Bài 16. Giới hạn của hàm số

Nếu như ở bài trước chúng ta đã khảo sát các bước nhảy rời rạc $n = 1, 2, 3, \dots$ trong giới hạn dãy số, thì ở bài học này, chúng ta sẽ bước lên một nấc thang mới: sự biến thiên liên tục của hàm số $f(x)$ khi biến số $x$ lướt êm ái trên trục số thực!

Trong cuộc sống và khoa học thực nghiệm, chúng ta liên tục gặp phải những tình huống toán học tưởng chừng "bất khả thi":

• Một chiếc ô tô đang lăn bánh, vận tốc trung bình sau khoảng thời gian $\Delta t$ là $v_{tb} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$. Nhưng muốn đo vận tốc tức thời tại đúng tích tắc kim đồng hồ chỉ thời điểm $t_0$, ta phải cho $\Delta t \to 0$. Khi đó cả quãng đường $\Delta s$ và thời gian $\Delta t$ đều co về $0$, tạo nên biểu thức "chia cho $0$" kinh điển: $\frac{0}{0}$!
• Trên đồ thị hàm số $y = f(x)$, để tính hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm, ta phải xét cát tuyến nối hai điểm rồi cho điểm thứ hai tiến lại gần điểm thứ nhất đến mức khoảng cách giữa chúng bằng $0$.

Làm thế nào để xác định giá trị của một biểu thức tại nơi mà nó không xác định? Câu trả lời vi diệu chính là Giới hạn của hàm số!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Khảo sát giá trị: Cho hàm số $f(x) = 2x + 1$. Khi $x$ nhận các giá trị $1.9, 1.99, 1.999$, giá trị $f(x)$ tiến dần đến số nào?
2. Điểm không xác định: Hàm số $g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ có xác định tại $x = 1$ không? Với $x \ne 1$, ta có thể rút gọn $g(x)$ thành biểu thức nào?
3. Tiến từ một phía: Khi nói $x \to 3^+$, nghĩa là $x$ tiến về $3$ từ phía các số lớn hơn $3$ hay nhỏ hơn $3$?
4. Căn bậc hai khi âm: Khi $x \to -\infty$, biểu thức $\sqrt{x^2}$ đưa ra ngoài dấu căn bằng $x$ hay $-x$?
5. Giới hạn hằng số: $\lim_{x \to 5} 7$ bằng bao nhiêu?

Mẹo hay

Giải đáp khởi động:

1. Khi $x \to 2$, $f(x) = 2x + 1$ tiến dần về $2(2) + 1 = 5$.
2. Tại $x = 1$, mẫu số bằng $0$ nên $g(x)$ không xác định. Tuy nhiên với $x \ne 1$, $g(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$.
3. $x \to 3^+$ nghĩa là $x$ tiến dần về $3$ và luôn giữ điều kiện $x > 3$ (phía bên phải trên trục số).
4. $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ khi $x < 0$ (lỗi sai kinh điển của học sinh khi làm bài thi!).
5. $\lim_{x \to 5} 7 = 7$.

I. Giới hạn hữu hạn của Hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K \setminus \{x_0\}$.

Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số thực $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ (ký hiệu là $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ hoặc $f(x) \to L$ khi $x \to x_0$) nếu với mọi dãy số $(x_n)$ trong tập xác định thỏa mãn $x_n \ne x_0$ và $\lim x_n = x_0$, ta đều có:

Ghi nhớ

Điểm mấu chốt: Khi tính $\lim_{x \to x_0} f(x)$, ta chỉ quan tâm đến hành vi của $f(x)$ khi $x$ ở rất gần $x_0$ ($x \ne x_0$), chứ không quan tâm hàm số $f(x)$ có xác định tại đúng điểm $x_0$ hay không!

2. Một số giới hạn cơ bản

• $\lim_{x \to x_0} x = x_0$
• $\lim_{x \to x_0} c = c$ ($c$ là hằng số)

3. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$ ($L, M \in \mathbb{R}$) thì:

1. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
2. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
3. $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ (nếu $M \ne 0$)
4. Nếu $f(x) \ge 0$ trong lân cận $x_0$ thì $L \ge 0$ và $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$

II. Giới hạn Một bên (Trái và Phải)

Có những hàm số khi $x$ tiến về $x_0$ từ bên trái (các giá trị $x < x_0$) lại cho kết quả hoàn toàn khác so với khi $x$ tiến về $x_0$ từ bên phải ($x > x_0$). Do đó ta cần khái niệm giới hạn một bên.

          x tiến từ trái (x < x₀)       x tiến từ phải (x > x₀)
             ───────►                      ◄───────
 ───────────────┬──────────────────────────────┬───────────────► Trục số x
               x                              x₀
           (x → x₀⁻)                      (x → x₀⁺)

1. Định nghĩa giới hạn một bên

• Giới hạn bên phải: Ký hiệu $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_1$, nghĩa là với mọi dãy $(x_n)$ thỏa mãn $x_n > x_0$ và $\lim x_n = x_0$ thì $\lim f(x_n) = L_1$.
• Giới hạn bên trái: Ký hiệu $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_2$, nghĩa là với mọi dãy $(x_n)$ thỏa mãn $x_n < x_0$ và $\lim x_n = x_0$ thì $\lim f(x_n) = L_2$.

2. Định lý về mối quan hệ giữa giới hạn và giới hạn một bên

Quan trọng

Định lý cốt lõi: Giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại và bằng $L$ khi và chỉ khi cả hai giới hạn một bên cùng tồn tại và bằng $L$:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$$

Nếu $\lim_{x \to x_0^+} f(x) \ne \lim_{x \to x_0^-} f(x)$, ta kết luận: Không tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$!

