số được xác định bằng phương pháp truy hồi khi:

1. Cho biết số hạng đầu $u_1$ (hoặc vài số hạng đầu tiên như $u_1, u_2$).
2. Cho hệ thức tính $u_n$ thông qua các số hạng đứng trước nó như $u_{n-1}, u_{n-2}$.

Ghi nhớ

Ví dụ kinh điển: Dãy số Fibonacci $(F_n)$
Dãy số được nhà toán học Leonardo Fibonacci (người Ý) phát hiện vào thế kỷ XIII khi nghiên cứu bài toán sinh sản của bầy thỏ:

$$\begin{cases} F_1 = 1, \; F_2 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \ge 3) \end{cases}$$

Khai triển dãy Fibonacci:

$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \dots$$

Quy luật: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó!

3. Cho bằng phương pháp mô tả hoặc diễn giải quy luật

Cho dãy số bằng một mô tả cụ thể về tính chất của các phần tử.
Ví dụ: Dãy số $(p_n)$ gồm các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$

III. Dãy số Tăng, Dãy số Giảm (Tính đơn điệu)

1. Định nghĩa

• Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:$$u_{n+1} > u_n$$(Nghĩa là số hạng sau luôn nghiêm ngặt lớn hơn số hạng đứng liền trước nó).
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:$$u_{n+1} < u_n$$(Nghĩa là số hạng sau luôn nghiêm ngặt nhỏ hơn số hạng đứng liền trước nó).

Lưu ý / Cảnh báo

Có những dãy số không tăng cũng không giảm, chẳng hạn như các dãy đan dấu:

$$u_n = (-1)^n \Rightarrow -1, 1, -1, 1, -1, \dots$$

hoặc dãy số hằng: $3, 3, 3, 3, \dots$

2. Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số

Có hai phương pháp cơ bản:

Cách 1: Xét dấu của hiệu số $H = u_{n+1} - u_n$

• Nếu $u_{n+1} - u_n > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (u_n)$ là dãy số tăng.
• Nếu $u_{n+1} - u_n < 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (u_n)$ là dãy số giảm.

Cách 2: So sánh thương số $K = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ với số $1$ (Chỉ áp dụng khi $u_n > 0, \forall n$)

• Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (u_n)$ là dãy số tăng.
• Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (u_n)$ là dãy số giảm.

IV. Dãy số Bị chặn

1. Định nghĩa

• Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực $M$ sao cho:$$u_n \le M, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$$
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số thực $m$ sao cho:$$u_n \ge m, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$$
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số $m, M$ sao cho:$$m \le u_n \le M, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$$

V. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Viết các số hạng đầu và dự đoán công thức số hạng tổng quát

Ghi nhớ

Phương pháp:

1. Cho công thức truy hồi: Tính liên tiếp $u_2, u_3, u_4, u_5$.
2. Quan sát quy luật phân số, lũy thừa, giai thừa để dự đoán công thức $u_n$.
3. Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức dự đoán là đúng.

Ví dụ 1:

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:

a) Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

a) Tính 4 số hạng đầu tiên:

• $u_1 = 2$.
• $u_2 = u_1 + 3 = 2 + 3 = 5$.
• $u_3 = u_2 + 3 = 5 + 3 = 8$.
• $u_4 = u_3 + 3 = 8 + 3 = 11$.

b) Quan sát các số hạng:

Ta dự đoán công thức số hạng tổng quát là: $u_n = 3n - 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Chứng minh bằng quy nạp:

1. Với $n = 1$, ta có $u_1 = 3(1) - 1 = 2$ (đúng).
2. Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \ge 1$, tức là $u_k = 3k - 1$.
3. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$, tức là $u_{k+1} = 3(k+1) - 1 = 3k + 2$.
   Theo hệ thức truy hồi của bài ra:$$u_{k+1} = u_k + 3 = (3k - 1) + 3 = 3k + 2$$Vậy công thức đúng với $n = k + 1$. Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức $u_n = 3n - 1$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Dạng 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số

Ví dụ 2:

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a) $u_n = \frac{2n - 1}{n + 1}$
b) $v_n = \frac{3^n}{n!}$
c) $w_n = n^2 - 6n + 10$

