Ôn tập Chương 4. Vectơ trong mặt phẳng

Chương 4 là nền tảng cốt lõi của hình học giải tích và vật lí cơ học hiện đại. Vectơ cung cấp ngôn ngữ đại số mạnh mẽ để mô tả định lượng hướng, độ lớn, độ dời, vận tốc, lực và công sinh ra trong không gian. Bài ôn tập này hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết then chốt và cung cấp đề kiểm tra 45 phút chuẩn cấu trúc Bộ GD&ĐT.

1. Bảng tra cứu toàn diện công thức Chương 4

2. Ma trận đề kiểm tra 45 phút Chương 4 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Tỉ lệ đánh giá: 30% Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm) và 70% Tự luận phân hóa (7,0 điểm).

3. Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm - 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

4. Phần II: Tự luận phân hóa (7,0 điểm - 4 câu có thang điểm chi tiết)

Đề bài tự luận

Câu 1 (1,5 điểm - Vận dụng)

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

1. Chứng minh đẳng thức: $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} = 2\vec{AC}$.
2. Phân tích vectơ $\vec{AM}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AD}$.
3. Tính độ dài của vectơ $\vec{u} = \vec{AB} - \vec{AD}$ biết $AB = 3, AD = 4$ và góc $\widehat{BAD} = 60^\circ$.

Câu 2 (1,5 điểm - Vận dụng)

Cho tam giác $ABC$. Lấy điểm $D$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BD = 2DC$, và điểm $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.

1. Biểu diễn vectơ $\vec{AD}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
2. Biểu diễn vectơ $\vec{BE}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
3. Gọi $K$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $\vec{AK} = x\vec{AC}$. Tìm $x$ để ba điểm $B, E, K$ thẳng hàng.

Câu 3 (2,0 điểm - Vận dụng)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1; 3), B(-2; -1), C(4; 1)$.

1. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
2. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
3. Tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC$.
4. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục hoành $Ox$ sao cho $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4 (2,0 điểm - Vận dụng cao / Ứng dụng thực tế)

1. Ứng dụng vật lí: Một chất điểm chịu tác dụng đồng thời của hai lực kéo $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ cùng đặt tại điểm $O$. Biết độ lớn $|\vec{F}_1| = 60\text{ N}$, $|\vec{F}_2| = 80\text{ N}$ và góc tạo bởi hai lực là $\alpha = 60^\circ$.
   • Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$.
   • Khi vật chuyển dời một đoạn $s = 20\text{ m}$ theo hướng của hợp lực $\vec{F}$, tính công $A$ do hợp lực sinh ra.
2. Hình học giải tích: Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6, AC = 8$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn hệ thức:$$2\vec{MA}^2 + \vec{MB}^2 + \vec{MC}^2 = 150$$

Hướng dẫn chấm & Thang điểm chi tiết (Barem 0,25đ)

Lời giải Câu 1 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,5 điểm):
  • Vì $ABCD$ là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (0,25đ).
  • Thay vào vế trái: $$\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AC} = \vec{AC} + \vec{AC} = 2\vec{AC}$$ (đpcm) (0,25đ).
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ (0,25đ).
  • Mặt khác $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$, do đó:$$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} \quad *(0,25đ)*.$$
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Ta có $\vec{u} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$ (0,25đ).
  • Xét tam giác $ABD$, theo định lí côsin:$$DB^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos \widehat{BAD} = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)\cos 60^\circ = 9 + 16 - 12 = 13$$Suy ra $|\vec{u}| = DB = \sqrt{13}$ (0,25đ).

Lời giải Câu 2 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,5 điểm):
  • Vì $D$ thuộc đoạn $BC$ và $BD = 2DC$ nên $\vec{BD} = 2\vec{DC} \iff \vec{AD} - \vec{AB} = 2(\vec{AC} - \vec{AD})$ (0,25đ).
  • Suy ra $$3\vec{AD} = \vec{AB} + 2\vec{AC} \iff \vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}$$ (0,25đ).
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Vì $E$ là trung điểm $AD$ nên $$\vec{BE} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BD}) = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BD})$$ hoặc $\vec{BE} = \vec{AE} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AB}$ (0,25đ).
  • Thay $\vec{AD}$: $\vec{BE} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}\right) - \vec{AB} = \frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} - \vec{AB} = -\frac{5}{6}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$ (0,25đ).
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Ta có $\vec{BK} = \vec{AK} - \vec{AB} = -\vec{AB} + x\vec{AC}$ (0,25đ).
  • Ba điểm $B, E, K$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{BK}$ cùng phương $\vec{BE}$, nghĩa là tỉ lệ các hệ số bằng nhau:$$\frac{-1}{-\frac{5}{6}} = \frac{x}{\frac{1}{3}} \iff \frac{6}{5} = 3x \iff x = \frac{2}{5} \quad *(0,25đ)*.$$

Lời giải Câu 3 (2,0 điểm)

