Bài tập cuối chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chúc mừng các em đã hoàn thành toàn bộ chuyên đề Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục — cũng là bài học khép lại toàn bộ chương trình Toán 11 - Tập 1 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)!

Khái niệm Giới hạn và Tính liên tục là bước ngoặt tư duy vĩ đại nhất của toán học phổ thông, đánh dấu sự chuyển mình từ Đại số sơ cấp (khảo sát các đại lượng hữu hạn, đứng yên) sang Giải tích toán học (nghiên cứu sự biến thiên liên tục, các đại lượng vô cùng bé và vô cùng lớn). Đây là nền tảng sống còn để các em học tiếp chuyên đề Đạo hàm ở Học kì 2 và Tích phân ở lớp 12.

Bài học tổng kết này sẽ hệ thống hóa toàn bộ công thức, bảng nhận diện phương pháp khử dạng vô định và bộ đề trắc nghiệm tự chấm giúp các em tự tin đạt điểm tối đa trong các bài kiểm tra định kỳ và thi học kì!

I. Bảng Tra cứu Toàn diện: Kỹ thuật Khử các Dạng Vô định

II. Bộ đề Ôn tập Trắc nghiệm Toàn diện (12 câu)

III. Các Bài toán Tự luận Trọng tâm

Bài 1: Tính các giới hạn dãy số và hàm số

a) $\lim \frac{2 \cdot 3^n - 4 \cdot 7^n + 1}{5 \cdot 7^n + 2^n}$
b) $\lim \left(\sqrt{n^2 + 5n} - \sqrt{n^2 - 3n}\right)$
c) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 3x + 2}$
d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 3} + 2x}{x - 1}$

Mẹo hay

Lời giải vắn tắt: a) Chia cả tử và mẫu cho $7^n \Rightarrow \frac{0 - 4 + 0}{5 + 0} = -\frac{4}{5}$.
b) Nhân liên hợp: $$\lim \frac{8n}{\sqrt{n^2 + 5n} + \sqrt{n^2 - 3n}} = \frac{8}{1 + 1} = 4.$$
c) $\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{4 + 4 + 4}{2 - 1} = 12$.
d) Khi $x \to -\infty$, $\sqrt{4x^2} = -2x \Rightarrow \sqrt{4x^2 + 3} + 2x$ gặp dạng $\infty - \infty$, cần nhân liên hợp:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3}{(x - 1)(\sqrt{4x^2 + 3} - 2x)} = 0$$

Bài 2: Định tham số để hàm số liên tục

Cho hàm số:

Tìm $a$ để hàm số liên tục tại điểm $x_0 = 2$.

Mẹo hay

Lời giải:

• $f(2) = 2a + \frac{1}{6}$.
• $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2a + \frac{1}{6}$.
• $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{2(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{2x + 5} + 3)} = \frac{2}{3 + 3} = \frac{1}{3}.$$
• Hàm số liên tục tại $$x = 2 \iff 2a + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \iff 2a = \frac{1}{6} \iff a = \frac{1}{12}.$$

Bài toán Thực tế: Dược động học và Nồng độ Thuốc tích lũy

Một bệnh nhân được chỉ định dùng thuốc hạ sốt định kỳ:

• Mỗi lần uống một liều cố định chứa $D_0 = 500\,mg$ hoạt chất.
• Sau mỗi khoảng thời gian 6 tiếng (trước liều uống tiếp theo), cơ thể đào thải bớt và chỉ còn giữ lại $40\%$ lượng thuốc có trong cơ thể trước đó (tức tỉ lệ thuốc còn lại là $q = 0.4$).

Mẹo hay

Hướng dẫn giải:

1. Các liều đầu:
   • $C_1 = 500\,mg$.
   • $C_2 = 500 + C_1 \cdot 0.4 = 500 + 500(0.4) = 700\,mg$.
   • $C_3 = 500 + C_2 \cdot 0.4 = 500 + 500(0.4) + 500(0.4)^2 = 780\,mg$.
2. Công thức tổng quát sau liều thứ $n$:$$C_n = 500 \cdot \left[1 + 0.4 + (0.4)^2 + \dots + (0.4)^{n-1}\right] = 500 \cdot \frac{1 - (0.4)^n}{1 - 0.4}$$
3. Lượng thuốc trạng thái ổn định khi $n \to +\infty$:$$C_{\infty} = \lim_{n \to +\infty} C_n = \frac{500}{1 - 0.4} = \frac{500}{0.6} = \frac{2500}{3} \approx 833.33\,mg$$
4. Vì $C_{\infty} \approx 833.33\,mg < 900\,mg$ nên lượng thuốc trong cơ thể không bao giờ vượt quá $833.33\,mg$, luôn nằm dưới ngưỡng ngộ độc gan $900\,mg$. Phác đồ điều trị hoàn toàn an toàn về mặt dược động học!