Lời giải chi tiết:

a) Dùng phương pháp xét hiệu $u_{n+1} - u_n$: Ta có: $u_{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{(n+1) + 1} = \frac{2n + 1}{n + 2}$.
Xét hiệu:

Khai triển tử số:

Do đó:

Vì hiệu số luôn dương nên dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Nhận thấy $v_n = \frac{3^n}{n!} > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta dùng phương pháp xét thương $\frac{v_{n+1}}{v_n}$:

• Với $n = 1$: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{3}{2} > 1$ ($v_2 > v_1$).
• Với $n = 2$: $\frac{v_3}{v_2} = \frac{3}{3} = 1$ ($v_3 = v_2$).
• Với mọi $n \ge 3$: $n + 1 \ge 4 \Rightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3}{n+1} < 1 \Rightarrow v_{n+1} < v_n$.
  Vậy dãy số $(v_n)$ không tăng và cũng không giảm trên toàn bộ $\mathbb{N}^*$ (dãy chỉ bắt đầu giảm kể từ số hạng thứ 3 trở đi).

c) Khai triển vài số hạng đầu của $w_n = n^2 - 6n + 10$:

• $w_1 = 1 - 6 + 10 = 5$
• $w_2 = 4 - 12 + 10 = 2$ (giảm vì $w_2 < w_1$)
• $w_3 = 9 - 18 + 10 = 1$ (giảm vì $w_3 < w_2$)
• $w_4 = 16 - 24 + 10 = 2$ (tăng vì $w_4 > w_3$)
  Vì dãy số vừa có bước giảm vừa có bước tăng nên dãy số $(w_n)$ không tăng, không giảm.

Dạng 3: Xét tính bị chặn của dãy số

Ví dụ 3:

Chứng minh các dãy số sau bị chặn: a) $u_n = \frac{2n + 1}{n + 2}$
b) $v_n = \frac{\sin(n) + \cos(n)}{n^2 + 1}$

Lời giải chi tiết:

a) Biến đổi phân thức:

• Vì $n \ge 1 \Rightarrow n + 2 \ge 3 \Rightarrow \frac{3}{n + 2} > 0 \Rightarrow u_n = 2 - \frac{3}{n + 2} < 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
  Do đó dãy số bị chặn trên bởi $M = 2$.
• Mặt khác, vì $n \ge 1 \Rightarrow n + 2 \ge 3 \Rightarrow \frac{3}{n + 2} \le \frac{3}{3} = 1 \Rightarrow u_n = 2 - \frac{3}{n + 2} \ge 2 - 1 = 1$.
  Do đó dãy số bị chặn dưới bởi $m = 1$.
  Kết luận: Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $1 \le u_n < 2$. Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.

b) Đánh giá tử số: Áp dụng bất đẳng thức lượng giác ở Chương I:

Đánh giá mẫu số: Vì $n \ge 1 \Rightarrow n^2 + 1 \ge 1^2 + 1 = 2$.
Do đó:

Vậy dãy số $(v_n)$ là dãy số bị chặn.

Dạng 4: Ứng dụng thực tế của Dãy số

Bài toán thực tế: Sự sinh sản của bầy thỏ Fibonacci

Giả sử có một đôi thỏ sơ sinh (1 đực, 1 cái) được thả vào một hòn đảo hoang. Quy luật sinh sản như sau:

1. Mỗi đôi thỏ mất đúng 1 tháng để trưởng thành.
2. Từ tháng thứ hai trở đi, mỗi đôi thỏ trưởng thành sinh ra đúng một đôi thỏ con (1 đực, 1 cái) mỗi tháng.
3. Không có con thỏ nào bị chết trong năm đầu tiên.

Lời giải chi tiết:

Gọi $F_n$ là tổng số đôi thỏ có trên đảo vào cuối tháng thứ $n$:

• Cuối tháng 1: Vẫn là 1 đôi thỏ ban đầu (vừa bước vào giai đoạn trưởng thành) $\Rightarrow F_1 = 1$.
• Cuối tháng 2: Đôi thỏ đẻ thêm 1 đôi thỏ con $\Rightarrow$ tổng cộng có $1 + 1 = 2$ đôi thỏ $\Rightarrow F_2 = 2$.
• Cuối tháng 3: Đôi thỏ bố mẹ tiếp tục đẻ thêm 1 đôi con mới, đôi thỏ con tháng trước bây giờ trưởng thành $\Rightarrow$ tổng cộng $2 + 1 = 3$ đôi thỏ $\Rightarrow F_3 = 3$.
• Cuối tháng 4: 2 đôi thỏ trưởng thành đẻ thêm 2 đôi con mới $\Rightarrow$ tổng cộng $3 + 2 = 5$ đôi $\Rightarrow F_4 = 5$.