• Ý 1 (0,5 điểm):
  • Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\iff \vec{AD} = \vec{BC}$ (0,25đ).
  • Ta có $\vec{BC} = (4 - (-2); 1 - (-1)) = (6; 2)$. Gọi $D(x_D; y_D)$, $\vec{AD} = (x_D - 1; y_D - 3)$.$$\left\{\begin{matrix} x_D - 1 = 6 \\ y_D - 3 = 2 \end{matrix}\right. \iff \left\{\begin{matrix} x_D = 7 \\ y_D = 5 \end{matrix}\right. \Rightarrow D(7; 5) \quad *(0,25đ)*.$$
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Tọa độ trọng tâm $G$:$$x_G = \frac{1 + (-2) + 4}{3} = 1, \quad y_G = \frac{3 + (-1) + 1}{3} = 1 \Rightarrow G(1; 1) \quad *(0,5đ)*.$$
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Ta có $\vec{AB} = (-3; -4) \Rightarrow AB = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$. $\vec{AC} = (3; -2) \Rightarrow AC = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$. $$\vec{BC} = (6; 2) \Rightarrow BC = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.$$ Chu vi $P = 5 + \sqrt{13} + 2\sqrt{10}$ (0,25đ).
  • Diện tích: $\vec{AB} = (-3; -4), \vec{AC} = (3; -2)$. $$S_{ABC} = \frac{1}{2}|x_{AB}y_{AC} - x_{AC}y_{AB}| = \frac{1}{2}|(-3)(-2) - 3(-4)| = \frac{1}{2}|6 + 12| = 9$$ (đvdt) (0,25đ).
• Ý 4 (0,5 điểm):
  • Vì $G(1; 1)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$ (0,25đ).
  • Do đó $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}| = 3|\vec{MG}| = 3MG$. Biểu thức nhỏ nhất $\iff MG$ ngắn nhất $\iff M$ là hình chiếu vuông góc của $G(1; 1)$ lên trục hoành $Ox$. Vậy $M(1; 0)$ (0,25đ).

Lời giải Câu 4 (2,0 điểm)

• Ý 1 (1,0 điểm):
  • Ta có $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \Rightarrow |\vec{F}|^2 = |\vec{F}_1|^2 + |\vec{F}_2|^2 + 2|\vec{F}_1||\vec{F}_2|\cos 60^\circ$ (0,25đ).$$|\vec{F}|^2 = 60^2 + 80^2 + 2(60)(80)(0,5) = 3600 + 6400 + 4800 = 14800$$$$\Rightarrow |\vec{F}| = \sqrt{14800} = 20\sqrt{37} \approx 121,66\text{ N} \quad *(0,25đ)*.$$
  • Vật dời theo phương của hợp lực nên góc giữa $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{s}$ là $0^\circ$ (0,25đ). Công của hợp lực:$$A = |\vec{F}| \cdot s \cdot \cos 0^\circ = 20\sqrt{37} \cdot 20 \cdot 1 = 400\sqrt{37} \approx 2433,1\text{ J} \quad *(0,25đ)*.$$
• Ý 2 (1,0 điểm):
  • Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $A(0; 0)$, tia $Ax$ chứa $C$, tia $Ay$ chứa $B$. Khi đó: $A(0; 0), B(0; 6), C(8; 0)$ (0,25đ).
  • Gọi điểm $M(x; y)$ bất kì: $MA^2 = x^2 + y^2$. $MB^2 = x^2 + (y - 6)^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$. $MC^2 = (x - 8)^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 16x + 64$ (0,25đ).
  • Thay vào hệ thức đã cho:$$2(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 12y + 36) + (x^2 + y^2 - 16x + 64) = 150$$$$4x^2 + 4y^2 - 16x - 12y + 100 = 150 \iff 4x^2 + 4y^2 - 16x - 12y - 50 = 0$$$$x^2 + y^2 - 4x - 3y - 12,5 = 0 \iff (x - 2)^2 + (y - 1,5)^2 = 12,5 + 4 + 2,25 = 18,75 \quad *(0,25đ)*.$$
  • Kết luận: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn có tâm $K(2; 1,5)$ và bán kính $R = \sqrt{18,75} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ (0,25đ).

5. Kết luận & Chiến thuật làm bài thi Chương 4

Mẹo hay

1. Nhận dạng nhanh hệ thức trọng tâm & trung điểm: Bất cứ khi nào gặp tổng 2 vectơ chung gốc $\vec{MA} + \vec{MB}$ hay 3 vectơ $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}$, hãy chèn ngay trung điểm $I$ ($2\vec{MI}$) hoặc trọng tâm $G$ ($3\vec{MG}$) để rút gọn thành một vectơ duy nhất!
2. Chuyển bài toán hình học sang hệ tọa độ $Oxy$: Với các tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông, việc gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ (như Câu 4.2) biến các bài toán quỹ tích hình học phức tạp thành phương trình đại số bậc hai cực kì đơn giản và không bao giờ nhầm lẫn.