III. Phòng thí nghiệm Tương tác: Khảo sát Giới hạn & Giới hạn một bên

Hãy kéo thanh trượt để di chuyển điểm dò $x$ tiến lại gần điểm kỳ dị $x_0$. Quan sát đồ thị hàm số và xem giá trị $f(x)$ hội tụ hay bị "xé rách" thành 2 nhánh!

IV. Giới hạn Hữu hạn và Vô cực tại Vô cực

1. Giới hạn tại vô cực ($x \to +\infty$ hoặc $x \to -\infty$)

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ nghĩa là khi $x$ tăng lên dương vô cực thì giá trị $f(x)$ tiến dần đến $L$.
• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ nghĩa là khi $x$ giảm về âm vô cực thì giá trị $f(x)$ tiến dần đến $L$.

Giới hạn cơ bản tại vô cực:

2. Giới hạn vô cực của hàm số

• $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ nếu $f(x)$ lớn hơn bất kỳ số dương nào khi $x$ đủ gần $x_0$.
• Các quy tắc tính giới hạn tích và thương có liên quan đến $\pm\infty$ hoàn toàn tương tự như đối với dãy số.

V. Kỹ thuật Khử các Dạng Vô định Thường gặp

Dạng 1: Dạng $\frac{0}{0}$ tại điểm $x \to x_0$

Khi thay trực tiếp $x = x_0$ vào phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$ mà cả tử và mẫu đều bằng $0$, theo định lý Bézout, cả $P(x)$ và $Q(x)$ đều chứa nhân tử chung là $(x - x_0)$.

Chiến lược 1: Phân tích đa thức thành nhân tử để triệt tiêu $(x - x_0)$

Ví dụ 1: Tính $A = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$.
Giải: Thay $x = 2$ ta thấy tử $= 2^2 - 10 + 6 = 0$ và mẫu $= 2^2 - 4 = 0$ (dạng $\frac{0}{0}$).
Phân tích thành nhân tử:

Chiến lược 2: Nhân lượng liên hợp khi có căn thức

Ví dụ 2: Tính $B = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$.
Giải: Thay $x = 3$ được $\frac{\sqrt{4} - 2}{3 - 3} = \frac{0}{0}$. Nhân liên hợp tử và mẫu với $(\sqrt{x + 1} + 2)$:

Triệt tiêu nhân tử $(x - 3)$:

Dạng 2: Dạng $\frac{\infty}{\infty}$ khi $x \to \pm\infty$

Phương pháp: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của $x$ ở cả tử và mẫu ra ngoài rồi triệt tiêu.

Cẩn trọng

Cực kỳ lưu ý dấu căn thức khi $x \to -\infty$:

$$\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{khi } x \to +\infty \\ -x & \text{khi } x \to -\infty \end{cases}$$

Ví dụ 3: Tính $C = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1} - 3x}{2x + 5}$.
Giải: Khi $x \to -\infty$, $x < 0$ nên $\sqrt{x^2} = |x| = -x$.
Đưa $x^2$ ra ngoài dấu căn:

Thay vào biểu thức:

Dạng 3: Dạng $\infty - \infty$ khi $x \to \pm\infty$

Phương pháp: Nhân lượng liên hợp để đưa về dạng phân thức $\frac{\infty}{\infty}$ rồi rút $x$.

Ví dụ 4: Tính $D = \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 4x} - x\right)$.
Giải: Nhân liên hợp với $(\sqrt{x^2 + 4x} + x)$:

VI. Trắc nghiệm Tự luyện Củng cố (10 câu)

VII. Bài tập Tự luyện & Thử thách Mở rộng

Bài tập Tự luận

1. Khử dạng $\frac{0}{0}$ bằng phân tích đa thức: a) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x^2 - 9}$
   b) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2 - 4}$
   c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1}$

2. Khử dạng $\frac{0}{0}$ bằng nhân liên hợp: a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$
   b) $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x + 1} - 3}{x^2 - 16}$
   c) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}$

3. Giới hạn tại vô cực chứa căn: a) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - \sqrt{9x^2 + 2}}{x + 1}$
   b) $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2 + 3x} - 2x\right)$
   c) $\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 - 3x} + x\right)$

Thử thách Thực tế: Vận tốc vũ trụ cấp 1 và Lực cản không khí

Khi một khoang tàu vũ trụ trở lại bầu khí quyển Trái Đất, lực cản không khí phụ thuộc vào vận tốc chuyển động theo quy luật phi tuyến $F(v)$.

Mẹo hay

Hướng dẫn giải:

1. Tại $t = 10$, tử số $100 - 10^2 = 0$ và mẫu số $20 - 2(10) = 0$. Biểu thức gặp dạng vô định $\frac{0}{0}$.
2. Rút gọn nhân tử chung $(10 - t)$:$$a(t) = \frac{(10 - t)(10 + t)}{2(10 - t)} = \frac{10 + t}{2} \quad (\text{với } t \ne 10)$$Do đó:$$\lim_{t \to 10^-} a(t) = \lim_{t \to 10^-} \frac{10 + t}{2} = \frac{10 + 10}{2} = 10\,m/s^2$$
3. Gia tốc hãm thực tế xấp xỉ $10\,m/s^2 \approx 1g$, hoàn toàn an toàn và nằm sâu dưới ngưỡng nguy hiểm $10g \approx 98\,m/s^2$!