Quy luật tổng quát: Số đôi thỏ ở cuối tháng thứ $n$ bằng số đôi thỏ đã có ở tháng trước ($F_{n-1}$) cộng thêm số đôi thỏ mới sinh ra (chính bằng số đôi thỏ đã trưởng thành từ tháng thứ $n-2$, tức $F_{n-2}$):

Tính tiếp tục đến tháng thứ 12:

• $F_5 = 5 + 3 = 8$
• $F_6 = 8 + 5 = 13$
• $F_7 = 13 + 8 = 21$
• $F_8 = 21 + 13 = 34$
• $F_9 = 34 + 21 = 55$
• $F_{10} = 55 + 34 = 89$
• $F_{11} = 89 + 55 = 144$
• $F_{12} = 144 + 89 = 233$

Vậy sau đúng 1 năm, từ 1 đôi thỏ ban đầu đã phát triển thành 233 đôi thỏ (tổng cộng 466 con thỏ)!

VI. Trắc nghiệm Tự chấm Ôn luyện Kiến thức (10 câu)

VII. Bài tập Tự luyện & Thử thách Mở rộng

Bài tập Tự luyện

1. Tìm 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau: a) $u_n = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$
   b) $u_1 = 1, u_{n+1} = 2u_n + 3$
   c) $u_n = \frac{1}{n(n + 1)}$

2. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a) $u_n = \frac{3n - 2}{n + 1}$
   b) $v_n = \frac{n}{2^n}$
   c) $w_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) $u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 + 3}$
   b) $v_n = (-1)^n \cdot \frac{n}{n + 1}$

Thử thách Thực tế: Bài toán Tháp Hà Nội (Tower of Hanoi)

Một trò chơi cổ điển gồm 3 cọc kim loại và $n$ chiếc đĩa có bán kính khác nhau xếp chồng lên cọc thứ nhất theo thứ tự từ lớn ở dưới đến nhỏ ở trên.

Quy tắc di chuyển:

• Mỗi lần chỉ được chuyển 1 đĩa từ cọc này sang cọc khác.
• Không bao giờ được đặt đĩa lớn hơn lên trên đĩa nhỏ hơn.

Mẹo hay

Hướng dẫn giải:

1. Để chuyển $n$ đĩa:
   • Bước 1: Chuyển $n - 1$ đĩa nhỏ phía trên sang cọc trung gian (cần $H_{n-1}$ bước).
   • Bước 2: Chuyển đĩa lớn nhất thứ $n$ sang cọc đích (cần đúng $1$ bước).
   • Bước 3: Chuyển $n - 1$ đĩa từ cọc trung gian sang đè lên đĩa lớn nhất ở cọc đích (cần $H_{n-1}$ bước).
     Hệ thức truy hồi: $H_1 = 1$ và $H_n = 2H_{n-1} + 1$.
2. Công thức tổng quát: $H_1 = 1 = 2^1 - 1$, $H_2 = 2(1) + 1 = 3 = 2^2 - 1$, $H_3 = 2(3) + 1 = 7 = 2^3 - 1 \dots \Rightarrow H_n = 2^n - 1$.
3. Với $n = 64$ đĩa:$$H_{64} = 2^{64} - 1 \approx 1.844 \times 10^{19}\text{ giây}$$Chia cho số giây trong một năm ($365.25 \times 24 \times 3600 \approx 3.156 \times 10^7\text{ giây}$):$$T \approx \frac{1.844 \times 10^{19}}{3.156 \times 10^7} \approx 584.9\text{ tỷ năm!}$$(Con số này gấp hơn 40 lần tuổi thọ ước tính của toàn bộ vũ trụ chúng ta: ~13.8 tỷ năm!).